导出1~2 2~2 3~2 … n~2的公式的一种方法

在贵刊2001年2月上期及2001年12月上期上,分别刊登了谢秀英与张立华二位老师的关于导出12 22 32 … n2(设为Sn)的公式的几种方法,很受启发.笔者在这一部分的教学过程中,与学生一起发现了12 22 32 … n2的公式导出的另外一种方法. 看图1的数阵:可以看作是一个“等边三角形”,其共有n行,每行的数字相同(从上至下每一行的数都是这一行的行数,且每一行数的个数与行数也相同).不难看出每行所有数的和分     

导出1~3+2~3+3~3+…+n~3的公式的一种方法

笔者曾在《中学生数学》2002年第5期(上)发表了《导出12+22+…+n2的公式的一种方法》的文章,主要阐述用全等三角形数阵并进     

导出1^3＋2^3＋3^3…＋n^3的公式的一种方法

笔者曾在《中学生数学》2002年第5期（上）发表了《导出1^2＋2^2＋…＋n^2的公式的一种方法》的文章,主要阐述用“全等三角形”数阵并进行“二维”变化进行叠加,得到n∑k=1k^2结论的方法．     

图形中的递推关系

一、数阵中的递推关系 例1将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，数阵中第n行（n≥3）从左向右的第3个数为_______. 解析我们来观察点阵中从左向右的第3个数的规律，设第n行中数为an（n≥3），     

赏析几道以图表为背景的题

以图表为背景的题,近年来在高考题中经常出现,笔者选择几道供大家欣赏．题1 (2005年上海理)用n个不同的实数 a1,a2,…,an可得到n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!行的数阵．对第i行ai1, ai2,…,ain,记bi=-ai1 2ai2-3ai3 … (-1)nnain(i=1,2,3,…,n!)．     

数学奥林匹克讲与练(Ⅶ)

例题讲解49．来证：在以正n边形的顶点为顶点的三角形中，互不全等的三角形的数目等于与最接近的整数．证明在以正n边形的顶点为顶点的三角形中，设有N1种不同的正三角形，N2种不同的非正等腰三角形，N3种不等边三角形，则N1=1或0（视n是否3的倍数而定）（1）（视n的奇偶性而定）（2）易知每个正三角形与1个含固定顶点A的正三角形全等；每个非正等腰三角形与3个含固定顶点A的这种三角形全等；每个不等边三角形与6个含顶点A的不等边三角形全等．但含顶点A的三角形的数目为50．20队参加比赛，问最少要安排多少场比赛，才能使每3队中至少有…     

第七届巴尔干国家中学生数学奥林匹克试题及解答

1.(希腊)设a_1=1,a_2=3,且对子所有的正整数n,a_(n 2)=(n 3)a_(n 1)-(n 2)a_n 。试求所有使a_n可被11整除的n的值。 2.(保加利亚)考虑下式定义的一个多项式:a_0 a_1x a_2x~2 …十a_((2)_n)x~(2n)=(x 2x~2 … nx~2)~2。求证: 3.(南斯拉夫)设A_1B_1C_1是不等边锐角△ABC的垂足三角形,A_2、B_2、c_2是内切于△A_1B_1C_1的圆与它的边的切点。求证:△A_2B_2c_2和△ABC的欧拉直线重合。注1.已知三角形的垂足三角形以原三角形高线的足为顶点。注2.已知三角形的欧拉直线由它的垂心(三条高的交点)和它的外接圆心确定。     

非锐角三角形个数的估计的改进

文[1]定理1证明：平面上任何三点不共线的n(n≥4)个点所组成的三角形中，非锐角三角形个数不少于1/4Gn^2，即至少有三角形总数的25％是非锐角三角形．令f(n)表示平面上任何三点不共线的n(n≥4)个点所组成的三角形中，非锐角三角形个数的极小值．下面对这一结果进行改进，并作进一步的探讨。     

公式1~3 2~3 … n~3=…的多证

问题求证:13 23 33 … n3=1/4n2·(n 1)2(正整数立方数列的前n项和公式)．证法一如图,作出函数y=2x(x≥0)的图像．在x轴上顺次截取线段OO1, O1O2,O2O3,…, On-1On使OO1=1, O1O2=2,O2O3=3,…,On-1On=n,过O1、O2、O3、…、On．分别作x轴的垂线,交半直线y=2x(x≥0)于P1、P2、P3、…、Pn,则P1O1=2×1=2,P2O2=     

构成三角形的计数问题

在1，2，3，…，n这n（n≥3）个数中，任取三个不同的数，构成三角形的三边长，那么这样的三个数共有多少种不同的取法．     

类杨辉数阵

1 从一道奥数训练题谈起 题目 如下图所示的数阵的第n行第2个数是________.     

关于正方形的勾股剖分

将一个正方形剖分成n个勾股形（即三边长都是整数的直角三角形），n的最小值是多少？这是一个有趣的未解决的问题［fi．1968年，人们找到了将正方形剖分成5个勾股形的一个剖分图，如图1．那么n的最小值是否就是5呢？本文将回答这个问题．定理如果正方形可剖分成n个勾股形，那么n＞5．在证明定理之前，先介绍两个引理．引理1【'」三边长都是整数，底边上的高等于底边的整边三角形不存在．gi理2如图2，E、F分别在正方形儿汉D的边AD、CD上，则剖分三角形bABE、西汉F、凸n双、bEBI；'不可能都是勾股形．证明假设4个剖分三角形都是勾股形，…     

三角形的一个面积计算公式

文[1]给出了一个利用三角形三条中线长度计算三角形面积的公式:如果m,n,p分别是△ABC三边上的中线,那么S_(△ABC)=[(m n p)(m n-p)(m p- n)(n p-m)]~(1/2)/3 (1)本文拟给出一个更为一般的三角形面积计算公式.     

关于函数方程f_1~(n_1)+af_1~(m_1)f_2~(m_2)+f_2~(n_2)=1

对于函数方程f1n1+af1m1f2m2+f2n2=1,其中a∈C/{0},n1,n2,m1,m2∈N,给出存在非常数亚纯函数解和整函数解的必要条件.     

圆锥曲线内接三角形的一组性质

圆锥曲线上任意三点（双曲线指的是同一支上的三点）所构成的三角形称为圆锥曲线的内接三角形．我们这里主要研究内接△ABC的顶点A与圆锥曲线的一个顶点重合的情况．     

单群~2G_2(3~(2n+1))的拟刻画

设G为有限群,且满足M(G)=M(~2G_2(3~(2n+1))),则G必有正规子群同构于~2G_2(3~(2n+1))).特别地,若|G|=|~2G_2(3~(2n+1))|,则G≌G_2(3~(2n+1)).     

对一类本原Evans三角形的探究

给出一类三角形是本原Evans三角形的一个充分条件,构造出Evans三角形问题的两组新解,得到其高与底边之比分别为4n(n+1)和2n(n2-1)(n2-2)(n2-3)型的整数.     

三角形与多边形分割

1三角形分割将一个三角形的每边n等分,连结各顶点与诸分点的线段把三角形分割,问将三角形分割成多少块?设每边n等分将三角形分割成f(n)块.n=2时,因三条中线交于一点,故将三角形分割成6块,即f(2)=6.n=3时,如图所示:BD、BE将△ABC分割成3块;AF、AG分别被BD、BE截成3段,而每段将经     

第二届全国中学生数学冬令营竞赛试题

第一天 (1987年1月13日8:00——12:30) 一.设n为自然数,求证方程z~n+1-z~n-1=0 有模为1的复根的充分必要条件是n+2可被6整除。二.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分,过各分点作平行于其它两边的直线,将这个三角形分成小三角形,各小三角形的顶点都称为结点,在每一结点上放置了一个实数,已知①A,B,C三点放置的数分别为a,b,c; ②在每个由有公共边的两个最小三角形组成的菱形之中,两组相对顶点上放置的数之和相等。     

殊途同归和谐统一

一、问题展现 问题:将2016个互不相等的实数排成一个三角形数阵(如图),各数等可能的排在任意一个位置,设Mk表示数阵的第k行(k=1、2、…、63)中的最大数字,则恰好排成M1＜M2＜…＜M63的概率为( ).A.263/64! B.262/64! C.263/63! D.262/63! 这是一道高考模拟试题,是一道常见的排列组合与概率问题.