1个简单不等式及其应用

命题若 x∈R,y>0, 则x/y(x-y)≥x-y (*) 证明 x/y(x-y)≥x-y(？)x(x-y)≥y(x -y)(y>0)(?)x2-xy≥xy-y2(?)x2-2xy+y2≥0(?)(x-y)2≥0,而此式显然成立,故(*)式成立,从证明过程易知等号成立的条件是x=y. 下面我们来看这个命题的一点应用. 例1 对任意实数a>1,b>1有不等式:     

换元法在证明代数等式中的应用

在证明代数恒等式时,适当地运用换元法进行变量置换,有时能使思路清晰过程简捷,现举例说明於下。一、通过换元,把多项式的项数减少或次数降低,可简化证明过程。例1,求证(1 x x~2 x~3)~2-x~3=(x~2 x 1)(x~4 x~3 x~2 x 1) (证明)设1 x x~2=y,则左边=(y x~3)~2-x~3=y~2 2x~3y x~6-x~3 =y~2 2x~3y x~3(x~3-1)=y~2 2x~3y x~3(x-1)(x~2 x 1) =y~2 2x~3y x~3(x-1)y =y(y 2x~3 x~4-x~3) =y(y x~3 x~4)=(1 x x~2)(1 x x~2 x~3 x~4) =右边。例2。求证x(x 1)(x 2)(x 3) 1 =(x~2 3x 1)~2     

一个不等式与一组希望杯最值问题

我们在高考复习中遇到了这样一个不等式:设x1,x2∈R,y1,y2∈R ,则有x21/y1 x22/y2≥(x1 x2)2/y1 y2 (*),当且仅当x1/y1=x2/y2时,等号成立．它的证明较为简单: (x21/y1 x22/y2)(y1 y2)=(x1 x2)2     

Diophantine方程y~2=px(x~2+2)

设p是大于3的奇素数.本文证明了:当p≡5或7(mod 8)时,方程y~2=px(x~2+2)无正整数解(x,y);当p≡1(mod 8)时,该方程至多有1组解;当p≡3(mod 8)时,该方程至多有2组解.     

问题解决中的轨迹意识

<正>我们先来看一个问题:设直线l_1:y=k_1x+1,l_2:y=k_2x-1,其中实数k_1、k_2满足k_1k_2+2=0.(Ⅰ)证明l1与l2相交;(Ⅱ)证明l_1与l_2的交点在椭圆2x~2+y~2=1上.解(Ⅰ)略.解法一由{y=k_1x+1,y=k_2x-1,(Ⅱ)得交点坐标     

妙求值域一例

题目求函数y=x (x~2 x 1)~(1/2)的值域.解y-x=(x~2 x 1)~(1/2) =((x 1/2)~2 3/4)~(1/2)≥3~(1/2)/2.又(y-x)~2=x~2 x 1(?)x=(y~2-1)/(2y 1),     

怎样从一个问题出发提出更多问题

《解析几何》课本上有这样的一道题 :过抛物线 y2 =2 px( p >0 )焦点F的直线和抛物线交于A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) .求证 :y1 y2 =-p2 .(证明略 )你能从这道题出发提出更多的数学问题吗 ?提出新问题的方法和途径是什么 ?一由此及彼 ,迁移联想联想 1　注意到 y1 ·y2 =-p2 ,很自然的会想到 :x1 ·x2 =?又kOA =y1 x1 ,kOB=y2x2 ,想到kOA·kOB =?再由倾角和斜率有关 ,想到tanα·tanβ =?(其中∠AOx =α ,∠BOx =β)变题 1　过抛物线 y2 =2 px( p >0 )焦点F的直线和这抛物线相交于点A (x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 ) .求值 :( 1)x1 ·x2 ;( 2 )k…     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,同学们就已经知道了两数和的平方公式: (x+y)~2=x~2+2xy+y~2。(1)这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们准备介绍它的部分应用。 (一)推証公式問題 乘法公式 (x+y)~2=x~2+2xy+y~2, (x-y)~2=x~2-2xy+y~2, (x+y)(x-y)=x~2-y~2, (x+y)~3=x~3+3x~2y+3xy~2+y~3, (x-y)~3=x~3-3x~2y+3xy~2-y~3, (x-y)(x~2+xy+y~2)=x~3-y~3, (x+y)(x~2-xy+y~2)=x~3+y~3等都可运用公式(1)来推导。例1.1.求証:(x+y)(x-y)=x~2-y~2。 証.令     

涉及抛物线的一条性质

文 [1]给出了如下一个命题 :过抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点 F作一直线交抛物线于 A、B两点 ,若线段 AF与FB的长分别为 a,b,则S△ A OB=p24 (ab+ba) .经过探索 ,我们证明了另一个命题　如图 1,过 x轴正方向上一点 M作直线 AB交抛物线y2 =2 px(p >0 )于 A、B两点 ,AM、BM的长分别为 a、b,且S△ AOB =p24 (ab+ba) ,则点 M为抛物线的焦点 .图 1证明　设 M(c,O) ,A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,AB的方程为 y =k(x - c) ,与 y2 =2 px联立得k2 (x2 - 2 cx +c2 ) =2 px,k2 x2 - 2 (k2 c+p) x +k2 c2 =0 ,∴　 x1 +x2 =2 (k2 c+p)k2 ,　 x1…     

一道题的错解分析

例题设P(x,y)在椭圆x~2/16+y~2/9=1上,试求f(x,y)=x+y的最值.分析本题是已知变量x和y,求f(x,y)=x+y的范围,于是思考两个变量的范围.错解一由于x~2/16+y~2/9=1,所以x~2/16≤1,y~2/9≤1,则-4≤x≤4,-3≤x≤3,     

幂函数教学中如何使认识深化

现行课本《幂函数》这个内容,是安排在学习了函数定义后,首先讲授的一类函数,它是从初中已经学过的函数y=x,y=x~2及y=x~(-1)入手,引出幂函数y=x~(?)(这里只讨论α是有理常数的情况)。然后给出了函数y=x~3,y=x~(1╱3),y=x~(1╱2),y=x~(-2),y=x~(-(1╱2))的定义域。对于α>0时,在同一坐标系内画出了函数y=x,y=x~2,y=x~3,y=x~(1╱2),y=x~(1╱3)的图象:对于α<0时,在同一坐标系内画出了函     

妙用一个简单不等式解竞赛题

定理已知x、y∈R,则 (x+y)~2≤2(x~2+y~2) (*)等号仅当x=y时成立。证明由(x-y)~2≥0可得 x~2+y~2≥2xy两边同时加上x~2+y~2即得(*). 证明显然容易,但其应用却十分地广泛,本文通过一些国内外的竞赛题说明其应用。     

利用不等式求函数最值方法的推广

高中代数课本第二册88页例3,给了我们一种求函数最值的方法。原题如下: 已知:x、y∈R~ ,x y=S,xy=P。(1)如P是定值;当且仅当x=y时S的值最小。(2)如s是定值,当且仅当x=y时P的值最大。对于某些不满足x=y的函数,就无法用这种方法求得最值。如f(x)=(x~4 4x~2 5)/(x~2 2),它可化成f(x)=(x~2 2) 1/(x~2 2),尽管(x~2 2)·1/(x~2 2)=1,但无论x取何实数,(x~2 2)与1/(x~2 2)永不会相等。显然不能用例3的方法求f(x)的最小值。     

关于指数Diophantine方程$x^3-1=2py^2$

设p是奇素数,本文证明了:当p=48t~2 1,其中t是正整数时,方程x~3-1=2py~2无正整数解(x,y).     

运用联想证题一例

题目:设x、y∈R。求证(3x~2 3y~2-48x-18y 219)~(1/2) (3x~2 3y~2-12x 30y 87)~(1/2)>9 3~(1/2)。 本题条件单一,结论复杂。如果应用证明不等式的一般方法难以奏效。审察题目的表现形式,看不出有何特点。因此,可将题目的结论进行等价变形。     

抛物线的一个几何性质

下面的定理 ,给出了抛物线一个有趣的几何性质 .此性质的证法很多 ,本文仅介绍一种较简捷的证法 .引理　设过点 (t,o) (t∈ R)的一条直线与抛物线 y2 =2 px(p >0 )相交于 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )两点 ,则 x1x2 =t2 ,y1y2 =- 2 pt.证明　依题意可设直线方程为 x =my t,代入 y2 =2 px,得 y2 - 2 pmy - 2 pt=0∴　 y1y2 =- 2 pt,x1x2 =y212 p.y222 p=(y1y2 ) 24 p2 =(- 2 pt) 24 p2 =t2定理　设 A是抛物线 y2 =2 px(p >0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,B是 A关于 y轴的对称点 .(1 )若过 A点引直线与这抛物线相交于 P、Q两点 (图 1 ) ,则∠…     

Mordell方程y~3=x~2+2p~4的正整数解

设p是奇素数.对于非负整数r,设U_(2r+1)=(α~(2r+1)+β~(2r+1))/2~(1/2),V_(2r+1)=(α~(2r+1)-β~(2r+1))/6~(1/2),其中α=(1+3~(1/2))/2~(1/2),β=(1-3~(1/2))/2~(1/2).运用初等数论方法证明了:方程y~3=x~2+2p~4有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的充要条件是p=U_(2m+1),其中m是正整数.当上述条件成立时,方程仅有正整数解(x,y)=(V(2m+1)(V_(2m+1)~2-6),V_(2m+1)~2+2)适合gcd(x,y)=1.由此可知:当p10000时,方程仅有正整数解(p,x,y)=(5,9,11),(19,1265,123),(71,68675,1683)和(3691,9677201305,4541163)适合gcd(x,y)=1.     

“巧”用定义域求值域?

本斑黑板报《数学园地》的小编者们,在第20期上以“巧用定义域求值域”为题刊出了某同学的问题及解法: 求函数y=arecos(x~2-1/2x 1)的值域. 解:先求定义域:要使函数y=arccos(x~2-1/2x 1)有意义,必须-1≤x~2-1/2x 1≤1,解不等式组 x~2-1/2x 1≤1,x~2-1/2x 1≤-1 得0≤x≤1/2,根据反余弦函数的单调性有:π/3≤arccos(x~2-1/2x 1)≤π/2,即函数的值域为[π/3,π/2] 数学趣味小组的同学利用黑板报来研讨问题,促进数学水平的提高,我多次给予鼓励和肯定.但也不可避免地出现一些错题和错解,这正为教师发现问题和改进教学提供了信息. 其实上述解答是错误的.事实上,函数y=     

安徽高中数学竞赛题的变式与推广

<正>文[1]和文[2]分别给出了2006年安徽省高中数学竞赛初赛中的题目:"设x,y是实数,且满足x~2+xy+y~2=3.则x~2-xy+y~2的最大值和最小值是__."的三种思路三种解法与二种思路三种解法.笔者拜读了之后颇有感想,下面给出这个题目的一个变式,供大家参考.由于xy=x~2·y/x,y~2=xy·y/x,于是我们可     

抛物线问题的一种简捷解法

由于抛物线方程中有一个坐标变量是一次的 ,因此在设抛物线上的点的坐标时 ,我们可直接设二次变量为参数 ,如抛物线 y2 =2 px(p >0 )上的点可设为 (y0 22 p,y0 ) .采用这一设法 ,给解决问题带来了一定的方便 ,且过程显得简捷明了 .下面以近几年高考图 1　例 1图题举例说明 .例 1　 (2 0 0 4年北京高考题 )如图 1,过抛物线 y2 =2 px(p >0 )上一定点P(x0 ,y0 )(y0 >0 )作两条直线分别交抛物线于A (x1,y1) ,B (x2 ,y2 ) ,当PA ,PB的斜率存在且倾斜角互补时 ,求 y1+y2y0的值 ,并证明直线AB的斜率是非零常数 .解　将P ,A ,B三点的坐标调整为…