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有这样一道题 :已知ｆ(ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ17ｘ ,则ｆ( 12 )= .在解答时 ,我令ｓｉｎｘ =12 ,解出ｘ =ｋπ ( - 1) ｋπ6(ｋ∈Ｚ) ,然后将ｘ代入原式右边 ,求得ｆ( 12 ) =±32 .但是 ,根据函数的定义 ,当自变量取 12 时 ,在值域中只有唯一的值与之对应 ,现在却有± 32 两个函数值 ,这是怎么一回事呢 ?剖析 1)上述的解法有错吗 ?由于函数 ｙ =ｆ(ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ17ｘ可以看作由外层函数 ｙ =ｆ(ｕ)与内层函数ｕ =ｓｉｎｘ复合而成 .而ｕ =ｓｉｎｘ是多对一的函数 ,当ｕ =12 时 ,可得到多个ｘ值(ｘ =ｋπ ( - 1) ｋ π6,ｋ∈Ｚ) .上述解… 相似文献
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《数学通报》2003,(2)
20 0 3年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 1 求大于 1的整数ｋ,使ｆ(ｘ) =ｓｉｎｋｘ·ｓｉｎｋｘ+ｃｏｓｋｘ·ｃｏｓｋｘ-ｃｏｓｋ2ｘ为常值函数 .(湖北省襄樊市一中 王必廷 441 0 0 0 )解 取ｘ=0 ,得ｆ(0 ) =0 ,故ｆ(ｘ) =0取ｘ =π/ｋ ,则ｓｉｎπ·ｓｉｎｋ πｋ +ｃｏｓπ·ｃｏｓｋ πｋ -ｃｏｓｋ2πｋ =0所以 -ｃｏｓｋ πｋ =ｃｏｓｋ2πｋ所以ｋ为奇数 ,且 -ｃｏｓ πｋ =ｃｏｓ2πｋ所以ｃｏｓ2πｋ =ｃｏｓπ - πｋ所以π- πｋ =2ｎπ±2πｋ所以 1ｋ =2ｎ - 1或3ｋ =1 - 2ｎ ｎ∈ｚ所以ｋ=1或 3经检验知… 相似文献
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高一年级1 .当函数 ｙ =2ｃｏｓｘ - 3ｓｉｎｘ取最大值时 ,求ｔａｎｘ的值 . 2 .求证 :ｔａｎ5=ｔａｎ2 +ｔａｎ3 +ｔａｎ2·ｔａｎ3·ｔａｎ5.3 .函数 ｆ(ｘ)是定义在 {ｘ|ｘ≠ 0 ,ｘ∈ｋ}上的奇函数 ,且 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )上为减函数 ,又ｆ( 3 ) =0 ,ｇ(θ)=ｃｏｓ2θ - 2ｍｃｏｓθ + 4ｍ ,θ∈ [0 ,π2 ] .若集合Ｍ ={ｍ| ｇ(θ) >0 },Ｎ ={ｍ| ｆ[ｇ(θ) ] <0 }.求Ｍ∩Ｎ .高二年级1 .已知不等式 1ｎ + 1 + 1ｎ + 2 +… + 12ｎ>11 2 ｌｏｇａ(ａ -1 ) + 23 对一切大于 1的自然数都成立 ,求实数ａ的取值范围 .(2 .已知 :△ＡＢＣ的顶… 相似文献
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题 1 已知ａ >0 ,ｂ >0 ,0 <ｘ <π2 ,求函数ｆ(ｘ) =ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ的最小值 .图 1 题 1图解 如图 1,ＡＰＢ为一以 |ＡＢ|=1为直径的半圆 ,设Ａ点有带电为ａ的点电荷 ,Ｂ点有带电为ｂ的点电荷 .对于弧上一点Ｐ ,令∠ＰＡＢ =ｘ ,则ＡＰ =ｓｉｎｘ ,ＰＢ =ｃｏｓｘ ,根据点电荷Ｕ =ｋ Ｑｒ 及电势叠加原理 .则Ｐ点电势ＵＰ=ｋａｓｉｎｘ ｋｂｃｏｓｘ=ｋ(ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ) (ｋ为静电常数 ) .这样 ,原问题便转化为在ＡＰＢ上找一点Ｐ0 ,使ＵＰ0 为最小值 .设想有一单位正电荷ｅ从Ｂ点沿圆弧自由运动 ,由其总能量守恒可知 ,当… 相似文献
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许多同学碰到等式或不等式两边有公因式时 ,不管公因式的取值范围如何就马上约去 ,从而造成解题失误 .请看下面例子 .例 1( 1990年高考试题 )方程ｓｉｎ2ｘ =ｓｉｎｘ在区间 ( 0 ,2π)内的解的个数是 ( )(Ａ) 1. (Ｂ) 2 . (Ｃ) 3. (Ｄ) 4 .误解 :原方程可化为 2ｓｉｎｘｃｏｓｘ =ｓｉｎｘ ( 1)两边约去ｓｉｎｘ ,得 2ｃｏｓｘ =1,即ｃｏｓｘ =12 ,∵ｘ∈( 0 ,2π) ,∴ｘ =π3或5π3,故应选 (Ｂ) .辨析 ∵ｓｉｎｘ =0在 ( 0 ,2π)内有解ｘ =π ,∴等式 ( 1)两边约去了公因式ｓｉｎｘ ,就导致失去解ｘ =π .此题应选 (Ｃ)… 相似文献
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选择题1 下列各等式成立的是 ( )(Ａ)ａｒｃｓｉｎ π3=32 .(Ｂ)ｃｏｓ(ａｒｃｃｏｓ π3) =π3.(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｔｇ 3) =3.(Ｄ)ｓｉｎ(ａｒｃｃｏｓ12 ) =12 .2 下列命题不正确的是 ( )(Ａ)函数 ｙ =ａｒｃｃｏｓｘ - π2 是奇函数 .(Ｂ)当ｘ∈ ( 22 ,1)时 ,ａｒｃｓｉｎｘ >ａｒｃｃｏｓｘ .(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｃｏｓ0 ) =0 .(Ｄ)当ｘ∈ ( -∞ ,0 )时 ,ａｒｃｃｔｇｘ >ａｒｃｔｇｘ .3 若 π4 <α <5π4 ,则ａｒｃｓｉｎ[22 (ｓｉｎα ｃｏｓα) ]的值为( )(Ａ) π4 -α . (Ｂ)α - π4 .(Ｃ)α - 3π4 . (Ｄ) 3π4 -… 相似文献
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我在学习的过程中 ,发现一些三角函数问题可以利用方程的思想来解决 ,避免了由于公式不熟或其它原因造成的错误 .以下举例说明 .例 1 已知 2ｓｉｎ2 ｘ -ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎｘｃｏｓｘ - 6ｓｉｎｘ +3ｃｏｓｘ =0 ,求解 2ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎ2ｘ1+ｔａｎｘ 的值 .解 观察已知条件 ,可把等式看作关于ｃｏｓｘ的一个方程 :-ｃｏｓ2 ｘ + (ｓｉｎｘ + 3)ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ(ｓｉｎｘ - 3) =0 ,即 (-ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ) (ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3) =0 .∵ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3≠ 0 ,∴ -ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ =0 ,得ｔａｎｘ =12 .又由 … 相似文献
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《中学生数学》2003,(7)
高一年级北京师范大学二附中 (10 0 0 88) 汪燕铭一、选择题1.若ｃｏｔα =125 ,则有 ( ) .(Ａ)ｓｉｎα =513 (Ｂ)ｓｅｃα >ｔａｎα(Ｃ)ｃｏｓα =±1213 (Ｄ)ｔａｎα =± 5122 .若ｔａｎ10°·ｃｏｔ10° + 1-ｓｉｎ2 α·ｃｏｓα +1-ｃｏｓ2 α·ｓｉｎα =0 ,则 ( ) .(Ａ)α =10°(Ｂ)α =ｋ·3 60°+ 10°(ｋ∈Ｚ)(Ｃ)α为任意角 (Ｄ)α是第三象限角3 .若α∈ (-π ,-π2 ) ,则 1-2ｓｉｎ α2 ·ｃｏｓ α2化简的结果是 ( ) .(Ａ)ｓｉｎ α2 -ｃｏｓ α2 (Ｂ)ｃｏｓ α2 -ｓｉｎ α2(Ｃ)± (ｓｉｎ α2 … 相似文献
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选择题 (第 1— 10题每题 4分 ,第 11— 14题每题 5分 ,共 6 0分 )1 已知集合Ｉ ={1,2 ,3,4 ,5},Ａ ={1,2 ,3},Ｂ ={3,4 ,5},则Ａ∩Ｂ = ( )(Ａ) {3}. (Ｂ) {4,5}. (Ｃ) {1,2 }. (Ｄ) .2 已知元素 (ｘ ,ｙ)在映射 ｆ下的像是 (ｘ -ｙ ,ｘ ｙ) ,那么 ( 2 ,- 4)在 ｆ下的原象为 ( )(Ａ) ( 1,3) . (Ｂ) ( - 1,3) .(Ｃ) ( 1,- 3) . (Ｄ) ( - 1,- 3) .3 函数 ｆ(ｘ) =1 ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ的最小正周期为( )(Ａ) π2 . (Ｂ)π . (Ｃ) 2π . (Ｄ) 3π .4 函数 ｆ(ｘ) =2 ｘ ａ2 ｘ-ａ为奇函数 ,则实数ａ… 相似文献
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反三角函数和简单三角方程 选择题1 ｔｇ(ａｒｃｃｔｇ 3)的值是 ( )(Ａ) 3. (Ｂ) 33.(Ｃ) π6 . (Ｄ) π3.2 ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎ3)的值是 ( )(Ａ)π - 3. (Ｂ) 3-π . (Ｃ) π2 - 3. (Ｄ) 3- π2 .3 ｃｏｓｘｃｏｓ2ｘ =-ｓｉｎｘｓｉｎ2ｘ的一个解是 ( )(Ａ) 90° . (Ｂ) 6 0° .(Ｃ) 30° . (Ｄ) 0° .4 ｔｇ[12 ａｒｃｓｉｎ( - 45) ]的值是 ( )(Ａ) - 2 . (Ｂ) 2 .(Ｃ) - 1. (Ｄ) - 12 .5 满足ａｒｃｓｉｎ( 1-ｘ)≤ａｒｃｓｉｎｘ的ｘ的取值范围是( )(Ａ) [-… 相似文献
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高一年级1.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =2 0° ,ＡＢ =ＡＣ =ｂ ,ＢＣ=ａ .求证 :ａ3 +ｂ3 =3ａｂ2 .2 .若 π6 ≤ｘ≤ π3,求函数 ｙ =ｔａｎｘ -ｓｉｎ2 ｘｔａｎｘ +ｓｉｎ2 ｘ的最大值和最小值 .3 .若函数ｆ(ｘ)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且ｆ(ａ2 -ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+ 1+ｃｏｓ2 ｘ)对一切ｘ∈Ｒ恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .高二年级1.在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1中 ,过ＢＤ1 的截面分别交ＡＡ1 、ＣＣ1 于Ｅ、Ｆ两点 ,求四边形ＢＥＤ1 Ｆ面积的最小值 .(北京 含 笑 )2 .已知 :ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1.求ｕ =1ｘ3 +12ｙ的… 相似文献
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题 1 已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象的一条对称轴为直线ｘ =1 ,若将函数 ｙ =ｆ(ｘ)图象向下平移 3个单位 ,再向右平移ｂ个单位后得到ｙ =ｓｉｎｘ的图象 .1 )求满足条件的所有的ｂ值及ｆ(ｘ)的解析式 ;2 )设ｚ =ｆ(ｘ 1 ) - 3ｘ ｉｓｉｎｘ ,ｗ =3ｚ2 1ｚ2 在复平面ｕ Ｏ ｖ上对应点为Ｐ ,求动点Ｐ的轨迹 .解 ∵ ｙ =ｓｉｎｘ 向左平移ｂ个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 向上平移 3个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 3.1 )∵ｘ =1为其对称轴 ,而其对称轴的一般形式为ｘ ｂ =ｋπ π2 (ｋ∈Ｚ) ,∴ｘ=1应是此方程的解 ,故ｂ =ｋπ π2 - 1 (ｋ… 相似文献
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问题 求函数ｙ =13ｓｉｎ( π8- 2ｘ)的单调递增区间 .甲 :解 ∵ ｙ =ｓｉｎｘ的单调递增区间为 :[2ｋπ -π2 ,2ｋπ π2 ] (ｋ∈Ｚ) ,∴由 2ｋπ - π2 ≤ π8- 2ｘ≤2ｋπ π2 得 -ｋπ 516 π≥ｘ≥ -ｋπ - 316 π (ｋ∈Ｚ) ,即所求的单调区间为 :[-ｋπ - 316 π ,-ｋπ 516 π] (ｋ∈Ｚ) .乙 :解 已知函数为 ｙ =- 13ｓｉｎ( 2ｘ - π8) ,欲求原函数的单调递增区间 ,只需求ｓｉｎ( 2ｘ - π8)的递减区间即可 .因为ｓｉｎｕ的递减区间为 [2ｋπ π2 ,2ｋπ 3π2 ](ｋ∈Ｚ) ,所以由 2ｋπ π2 ≤ 2ｘ - π8≤ 2ｋπ … 相似文献
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《中学生数学》2003,(7)
高一年级1.设 ｆ(ｔ) =ｔ3 +2 0 0 3ｔ,易证 ｆ(ｔ)在Ｒ上是奇函数且递增函数 ,由题意可知 :ｆ(ｘ - 1) =- 1, ｆ(ｙ - 1) =1.即 ｆ(ｘ - 1) =-ｆ( ｙ - 1) =ｆ( 1-ｙ) .∴ ｘ - 1=1-ｙ ,故ｘ +ｙ =2 .2 .由条件知 :ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ,ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 中必有一个不大于 1,一个不小于 1.不妨设 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ≤ 1, ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 ≥ 1.∵ α ,β∈ ( 0 ,π2 ) ,又ｙ=ｓｉｎｘ在 ( 0 ,π2 )上递增 .∴ ｓｉｎα≤ｃｏｓβ且ｓｉｎβ≥ｃｏｓα .∴ ｓｉｎα≤ｓｉｎ( π2 - β)且ｓｉｎβ≥ｓ… 相似文献
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两个重要极限选择题1 当ｘ→ 0时 ,函数 ｆ(ｘ) =ｃｏｓｘｘ ·ｓｉｎｘ的极限是( )(Ａ) 0 . (Ｂ) 1.(Ｃ) ∞ . (Ｄ)不存在 .2 当ｘ→ ∞时 ,ｆ(ｘ) =ｘ·ｓｉｎ 3ｘ的极限是 ( )(Ａ) 1. (Ｂ) 0 .(Ｃ) 3. (Ｄ)不存在 .3 当ｘ→π时 ,ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘｘ -πｃｏｓｘ的极限是 ( )(Ａ) 1. (Ｂ) - 1.(Ｃ) 0 . (Ｄ)不存在 .4 当ｘ→ 0时 ,ｆ(ｘ) =(1 ｓｉｎ2ｘ)1ｘ的极限是( )(Ａ)不存在 . (Ｂ) 1.(Ｃ)ｅ. (Ｄ)ｅ2 .5 当ｘ→ 0时 ,ｆ(ｘ) =(1- 2ｘ) - 1ｘ的极限是 ( )(Ａ)不存在 . (Ｂ)… 相似文献
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在中学数学中复合函数是一种很常见的函数 .各种资料、杂志上对它的研究很多 ,但其中由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域和求ｆ(ｘ)的问题在各种资料中常常写法不一 ,存在着疑问 ,给教学带来了困惑 ,值得商榷 .第一个问题 :由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域 .问题 1 已知ｆ(1 -ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ2 ｘ,求ｆ(ｘ)的定义域 .对这类问题各种教学参考书的处理一般都是 :令 1 -ｓｉｎｘ =ｔ得ｓｉｎｘ=1 -ｔ,ｓｉｎ2 ｘ=(1 -ｔ) 2 =1 -ｃｏｓ2 ｘ即ｃｏｓ2 ｘ =2ｔ-ｔ2 ,所以ｆ(ｔ) =2ｔ-ｔ2 ,又因为 -1 ≤ｓｉｎｘ=1 -ｔ≤ 1所以 0≤ｔ≤ 2 ,所以ｆ(ｘ)… 相似文献
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正弦变化真奇巧 ,左减右增两分晓 .余弦变化不同了 ,上减下增也怪妙 .正切都是增大的 ,余切偏偏全减小 .图 1解释 ①正弦函数 ｙ =ｓｉｎｘ (ｘ∈Ｒ) ,在每一个区间[2ｋπ - π2 ,2ｋπ π2 ](ｋ∈Ｚ)上为增函数 ,该区间内所有角的终边 (除端点外 )都落在 ｙ轴右侧 ;在每一个区间[2ｋπ π2 ,2ｋπ 3π2 ](ｋ∈Ｚ)上为减函数 ,该区间图 2内所有角的终边 (除端点外 )都落在 ｙ轴左侧 (见图 1) .②余弦函数ｙ =ｃｏｓｘ (ｘ∈Ｒ ) ,在每一个区间 [2ｋπ ,2ｋπ π](ｋ∈Ｚ)上为减函数 ,该区间内所有角的终边 (除端点外 )都落在ｘ轴上… 相似文献
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题目 已知函数 ｆ(ｘ) =1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ,试判断它的奇偶性 ,求函数周期、单调区间 .分析 首先来化简下式 :1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ.解法一 (由半角公式 )ｔａｎ ｘ2 =1-ｃｏｓｘｓｉｎｘ =ｓｉｎｘ1+ｃｏｓｘ.根据比例性质得ｔａｎ ｘ2 =1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ,即 原式 =ｔａｎ ｘ2 .解法二 (根据万能公式 )设ｔ=ｔａｎ ｘ2 ,则原式 =1+ 2ｔ1+ｔ2 -1-ｔ21+ｔ21+ 2ｔ1+ｔ2 + 1-ｔ21+ｔ2=2ｔ+ 2ｔ22 + 2ｔ=ｔ=ｔａｎ ｘ2 .解法三 (根据倍角公式 )原式 =(1-ｃｏｓｘ)… 相似文献
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三角函数的图象与性质 选择题1 若α为第一象限角 ,那么ｓｉｎ2α ,ｃｏｓ2α ,ｓｉｎ α2 ,ｃｏｓ α2 中必定取正值的有 ( )(Ａ) 0个 . (Ｂ) 1个 . (Ｃ) 2个 . (Ｄ) 3个 .2 已知1 ｓｉｎｘｃｏｓｘ =- 12 ,则 ｃｏｓｘｓｉｎｘ - 1的值是 ( )(Ａ) 12 .(Ｂ) - 12 . (Ｃ) 2 .(Ｄ) - 2 .3 已知ｓｉｎαｃｏｓα =18且 π4 <α <π2 ,则ｃｏｓα -ｓｉｎα的值等于 ( )(Ａ) 32 .(Ｂ) 34.(Ｃ) - 32 .(Ｄ)± 32 .4 下列函数中 ,在 (0 ,π2 )上为增函数 ,且以π为周期的奇函数是 ( )(Ａ) ｙ =ｓｉｎｘ .(Ｂ) ｙ =… 相似文献
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§ 1.Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ Ｆｏｒｔｈｅｗｅｌｌ ｋｎｏｗｎＢｅｒｎｓｔｅｉｎｐｏｌｙｎｏｍｉａｌＢｎ(ｆ;ｘ) = ｎｋ=0ｆ ｋｎ ｐｎ,ｋ(ｘ) , ｐｎ ,ｋ(ｘ) =ｎｋ ｘｋ( 1 -ｘ) ｎ-ｋ,ＢｅｒｅｎｓａｎｄＬｏｒｅｎｔｚ[1]ｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｆｏｒｆ∈Ｃ[0 ,1 ] ,0 <α<2 ,ｏｎｅｈａｓ｜ (Ｂｎｆ-ｆ) (ｘ) ｜=Ｏ ｘ( 1 -ｘ)ｎα/ 2 ω2 (ｆ;ｔ) =Ｏ(ｔα) . ( 1 .1 )Ｏｎｔｈｅｏｔｈｅｒｈａｎｄ ,ＤｉｔｚｉａｎａｎｄＴｏｔｉｋ[2 ]ｏｂｔａｉｎｅｄｔｈａｔｆｏｒｆ∈Ｃ[0 ,1 ] ,0 <α<2 ,ｏｎｅｈａｓ｜ (Ｂｎｆ -ｆ)… 相似文献