谈杨辉三角及其蕴藏的数列问题

“杨辉三角”是中国悠久数学文化的代表之一.其蕴含着丰富的数学规律,其中,从杨辉三角的斜看或横看,各列各行的数字排列规律代表着不同数列,这些独自看来互不相关的不同数列,不同的通项公式以及求各公式,却在杨辉三角中直观地显而易见地得到答案.将这些数列与杨辉三角以及组合数之间的特性放在一起学习,从中寻找彼此间密切的联系,以拓宽学生数学视野,构建完整知识体系,达到融会贯通事半功倍的效果.     

一个计数问题的简单求解

题　如图 1,在某个城市中 ,Ｍ ,Ｎ两地之间有着整齐的道路网 .若规定只能向东或向北两个方向图 1　题目原图沿图中路线前进 ,则从Ｍ到Ｎ不同的走法共有几种 ?这个问题似乎无章可循 .要想在计数中做到不重不漏 ,如果没有良好的数学思维能力 ,的确是很难的 .下面给出一种迅速而简单的求解方法———杨辉三角法 .把图 1稍加转动 ,使Ｍ在正上方 ,Ｎ在正下方 .然后在图 1的各交叉点上标上相应的杨辉三角数 ,便得到如图 2所示的一张数表 .由加法原理可知 ,Ｎ图 2　转动后的图形处位置所对应的数就是本题的答案 .运用杨辉三角形 ,我们可得到从Ｍ到…     

神奇的杨辉三角

<正>南宋的杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中记录了图1所示的三角形数表,称之为"开方作法本源"图,即现在的杨辉三角,其本质是二项式系数在三角形中的一种几何排列(如图2).杨辉三角中蕴含着许多奇妙的性质,也与许多数学问题有着密切的联系.古今中外,有许多数学家如贾宪、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都层深入研究过杨辉三角,     

介绍一种新的杨辉三角

华罗庾先生在[1]中写道:“杨辉是我国宋朝时候的数学家,他在公元1261年著了一本叫做《详解九章算法》的书,里面画了这样一张图,[1]中封二)并且说这个方法是出于《释锁算书》,贾宪曾经用过它。……然而有一点是可以肯定的,这一图形的发现在我国当时不迟于1200年左右。在欧洲,这图形称为“巴斯加(Pascal)三角。”因为一般都认为这是巴斯加在1654年发明的。……可是无论怎样,杨辉三角的发现,在我国比在欧洲至少要早300年左右。” 杨辉三角的发现是中国古代数学的辉煌成就,但数百年来,关于杨辉三角推广的工作,进行的甚少。近来,笔者对杨辉三角进行了推广,得到了若干有用的结果,本文只列出数个主要结论。 为了以后进行比较,首先回顾一下杨辉三角的概念。 定义1 杨辉三角是指如下的图形:     

杨辉三角的一个奇妙性质及其证明

在《中学生数学》初中2011年第11期中,数苑纵横有一篇文章是李忠勇的《杨辉三角的一个奇妙性质》,其中提到,仔细观察杨辉三角,发现左右两行都是数字1,猜想杨辉三角是否与11有某种关系呢？我们发现,杨辉三角前5行中每行数字组成的数都是11的幂,即：1=110,11=111,121=112,1331=113,14641=1...     

线段构成的美丽图案——“包络”揭秘

亲爱的同学 ,下面的图案漂亮吗 ?这些图案中包含了一些曲线 ,其实它们都是由多条线段构成的 .请按照下面的步骤试一试 :图 1图 2①画一个角 ;图 3②在角的两边取距离相等的点 ;③将这些点按如图3办法编上号码 ;④把号码相同的点用线段连起来 .你得到了什么有趣图案 ?利用这个办法尝试画出上面的图案 .你也可以发挥想象 ,自己创作出更有趣的图案来 !如果你动手画了 ,就会发现一系列的线段包围出一个抛物线的形状 ,这在数学上称为“包络” .一系列的线段为什么会包围出一个抛物的形状来 ?这个问题可不简单 !让我们来考察一个简单得多的问题 :…     

从杨辉三角教法谈发挥教材的教育功能

杨辉三角是我国数学史上一项杰出的成就,是现今中学数学教材中联系二项式定理的一个重要内容。本文拟结合“二项式定理——杨辉三角”起始课的教法,探讨数学课中如何发挥教材的教育功能。     

一道线段计数题的引伸

人教版《几何》第一册17页第6题是:在图1中的两条直线上,各有哪几条线段?像这样的计数题,如果先找出规律再数,就可避免重复和遗漏.这里以第二条直线为例来说明这个计数规律:以A为一个端点的线段     

杨辉三角与 FIBONACCI 数

杨辉,是我国宋、元时期的数学家,Fibonacci,系意大利数学家(1175—1250),他们的国籍中西有别,所处的年代先后不尽相同,怎么把这两个名字扯在一起了呢? 杨辉三角,是二项式系数表成三角形方式的名称,Fibonacci数,是兔子逐月繁殖的对数之总和,二者犹如风马牛,又怎么能把它们“相提并论”呢? 然而,有趣的是,在杨辉三角中竟能找到Fibonacci数。把杨辉三角排成直角三角形: 从铅垂直角边上的每一个“1”出发,作与水平直角边成45°角的斜线,可以看出,每一条斜线上的各数之和都是Fibonacci数,如第一条斜线上只有一个数1, 第二条斜线上也只有一个数1, 第三条斜线上各数之和是1+1=2,     

由可重复组合数构成的组合三角——杨辉三角的又一性质

从组合数学的观点,杨辉三角是由不可重复组合数构成的组合三角,本文讨论的是由可重复组合数构成的组合三角及其与二项式定理对应的结论和一些应用,进而讨论在某些限制条件下可重复组合三角的其它问题。     

TI图形计算器探究"杨辉三角"

本文是一个将信息技术与高中数学知识整合的教学实例,指导学生借助图形计算器学习合情推理的方法,探究杨辉三角中的数学规律.学生使用图形计算器研究数学问题过程中某些繁琐的计算、推导完全可以由机器完成,使学生把学习的重心放到观察、猜想中去,进一步培养学生研究性学习的能     

抽屉原理

分析1985年第26届国际数学奥林匹克第三题的解法,我写了“简化杨辉三角”一文。本文介绍可以解决另一道奥林匹克试题第四题的方法——抽屉原理,原理本身很简单,也许多数中学生中的数学爱好者都知道,即使不知道的中学生,讲出来马上就能接受,不过它在初等数     

质疑指引数学思维

<正>质疑是学习数学的良师益友,是打开数学知识宝库的一把钥匙.要想真正学好数学,在学好课本知识的同时,还要能够根据巳学知识对一些数学问题设置新的疑问,问个为什么,并争取解决它.那中学生怎样才能在疑问的基础上产生新的质疑呢?费马在阅读丢番图(Diophatus)?算术?一书时,曾在第11卷第8命题旁写道:"将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分     

有限随机图上的随机游动和传染病模型

随机图是概率论研究的重要领域.在一个由若干图组成的集合上赋以一个概率测度,就得到一个随机图模型.关于随机图的研究主要集中于图的几何量,如最大连通分支的顶点个数、连通度、典型距离、直径、色数等,随机图模型有时也与概率论关注的其他主题进行综合,例如随机图上的随机游动和传染病模型.本文对于随机图上的随机游动和传染病模型的已有结果进行综述.     

一道高考题的探究性学习

2007年高考湖南卷（理）第15题为： 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0—1三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第___________行；第61行中1的个数是：___________．     

古希腊三大几何问题的近似尺规作图

尺规作图是初等几何教育中的一个课题.它对培养学生的几何想象能力起到了重要作用.在古代,尺规作图的研究曾经促成过多个数学领域的发展.一些结果就是为解决古希腊的三大几何问题而得到的副产品.对尺规作图的探索推动了对圆锥曲线的研究,并发现了一批著名的曲线.     

勾股树作图过程中的数学思考与技术手段

勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠,是中学数学中的一个重要内容.在勾股定理的教学中,弦图和勾股图是两类重要的图形,本文仅就勾股树图的制作说明如何利用几何画板软件中的迭代功能制作动态的勾股树,以及制作过程中的数学思考与技术手段.     

几何概型应用举例

几何概型,以其形象直观的特点,倍受人们青睐,尤其用几何概型解决古老的约会问题,让人们感受到数学美的思维之花.笔者就常见的几何概型举例如下.1“与数相关的几何概型”例1在区间(0,1)上随机取两个数u,v,则关于x的一元二次方程x2-vx u=0有实根的概率.图1例1图分析:设事件A表示方程x2-v x u=0有实根,因为u,v是从(0,1)中任意取的两个数,所以点(u,v)与正方形D内的点一一对应,其中D={(u,v)|0相似文献   

“杨辉三角”中的矩阵的逆矩阵

《数学通报》一九八八年五期载文《“杨辉三角”中的行列式》。该文对这种特殊的行列式给出了快速求值法,阅后颇有启发。本文将对“杨辉三角”中的矩阵探讨一种快速求逆法。“杨辉三角”系指     

1998趣题

１９９８趣题徐孝舜数学通讯祝贺读者九八新年快乐！这是图１的七个矩形顶点处的文字．请换以数字１—１４，使各矩形顶点处４数之和为３０．图１图２的顶点处：山穷水复疑无路，柳暗花明又一村，请换以１４个连续的自然数，使各矩形顶点处的４个数之和为１９９８．图199...