课外练习

高一年级1.若二次函数y=mx2 (m-3)x 1的图象与x轴的交点至少一个在原点的右侧,试求m的取值范围. (湖北钟祥市罗集二中(431925) 张先兵)2.已知f(x)=f((-1 x)/x)=1 x,其中x∈ R 且x≠1,求f(2).     

QUADRATIC ρ-FUNCTIONAL INEQUALITIES IN BANACH SPACES

In this paper,we solve the quadratic p-functional inequalities‖f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-2f(y)‖≤‖ρ(2f((x+y)/2)+2f((x-y)/2)-f(x)-f(y))‖,(0.1)where ρ is a fixed complex number with |ρ| 1,and‖2f((x+y)/2)+2f((x-y)/2)-f(x)-f(y)‖≤‖ρ(f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-2f(y))‖,(0.2)where ρ is a fixed complex number with |ρ| 1/2.Using the direct method,we prove the Hyers-Ulam stability of the quadratic ρ-functional inequalities(0.1) and(0.2) in complex Banach spaces and prove the Hyers-Ulam stability of quadratic ρ-functional equations associated with the quadratic ρ-functional inequalities(0.1)and(0.2) in complex Banach spaces.     

新题征展(74)

A题组新编 1.(1)已知f(x)是定义在R上的函数,满足f(x+2)=1|f(x)/1-f(x),若f(2)=2+√3,则f(2 006)=_____.     

具有共振的边值问题解的存在性

利用Mawhin的重合度理论,研究具有共振的n-阶m-点边值问题x~((n))(t)=f(t,x(t),x′(t),…,x~((n-1))(t)),t∈(0,1)x(0)=x(η),x′(0)=x″(0)=…=x~((n-2))(0)=0,x~((n-1))(1)=α_ix~((n-1))(ξ_i)解的存在性,其中n≥2,m≥3,f:[0,1]×R~n→R将有界集映为有界集,且当x(t)∈C~(n-1)[0,1]时,f(t,x(t),x′(t),…,x~((n-1))(t))∈L~1[0,1],0<ξ_1<ξ_2<…<ξ_(m-2)<1,0<η<1,α_i∈R.在这里并不要求f具有连续性.     

关于Hermite-Fejér值逼近的一点注记

§1.前言 设x_k~((n))=cos((2k-1)/2n)π(k=1,2,3,…,n)是n阶多项式 T_n(x)=cos(n arccosx)的零点(n=1,2,…).以这些点为结点,区间[—1,1]上连续函数f(x)的n阶Hermite-Féjer值多项式是     

一道不等式恒成立问题的再探究

(2013年常州)已知函数f(x)=x|x-a|-lnx. (1)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e]的最大值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若f(x)＞0恒成立,求a的取值范围. 这是一道期末调研压轴题,着重考查学生分类讨论的运用和计算能力,第(1)问此处不再累述,第(2)问答案如下. 当a＜1时,f(x)单调递减区间是(0,(a+√a2+8)/4),f(x)单调递增区间是((a+√a2+8)/4,+∞); 当1≤a≤2√2时,f(x)单调递减区间是(0,a),f(x)单调的递增区间是(a,+∞);     

由一道高考题引发的探索与思考

1 问题出现 孰是孰非 高考结束的第二天,班里平时爱动脑筋的学生甲来问笔者:“李老师,12题怎么做?”作为最后一道选择题,此题必有含金量,笔者极为重视. 题1(2015全国理Ⅱ-12)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x＞0时,xf'(x)-f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是() A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 笔者的解答是:由题意,设h(x)=f(x)/x,则h'(x)=xf'(x)-f(x)/x2.由于f(x)(x∈R)是奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=0,f(0)=0,函数f(x)有这三个零点.显然h(x)是偶函数,由于xf'(x)-f(x)＜0,故当x＞0时,h'(x)＜0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此,h(x)在(-∞,0)上单调递增.当x∈(-∞,-1)时,h(x)=f(x)/x＜0,f(x)＞0;当x∈(-1,0)时,h(x)=f(x)/x＞0,f(x)＜0;当x∈(0,1)时,h(x)=f(x)/x＞0,f(x)＞0;当x∈(1,+∞)时,h(x)=f(x)/x＜0,f(x)＜0.故综上,x∈(-∞,-1)∪(0,1),选A.     

构造法解高考题二例

1.构造函数若问题条件中的数量关系有明显的函数模型,可通过构造函数,然后利用函数的图像或者性质来解决有关问题.例1(2004年全国高考理科Ⅱ22题)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;(Ⅱ)设0相似文献   

三次拋物线的几个特性

設f(x)为一三次多項式而有三个实根a,b,c。T. Nakazawa 曾指出三次拋物线y=f(x)有一特性,即曲綫在((a+b)/2,f((a+b)/2))点的切线是經过(c,o,)点的。又如1/(f＇(a))+1/(f＇(b))+1/(f＇(c))=0 也为人們所熟知,今推导其他几个特性于下,設 y=f(x)=a_0(x-a)(x-b)(x-c),并設A,B,C三点的坐标依次为(a,o),(b,o),(c,o)。命L,M,N三点的坐标依次为     

Jensen-二次函数方程及其Hyers-Ulam稳定性

给出Jensen-二次函数方程f((x_1+x_2)/2,y_1+y_2)+f((x_1+x_2)/2,y_1-y_2)=f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)+f(x_2,y_1)+的一般解,并研究了它的Hyers-Ulam稳定性.     

对一道高考题的探究

2008年高考全国卷(Ⅰ)第(19)题:已知:“函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(-2/3,1/3)内是减函数,求a的取值范围.以下从四个视点出发、探讨(2)的解法.解法1 f′(x)= 3x2 +2ax+1,方程3x2 +2ax+1 =0,判别式△=4a2-12.当△＞0即a＞√3或a＜-√3时,方程f′(x)=0两根分别为x1=(-a-√a2-3)/3,x2=(-a+√a2-3)/3.此时以f(x)在(x1,x2)内为减函数,则(-2/3,-1/3)∈(x1,x2).     

具有随机窗宽核估计的一致强相合性

设 X_1,…,X_m i.i.d.是取值于 R~n 中的随机向量,X_1 有概率密度 f(x),取正随机变量 H_m(x,ω)=H_m(x,X_2(ω),…,(ω))为随机窗宽,f(x)的核估计与最近邻估计分别如下:f_m(x)=(mH_m~n(x,ω))~(-1)sum from i=1 to m K((X_i-x)/H_m(x,w))f_m(x)=(ma_m~n(x,w))~(-1) sum from i=1 to m K((X_i-x)/a_m(x,w)),m≥1,x∈R~n.假定 K 为 R~n 中有界变差函数,当 f(x)与 K(x)的条件比[1]弱时,我们讨论了 f_m(x)与 f_m(x)的一致强相合性。本文所得随机窗宽的结果与[1]中常数窗宽的结果相同,这些结果也比[2]和[5]中的要好。     

ASYMPTOTIC REPRESENTATION FOR REMAINDER OF QUASI-HERMITE-FEJER INTERPOLATION POLYNOMIAL

Let Q_(2n+1)(f,x)be the quasi-Hermite-Fejer interpolation polynomial of functionf(x)∈C_[-1,1]based on the zeros of the Chebyshev polynomial of the second kind U_n(x)=sin((n+l)arccosx)/sin(arc cosx). In this paper, the uniform asymptotic representation for thequantity| Q_(2n+l)(f, x) -f(x) |is given. A similar result for the Hermite-Fejer interpolationpolynomial based on the zeros of the Chebyshev polynomial of the first kind is alsoestablished.     

分担值与具有重零点的亚纯函数正规族

主要证明了:设k≥2是一个正整数,M是一个正数,c是一个非零有穷复数.F是区域D内的一族亚纯函数,其中每个函数的零点的重数至少是k.若对于F中的任意函数f,f(z)=0f^((k))(x)=0,f((k))(x)=0,f^((k))(z)=c■|f((k))(z)=c■|f^((k+1))(z)|≥M,则F在D内正规,其中c≠0是必需的.     

ON THE PROBLEM OF NECESSARY CONDITIONS ENSURING UNIFORM CONVERGENCE OF KERNEL DENSITY ESTIMATES

Let X_1,…,X,be a sequence of p-dimensional iid.random vectors with a commondistribution F(x).Denote the kernel estimate of the probability density of F(if it exists)by_n(x)=n~(-1)h~_n(-p)K((x-X_i)/h_n)Suppose that there exists a measurable function g(x)and h_n>0,h_n→0 such thatlim sup丨f_n(x)-g(x)丨=0 a.s.Does F(x)have a uniformly continuous density function f(x)and f(x)=g(x)?This paperdeals with the problem and gives a sufficient and necessary condition for generalp-dimensional case.     

数学奥林匹克中的函数问题

抽象函数问题是数学奥林匹克中的热点之一,本文精选世界各地数学奥林匹克中的函数问题,以展示其中所蕴涵的思想方法.1(第14届北欧数学奥林匹克)已知函数f(x)的定义域为0≤x≤1,并且满足f(0)=0,f(1)=1,又对于任意的0≤x相似文献   

一个奇异典型弹性梁方程涉及第一特征值的正解

本文研究非线性四阶边值问题u(4)(t)=f(t,u(t)),0π4/16;(ii)∫10lim inf x→+0f(t,x)/x dt>π4/16并且∫10lim sup x→+∞f(t,x)/x dt<π4/16.     

关于凸函数的Hadamard不等式

1893年 Hadamard证明了闭区间[a,b]上连续的凸函数f(x),成立着如下不等式 f((a+b)/2)≤1/(b-a)∫_a~b f(x)dx≤(f(a)+f(b)/2)。本文得到了两个定理,作为上述结果的推广。     

一个等价的萊布尼茲定理

§1.设函数f(x),g(x)在区间ι上高阶可微,则下列恆等式成立: f′g十fg′=(fg)′, f″g十fg″=(fg)″-2(f′g′), f′″g+fg″′=(fg)″′-3(f′g′)′, f″″g+fg″″=(fg)″″-4(f′g′)″+2(f″g″),它们之间有关系 f~(n)g+fg~(n)=(f~(n-1)g+fg~(n-1))′--(f~(n-1)g′+f′g~(n-1))。§2.现在我们规定 f~(n)g+fg~(n)=A_0(fg~(n)+A_1(f′g′)~(n-2)+…++A_[n/2]~(f~([n/2])g~([n/2]))(n-2([n/2])),其中高斯记号[n/2]表示不超过n/2的最大正整数。由于未定系数A_0,A_1,…,A_[n/2]的数值函数f(x),g(x)无关,不妨选取 f(x)=e~(ax),g(x)=e~(bx),就有 f~(n)g+fg~(n)=(a~n+b~n)e~((a+b)x),以及 (f~(ι)g~(ι))~((n-2ι))=(a+b)~(n-2ι)(ab)~ιe~((a+b)x)(ι=1,2,…,[n/2])。代入规定的等式中,两边约去公因子e~((a+b)x)以后,立刻得到     

ON SOME CONSTANTS OF QUASICONFORMAL DEFORMATION AND ZYGMUND CLASS

A real-valued function f(x) on Ж belongs to Zygmund class A.(Ж) ff its Zygmund norm ‖f‖x=inf,|f(x+t)-2f(x)+f(x-t)/t|is finite. It is proved that when f∈A*(Ж), there exists an extension F(z) of f to H={Imz&gt;0} such that ‖Э^-F‖∞≤√—1+53^2/72‖f‖z.It is also proved that if f(0)=f(1)=0, thenmax,x∈[0,1]|f(x)|≤1/3‖f‖x.