2003年中考数学模拟试题(6)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .下列单项式中 ,不是同类项的是 (　 ) .Ａ .5ｘ2 ｙ与 -4ｘ2 ｙ　　　Ｂ .15 ｘ3ｙ与 15 ｘｙ3Ｃ .8ａｂｃ2 与 8ｂａｃ2 Ｄ .5ｍ2 ｎ与 -3ｎｍ22 .下列属于因式分解的是 (　 ) .Ａ .2ｘ -2 ｙ +4 =2 (ｘ -ｙ) +4Ｂ .ａ2 ｂ +ａｂ2 =ａ2 ｂ2 ( 1ａ+1ｂ)Ｃ .(ａ +ｂ) (ａ -ｂ) =ａ2 -ｂ2Ｄ .ａ2 -12 ａ +11 6=(ａ -14) 23 .已知⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 的半径分别为 3ｃｍ和 5ｃｍ ,Ｏ1Ｏ2 =5ｃｍ ,这两圆的公切线最多有 (　 ) .Ａ .1条　　Ｂ .2条　　Ｃ .3条　　Ｄ .4条4.用一个平面去截一个正方体 ,得…     

初二代数第一学期期末自测题

Ａ组一 .选择题 :(每小题 2分 ,共 3 0分 )1 .下列因式分解正确的是 (　 ) .Ａ .ａｍ ａｎ -ｂｍ -ｂｎ=(ａ-ｂ) (ｍ -ｎ)Ｂ .ｍ2 4ｍｎ-ｎ2 4=(ｍ -ｎ 2 ) (ｍ -ｎ -2 )Ｃ . 2ａ2 4ａｂ 2ｂ2 -8ｃ2 =(2ａ 2ｂ 4ｃ) (2ａ 2ｂ -4ｃ)Ｄ .ｘ3 ｃｘ2 ｂｘ2 ｂｃｘ=ｘ(ｘ ｂ) (ｘ ｃ)2 .当ｘ-ｙ =1时 ,ｘ4-ｘｙ3 -ｘ3 ｙ -3ｘ2 ｙ 3ｘｙ2 ｙ4的值为 (　 ) .Ａ . -1　　Ｂ . 0　　Ｃ . 2　　Ｄ . 13 .若ｘ2 ｍｘ ｎ =(ｘ -1 ) (ｘ 2 ) ,则ｍ ,ｎ的值是 (　 ) .Ａ .ｍ =1 ,ｎ =2　　Ｂ .ｍ =1 ,ｎ =-2Ｃ .ｍ =-1 ,ｎ =2Ｄ .ｍ =-1 ,ｎ =-24.使分式 ｘ 22ｘ-6有意义的ｘ的取值是 (　 ) .Ａ .ｘ=3　Ｂ .ｘ=-2　Ｃ .ｘ≠ 3　Ｄ .ｘ≠ -25 .若ｘｎ-ｙｎ 可分解为 (ｘ ｙ) (ｘ -ｙ) (ｘ2 ｘｙ ｙ2 ) (ｘ2 -ｘｙ ｙ2 ) ,则ｎ的值是 (　 ) ...     

转化问题的几种策略

有些数学问题,若按常规方法解则繁琐难解.但是,只要改变考虑问题的角度或方法,将问题转化,就会得到简单巧妙的解法.下面举例说明.一.特殊值引路有些问题比较抽象或思路不明显,通过特殊值引路,就可找到解决问题的方法.例1　分解因式6ｘ2+(33-10)ｘｙ-53ｙ2+7ｘ+(23-5)ｙ+2.解:设6ｘ2+(33-10)ｘｙ-53ｙ2+7ｘ+(23-5)ｙ+2=(ａ1ｘ+ｂ1ｙ+ｃ1)(ａ2ｘ+ｂ2ｙ+ｃ2).令上式中ｙ=0,得:　6ｘ2+7ｘ+2=(ａ1ｘ+ｃ1)(ａ2ｘ+ｃ2).即(2ｘ+1)(3ｘ+2)=(ａ1ｘ+ｃ1)(ａ2ｘ+ｃ2),比较两边知ａ1=2,ａ2=3,ｃ1=1,ｃ2=2.再令ｘ=0,可得:　-53ｙ2+(23-5)ｙ+2=(ｂ1ｙ+ｃ1)(…     

教材例习题组成的不等式链

人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书 (试验本 )数学第二册 (上 ) (必修 )中 ,有以下几道例、习题 :1)已知ａ ,ｂ ,ｃ都是正数 ,求证 :(ａ +ｂ) (ｂ +ｃ) (ｃ +ａ)≥ 8ａｂｃ(Ｐ11练习第 1题 )(1)2 )已知ａ ,ｂ ,ｃ是不全相等的正数 .求证 :ａ(ｂ2 +ｃ2 ) +ｂ(ｃ2 +ａ2 ) +ｃ(ａ2 +ｂ2 ) >6ａｂｃ(Ｐ14例 5 )(2 )3)如果ａ ,ｂ ,ｃ为正数 ,那么　　　　ａ3+ｂ3+ｃ3≥ 3ａｂｃ (3)当且仅当ａ =ｂ =ｃ时上式取“ =”号 (Ｐ2 4阅读材料 :ｎ个正数的算术平均数与几何平均数 ) .4 )已知ａ ,ｂ ,ｃ是正数 ,且不全相等 ,求证 :2 (ａ3+ｂ3+…     

三项式定理及其三项式系数塔

1　三项式定理(Ａ) (ａ ｂ ｃ) ｎ =∑ｎｍ=0ｃｍｎａｎ-ｍ∑ｍｋ=0ｃｋｍｂｍ-ｋｃｋ证明　首先在这ｎ个相同的因式 (ａ ｂ ｃ)中任取 (ｎ-ｍ)个ａ相乘 ,再将剩余的ｍ个因式 (ａ ｂ ｃ)中任取 (ｍ—ｋ)个ｂ相乘 ,最后再将剩余的ｋ个因式 (ａ ｂ ｃ)中的ｃ相乘 ,则由组合数理论知(ａ ｂ ｃ) ｎ =∑ｎｍ =0ｃｎ-ｍｎ ａｎ-ｍ∑ｍｋ =0ｃｍ-ｋｍ ｂｍ-ｋｃｋ=∑ｎｍ =0ｃｍｎａｎ-ｍ∑ｍｋ =0ｃｋｍｂｍ-ｋｃｋ(Ａ)式得证 .2　三项展开式的排序规律经探究 ,(Ａ)左右端展开式的诸项可以按照字典排列法有序地摆放成一结构对称的等边三角形 .…     

一个定理的别证及推广

文 [1 ]的定理 2为 :设ａ ,ｂ∈Ｒ+,若ａ+ｂ≤ 2 ,则ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ ≤ａｂ +1ａｂ若ａｂ≥ 1 ,则ａ+ｂ2 +2ａ +ｂ≥ ａｂ+1ａｂ其证明方法是作差比较法 ,现用函数的单调性证明之 .证明　易证函数ｆ(ｘ) =ｘ +1ｘ 在 (0 ,1 ]上递减 ,在 [1 ,+∞ )上递增 .因为 ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,故当 ａ+ｂ2 ≤ 1时 ,ｆ ａ+ｂ2 ≤ｆ(ａｂ) ,当ａｂ≥ 1时 ,ｆ ａ +ｂ2 ≥ｆ(ａｂ) ,即当ａ +ｂ≤ 2时 ,ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ≤ ａｂ+1ａｂ.当ａｂ≥ 1时 ,ａ +ｂ2 +2ａ+ｂ≥ ａｂ+1ａｂ.推广　设ｘｋ >0 (ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,若∑ｎｋ=1ｘｋ ≤ｎ ,则1ｎ∑ｎｋ =1ｘｋ+…     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 0年第 4期中有数学奥林匹克问题高 97.　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,求证 :(ａ 1 ) 3ｂ (ｂ 1 ) 3ｃ (ｃ 1 ) 3ａ ≥814.下面给出此题的证明 .证　左边≥ 3 (ａ 1 ) (ｂ 1 ) (ｃ 1 )3 ａｂｃ=3(ａ 12 12 ) (ｂ 12 12 ) (ｃ 12 12 )3 ａｂｃ≥ 3·33 ａ4·33 ｂ4·33 ｃ43 ａｂｃ =814.等号当且仅当ａ =ｂ =ｃ =12 时成立 .实际上 ,原命题可推广为 :ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,求证 :　　(ａ2 1 ) ｍａ1 (ａ3 1 ) ｍａ2 … (ａ1 1 ) ｍａｎ≥ ｎｍｍ(ｍ - 1 ) ｍ -1.证　左边≥ｎ[(ａ2 1 ) (ａ3 1 )…     

2003年中考数学模拟试题(8)

一、填空题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .-3的绝对值是 .2 .ｓｉｎ60° =.3 .函数 ｙ =ｘ -1的自变量ｘ的取值范围是.4.分母有理化 :12 +3 =.5 .若实数ａ ,ｂ分别满足ａ2 -5ａ +2 =0 ,ｂ2 -5ｂ+2 =0 ,则 ｂａ +ａｂ =.6.分解因式 :ｘ3-4ｘ =.7.若直线 ｙ =2ｘ +ｂ过点 ( 2 ,1 ) ,则ｂ =.8.如图 ,如果ｍ∥ｎ ,∠ 1 =40°,那么∠ 2 =.9.如图 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ;△ＤＥＦ中 ,ＤＥ =ＤＦ .要使得△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ ,还需增加一个条件是(填上你认为正确的一个即可 ,不必考虑所有可能情况 ) .1 0 .如图 ,Ａ ,Ｂ是⊙Ｏ上两点 ,且∠…     

求分式函数值域的方法

我们把形如ｆ(x) =(ｄx~2 +ｅｘ + ｆ)/(ａx~2 +ｂx+ｃ)(分子分母既约 ,ａ、ｄ不同时为零 )的函数称为二次分式函数 .下面举例说明二次分式函数值域的求法 .问题求函数 ｆ(ｘ) =ｘ + 22ｘ2 + 3ｘ + 6 的值域 .我们可以把函数式变形为ｆ (ｘ) =ｄｘ2 +ｅｘ+ ｆａｘ2 +ｂｘ +ｃ=ｍ(ｘ +ｎ)ｘ2 + ｐｘ+ ｑ+ｈ的形式 ,而ｇ(ｘ) =ｘ +ｎｘ2 + ｐｘ + ｑ=ｘ +ｎ(ｘ +ｎ) 2 +ｒ(ｘ+ｎ) +ｓ(ｓ≠ 0 ) .当ｘ +ｎ =0时 ,则易得 ｇ(ｘ) =0 ;当ｘ +ｎ≠ 0时 ,继续变形为 ｇ(ｘ) =1(ｘ +ｎ) + ｓｘ +ｎ+ｒ=1ｈ(ｔ) +ｒ,其中ｔ =ｘ +ｎ ,ｈ(ｔ) =ｔ + ｓｔ…     

巧换元解不等式

在高三复习阶段 ,我遇到了这样一道题目 :设ａ ,ｂ,ｃ为三角形的三边 ,求证 :ａｂ +ｃ-ａ+ ｂａ +ｃ-ｂ+ ｃａ +ｂ -ｃ≥ 3.解答如下 :证明　令ｂ +ｃ -ａ =ｘ ,ａ +ｃ -ｂ =ｙ ,ａ+ｂ -ｃ =ｚ .则ａ =ｙ +ｚ2 ,　ｂ =ｘ +ｚ2 ,　ｃ =ｘ + ｙ2 .∴　 ａｂ +ｃ -ａ+ ｂａ +ｃ -ｂ+ ｃａ +ｂ -ｃ　 =ｙ +ｚ2ｘ + ｘ +ｚ2ｙ + ｘ + ｙ2ｚ　 =12 (ｙｘ+ ｚｘ+ ｘｙ+ ｚｙ+ ｘｚ+ ｙｚ)　≥ 12 ·66ｙｘ·ｚｘ·ｘｙ·ｚｙ·ｘｚ·ｙｚ　 =3.(证毕 )总结　对于给出的条件或待求的结论比较繁琐时 ,可首先考虑将其中的一个整体进行换元 ,从而达到解…     

数学问题解答

20 0 2年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 91　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足不等式｜ｂ-ｃ｜≥3｜ａ｜,｜ｃ-ａ｜≥ 3｜ｂ｜ ,｜ａ-ｂ｜≥ 3｜ｃ｜ ,求证 :ａ+ｂ+ｃ=0 .(南昌大学附中　宋庆　 3 3 0 0 2 9)证明　因为ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ ,｜ｂ-ｃ｜≥ 3｜ａ｜,所以 (ｂ-ｃ) 2 ≥ 3ａ2 ,所以 3ａ2 -ｂ2 -ｃ2 +2ｂｃ≤ 0 ,同理得 3ｂ2 -ｃ2 -ａ2 +2ｃａ≤ 0 ,3ｃ2 -ａ2 -ｂ2 +2ａｂ≤ 0 ,以上三式相加 ,便得ａ2 +ｂ2 +ｃ2 +2ｂｃ+2ｃａ+2ａｂ≤ 0 ,所以 (ａ+ｂ +ｃ) 2 ≤ 0 ,所以ａ+ｂ+ｃ =0 .1 3 92　数列 {ａｎ}中 ,ａｎ =ｎ3·Π99ｉ=1(ｎ2…     

向量巧证不等式

在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .证明　构造向量ｍ—→ =(ａ ,ｂ) ,ｎ—→=(ｃ ,ｄ) ,设ｍ—→ 与ｎ—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则　ｍ—→·ｎ—→ =ａｃ +ｂｄ ,　 |ｍ—→| =ａ2 +ｂ2 ,　　 |ｎ—→| =ｃ2 +ｄ2 ,∵　ｍ—→·ｎ—→ =|ｍ—→|·|ｎ—→|ｃｏｓθ≤ |ｍ—→|·|ｎ—→| ,∴　 (ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .例 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1 ,…     

十二省市(辽宁、云南、湖南、乌鲁木齐、昆明、哈尔滨、山西、广西、西宁、河南、嘉兴等、甘肃)填空题集萃

数与式１．计算９３ｘ－７１２ｘ＋２６·３８ｘ＝．２．－１３的倒数是．３．（－６）２＝．４．２０００用科学记数法表示为．５．ａ的３倍与ｂ的一半的和用代数式表示为．６．分解因式ａ２－２ａｂ＋ｂ２－ｃ２＝．７．配上适当的数,使等式ｘ２－ｘ＋１＝（ｘ－）２＋成立．８．３５的相反数是,｜－６｜＝．９．用科学记数法表示：５７００００＝．１０．分解因式：ａ－ａｂ２＝．１１．已知线段ａ＝４ｃｍ,ｂ＝９ｃｍ,则线段ａ、ｂ的比例中项ｃ＝ｃｍ．１２．化简：ａ（ａ－１）２－（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）＝．１３．计算：（ａ…     

一个不等式猜想的推广及证明

在文 [1]中 ,宋庆、宋光在证明下面两个不等式 :若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,则(ａ ｂ) (1ａ 1ｂ)≥ 4 4 (4 ｂａ -4 ａｂ) 2 (1)(ａ ｂ ｃ) (1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9 6 [(6ｃｂ -6ｂｃ) 2 (6ａｃ -6ｃａ) 2 (6ｂａ -6ａｂ) 2 ](2 )后 ,提出了下面的猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ =1 ａｋ ｎｋ =11ａｋ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ <ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2(3)并作注 :采用上述“步步为营”的方法 ,可繁笨地证明ｎ =4,5等时 (3)式正确 .下面我们将不等式 (3)进行推广 ,得到了比不等式 (3)更强的结果 .定理 1　若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,…     

评第41届IMO第2题

20 0 0年第 4 2届ＩＭＯ的第 2题是 :设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａｂｃ =1.求证 :(ａ - 1 1ｂ) (ｂ - 1 1ｃ) (ｃ - 1 1ａ)≤ 1( 1)此题是一道陈题的变形 .事实上 ,由ａｂｃ =1,不妨设ａ =ｘｙ ,ｂ =ｙｚ ,ｃ=ｚｘ (ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ )代入 ( 1)式 ,得( ｘｙ - 1 ｚｙ) ( ｙｚ - 1 ｘｚ) ( ｚｘ - 1 ｙｘ)≤ 1 (ｘ ｚ - ｙ) (ｘ ｙ -ｚ) ( ｙ ｚ -ｘ)≤ｘｙｚ . ( 2 )( 2 )式是 1983年瑞士国际数学竞赛题之一 .关于它的证明较多 .其中最简单的莫过于如下证法 :由　ｘ2 ≥ｘ2 - ( ｙ -ｚ) 2=(ｘ ｙ -ｚ) (ｚ ｘ - ｙ) ,ｙ2 ≥ ( ｙ ｚ -ｘ) (…     

对一道课本例题的探究

高中代数下册 (必修 )第 7页例 2 ,已知 :ａ、ｂ∈Ｒ+并且ａ≠ｂ ,求证 :ａ5 +ｂ5 >ａ3 ｂ2 +ａ2 ｂ3 .作差 ,分解因式得 (ａ +ｂ) (ａ -ｂ) 2 (ａ2 +ａｂ +ｂ2 ) ,因为ａ、ｂ∈Ｒ+ ,所以ａ2 +ａｂ +ｂ2 >0 ,……对此 ,有同学提出 :因为ａ2 +ａｂ +ｂ2 =(ａ + ｂ2 ) 2 + 34ｂ2 其实只需ａ≠ｂ ,就可推出ａ2 +ａｂ+ｂ2 >0 ,因此 ,条件ａ、ｂ∈Ｒ+ 对原不等式并非必要 ,可弱化为ａ +ｂ >0 .与此类似的问题是否都存在这样的情况呢 ?这时我们若以批判的态度审视课本中同一页的练习 :已知 :ａ、ｂ∈Ｒ+且ａ≠ｂ ,求证 :ａ4 +ｂ4 >ａ3 ｂ +ａｂ3 ,…     

名校基础知识自测

初一年级北师大二附中 ( 1 0 0 0 88)　韦　蔷一、选择题1 .下列方程中是二元一次方程的是 (　　 ) .(Ａ) 2ｘ =3ｙ -1　　　 (Ｂ) 1ｘ=ｙ -2(Ｃ)ｘｙ =1 (Ｄ) 5ｍ + 7ｍ -3 =02 .方程 2ｘ + ｙ =5的正整数解的个数是(　　 ) .(Ａ) 1个　 (Ｂ) 2个　 (Ｃ) 3个　 (Ｄ) 4个3 .如果 ｘ =4ｙ =3 是方程组 ｍｘ +ｎｙ =5ｎｘ +ｍｙ =2 的解 ,则ｍ、ｎ的值是 (　　 ) .(Ａ) ｍ =2ｎ =1 (Ｂ) ｍ =2ｎ =-1(Ｃ) ｍ =-2ｎ =1 (Ｄ) ｍ =-2ｎ =-14.已知 2ｘ2ａ - 1 + ｙ3ｂ + 2 =4是二元一次方程 ,则ａ、ｂ的值为 (　　 ) .(Ａ)ａ =1ｂ =13(Ｂ) ａ =1ｂ …     

立方和(差)公式的正用、逆用及变用

立方和与立方差公式是 :ａ3+ｂ3=(ａ +ｂ) (ａ2 -ａｂ +ｂ2 ) ;ａ3-ｂ3=(ａ -ｂ) (ａ2 +ａｂ +ｂ2 ) .它们又可简单变形为 :ａ3+ｂ3=(ａ +ｂ) 3-3ａｂ(ａ +ｂ) ;ａ3-ｂ3=(ａ -ｂ) 3+3ａｂ(ａ -ｂ) .灵活应用这组公式 ,不但可以使问题快捷方便得解 ,而且常常令人回味无穷 .下面举例说明这组公式的应用 .一、正用(第九届“希望杯”初一试题 )计算783+2 2 3782 -78× 2 2 +2 2 2 .解　设 78=ａ ,2 2 =ｂ ,则　原式 =ａ3+ｂ3ａ2 -ａｂ+ｂ2 =(ａ +ｂ) (ａ2 -ａｂ+ｂ2 )ａ2 -ａｂ+ｂ2=ａ +ｂ=1 0 0 .二、逆用(第七届“希望杯”初二培训题 )计算1 9…     

上期课外练习解答

高一年级1 .在ＡＢ上取一点Ｄ ,使ＤＢ =ＣＢ ,设Ｅ为Ｄ关于ＡＣ的对称点 .连ＥＡ ,ＥＢ ,ＥＤ ,ＣＤ .易证△ＤＣＥ为正三角形 .ＢＥ为ＤＣ的中垂线 ,ＡＣ为ＤＥ的中垂线 ,有 :∠ＥＢＡ =4 0° =∠ＥＡＢ ,ＥＢ =ＥＡ =ＡＤ =ｂ -ａ .在△ＡＢＥ中 ,ｃｏｓ∠ＡＥＢ =2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ -ａ) 2 ;在△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓ∠ＡＢＣ =ａ2 +ｂ2 -ｂ22ａｂ ;由ｃｏｓ∠ＡＥＢ =-ｃｏｓ∠ＡＢＣ ,得2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ-ａ) 2 =- ａ2ｂ.整理 ,得　ａ3+ｂ3=3ａｂ2 .2 .ｙ=1 -ｓｉｎｘｃｏｓｘ1 +ｓｉｎｘｃｏｓｘ=212 ｓｉｎ2ｘ + 1- 1 .∵　 π…     

用“若a+b=0,则ab≤0”解竞赛题

如果两实数ａ ,ｂ满足ａ +ｂ =0 ,则ａｂ≤0 .应用这个结论解答一些竞赛题十分简捷 .现举例说明 .例 1　ｘ ,ｙ ,ｚ均为实数 ,解方程组ｘ + ｙ =2ｘｙ -ｚ2 =1①②(1987年上海市初中数学竞赛 )解　由①得　 (ｘ -1) + (ｙ -1) =0 .∴ (ｘ -1) (ｙ -1) =ｘｙ-(ｘ + ｙ) + 1≤0 ③①、②代入③得　 (ｘ -1) (ｙ -1) =ｚ2 ≤ 0 ,∴　ｚ =0 ,　ｘ -1=ｙ -1=0 .故方程组的解是　ｘ =1,ｙ =1,ｚ =0 .例 2　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足ａ +ｂ +ｃ =0 ,ａｂｃ=8.求ｃ的取值范围 .(第一届“希望杯”初二数学竞赛 )解　由已知 (ａ + 12 ｃ) + (ｂ + 12 ｃ)…