复平面上多边形相似的充要条件

复数在几何上具有广泛的应用。本文的目的是想在复平面上建立多边形相似的一个充要条件,然后利用它来解决某些几何问题。 为了方便起见,我们约定在复平面上某一点所对应的复数仍以表示该点的字母来表示。 定理 在复平面上,n边形A_1A_2…A_n与n边形B_1B_(?)…B_n都按逆(或顺)时针方向排列,则     

折线基本性质初探

为了从整体上掌握众多直线形的特征,应对折线的结构性质作一般考查,本文着重探讨平面折线的若干基本性质 1 折线的一般性质平面上一些线段顺次首尾相接构成的图形称为平面折线,我们约定,任何端点不在另外的线段上,构成折线的线段称为边,线段的端点称为顶点,共顶点的两边称为邻边,共边二顶点称为邻顶点,如果折线每条边都有两条邻边,就称为封闭折线,否则为开折线。定理1 n边封闭折线有n个顶点;n边开折线有n 1个顶点。边不相交的折线称为简单折线,简单封闭折线称为多边形,多边形划分平面的两部分,其中有限部分称为多边形内部,不难证明。定理2 n边形内部可用不相交的对角线划分为     

三角形外心与重心的一个性质的推广

命题设G为△ABC的重心,AG,BG,CG与△ABC的外接圆相交于D、E、F,则AGGD GBEG GCFG=3.该题是《数学通报》征解题387.文[1]把它推广为:定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP,BP,CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,P点落在以OG为直径的圆上的充要条件是APPD PBEP PCFP=3.本文把这个性质推广到n边形的外接圆内的点.设A1A2A3…An是⊙O的内接n边形,Ai(i=1,2,…,n)在以圆心为原点的平面直角坐标系内的坐标为(xi,yi),与三角形类似,定义1n∑ni=1xi,1n∑i=n1yi为n边形重心G的坐标.则有定理1P为n边形A1A2A3…An外接圆内一…     

平面多边形内角和的统一计算公式

大家知道,凸n边形内角和为(n—2)·180°.那么凹n边形内角和为什么?除凸、凹n边形外,其余的平面n边形内角和又为什么?这些平面n边形(以下简称n边形)内角和有统一计算公式吗?下面我们就来探讨这些问题. 如图1,要把转到与平行,可转过∠α,也可转过∠β.这里我们约定:本文     

为什么正多面体只有五种

我们知道,平面上的正多边形,可以有正三角形、正方形、正五边形、正六边形等等.对于任意一个正整数n,都有正n边形存在.平面上的多边形,类比到空间,就是多面体——由若干个平面多边形围成的封闭的空间图形.围成多面体的各个多边形叫多面体的面,两个面的公共边叫多面体的棱,棱和棱的公共点叫多面体的顶点.把多面体的任一面伸展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样     

凸n边形内Fermat点问题的初等证明

本文中,凸n边形内Fermat点是指形内到此n边形各顶点距离之和为最小的点。之所以这样相称的原因是因为法国数学家Fermat最先研究了这个问题,不过他只研究了三角形的情形。即指出了:在各顶角均小于120°的三角形中存在着唯一的到各顶点距离之和为最小的点,这一点就是形内对此三角形各边张角均为120°的点。对一般的凸n边形,有相应的命题: 如果一凸n边形内存在一点满足性质:此点至这n边形的各顶点所引的单位矢量之和为0,则这一点是此n边形内唯一的Fermat点。上述结论可以用数学分析的方法加以证明,即借助多元函数的极值理论。但是,似乎还一直未出现过这个一般性问题的初等证明,本文则将对此给出一个简明的初等几何证明。为了利于叙述和证明,这里用另一方式叙述上命题的条件,这要用到关于复数的一些简单知识。先给     

星形成为正星形的充要条件

设中A1,A2，…，An是凸n边形的n个顶点，顺次连接每隔r（0≤r<-1）个点的两点，所组成的封闭折线，称为r阶n边星形．记作A（n，r）．其中厂称为这个星形的阶数或生成数．这个凸n边形A1A2…An称为该星形的外接n边形．若A（n，r）是由一条封闭折线组成，则A（n，r）称为素星形；若A（n，r）是由几条封闭折线组成,则称为合星形．其中每一条封闭折线称为合星形的一支．若A（n，r）的外接n边形是正n边垦形，则A（n，r）是正r阶n边星形，简称为亚星形．正”边形的中心，就称为正星形的中心．正星形可分为正素星形与正合星形两类．定理1若A（…     

空间平面内整点n边形上的整点个数

本文给出了计算空间平面内整点n边形上的整点个数的一个公式。     

正多边形与复数方程

我们知道,方程x=P(P∈C)的n个复数根,在复平面内对应一正n边形的n个顶点,在此我们将这一理论作推广。定理复数x_1,X_2,x_3,…,x_n对应正n边形的n个顶点的充要条件是x_i(i=1,2,…n)是方程(x-z_0)~n=p(p∈C)的n个不同的复数根,其中z_0是正n边形的中心所对应的复数,p为复常数。证明必要性,设z_0为正n边形中心所对应的复数,则x_1满足x_1-z_0=(x_1-z_0)[cos((2(i-1)/n)π)+isin(2(i-1)/n)π]其中i=1,2,…,n。∴(x_1-z_0)~n=(x_1-z_0)~n=P。即x_1,x_2,…,x_n为方程(x-z_n)~n=p的n个不同复数根。     

一个结论的商榷

本刊2007年第23期刊载了纪保存老师的《正三角形向量特征的推广》一文,其结论3是：在n边形A1A2……An（n≥3）中,设A1A2=a1,A2A3=a2,……AnA1=an,则n边形A1A2…An是正n边形的充要条件是所有首尾相连的两个向量的数量积都相等,     

格点凸九(十)边形内含格点数问题

格点凸多边形内含格点最少的问题是一较为困难的问题．对3≤，n≤8，问题已获解决，见文［1］、［2」．本文将对格点九（十）边形内含最少格点情况，及任意格来凸n边形的内含格来最少的的构图与面积作初步探讨．引理（i）格点凸五边形若某边上有4个格点，则真内至少含2个格点；（n）拒点0大边形着某边上有3个格点，则真内至少合2个格点．证明（i）如图1所示，设边AIAZ上除顶RAI，AZ外，项目2个榜点PI、PZ，连结A4PI．因为在格点凸五边形AIAZA。A4A。中至少百一格丽P。（见又11」），那么P。可能在①西四边形人ASAIP，内；②西四…     

正素数边形任何三条对角线形内不共点

whc57是杨之先生在1986年提出的一个猜想：当n为奇数时,正n边形的任何三条或三条以上对角线在形内不共点(参见[1])．本文证明n为素数时猜想成立．     

抛物线的切点多边形和切线多边形重心的一个定理及应用

过抛物线上任意三点 A1 ,A2 ,A3 ,分别作切线 ,三条切线围成一个△ B1 B2 B3 叫做切线三角形 ,而△ A1 A2 A3 叫切点三角形 .同样过抛物线上任意四点 A1 ,A2 ,A3 ,A4,分别作切线 ,四条切线围成一个凸四边形叫切线四边形 ,同样 A1 A2 A3 A4叫切点四边形 .不难发现 ,过抛物线上任意五点作五条切线 ,它们相交成 10个点 ,已不能围成凸五边形 ,看来 n≥ 5时 ,切点 n边形已不再有切线 n边形了 .本文将研究切点 n( =3 ,4 )边形与此时切线 n边形的重心的性质 ,然后给出一个应用 .定理 1　如图 1,设 A1 与 A2 是抛物线 y2= 2 px上任意两点 ,…     

关于正n边形的一个新结论

<正>贵刊在2013年12月下第13-14页上,刊登了赖丽梅、邱玉华老师的文章,很有启发,特别是"探究1与2"真妙.本文目的是对文章中的新结论"以正n边形的边为斜边向外作等腰直角三角形,n个直角顶点构成的n边形也是正n边形",从另一个角度来分析探讨,从而进一步得到一个新结论,现介绍出来,请大家指正.     

多边形等周问题的矩阵证明

<正> 文[1]对最简单的等周问题给出了矩阵证明,但鉴于求特征根、特征向量及求逆矩阵的繁杂性,因而采用[1]中所指出的一类升等周变换(即周长保持不变而面积增加的变换)难以解决该文作者所提出的猜测.本文将采用另一类升等周变换,仍借助于矩阵来解决平面上任意 n 边形的等周问题.定理1.周长相同的一切 n 边形中,凸等边 n 边形具有最大面积.     

正奇数边形任何三条对角线形内不共点

文[1]中作者证明了：当n为素数时，正n边形的任何三条或三条以上对角线在形内不共点．本文证明当n为奇数时，这一结论仍然成立．从而完全解决了猜想whc57．本文沿用文[1]记号．     

多边形重心坐标的求法

利用物体的质心公式推导非对称平面n边形的重心的坐标。     

圆锥曲线的一个优美性质

本文约定:若凸n边形的n边(或延长线)均与圆锥曲线相切,则称此凸n边形为圆锥曲线的外切凸n边形.笔者最近探究发现圆锥曲线外切凸n边形的一个优美性质,现将结果陈述如下,供大家参考.命题1若三角形△A1A2A3的三边A1A2、A2A3、A3A1(或其延长线),与圆锥曲线Γ分别相切于点T1、     

一道关于线段问题的探究

<正>问题的提出同一平面上,两个点可以形成一条长度为1的线段;三个点可以形成3条长度分别为1,2,3的线段;四个点可以形成长度为1,2,3,4,5,6的线段.我们可以提出如下问题:一般地,同一平面上有n(n>4)个点,这n个点两两相连所形     

正多边形的又一个充要条件

正多边形的又一个充要条件李宗奇（甘肃省徽县一中７４２３００）《数学通报》９４年第５期刊登的《正多边形的一个充要条件》一文中指出：如果凸ｎ边形Ａ１Ａ２…Ａｎ，满足：１°Ａ１Ａ２＝Ａ２Ａ３＝…＝ＡｎＡ１那么Ａ１Ａ２…Ａｎ是正ｎ边形．本文给出另一充要条件定...