三角形中一类新的几何不等式

众所周知,三角形中有高线、内角平分线、中线等几何元素.本文将给出与这些几何元素平行的一个新概念——三角形的外心线,并通过类比三角形中与高线、中线、内角平分线相关的不等式,建立三角形中一类与外心线有关的新的几何     

关于三角形外心线的几个不等式

众所周知,三角形中有高线、中线、内角平分线等几何元素.本文将给出与这些几何元素平行的一个新概念——三角形的外心线,并通过类比三角形中与高线、中线、内角平分线相关的不等式([1]),建立了三角形中与外心线有关的几个新的几何不等式.     

三角形的五心初谈(一)

<正>在欧几里得的《几何原本》中,没有三角形五心的概念.对三角形"心"的认识应该说是平面几何认识的深化,是近代人们较为系统的开拓.1对三角形五心的初识人们在几何作图和证明中逐渐发现,三角形的三条中线、三条角平分线、三条高线、三边的垂直平分线和一个内角的平分线以及另两个外角的平分线都是共点的.我们用极其初等的办法就可以证明.     

三角形的四心性质在竞赛中的应用

<正>三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形的重要概念.重心:中线的交点,重心将中线长度分成2∶1;垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.利用三角形的四心的性质去解题是初中数学竞赛热点.     

基于三角形的内角平分线问题的求解策略

三角形的角平分线是指三角形的一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点间的线段．这样在解析几何中涉及到与三角形的角平分线的问题常常有求三角形顶点的坐标、内角平分线的长度、内角平分线所在的直线方程、分点的坐标等．上述问题求解常用策略如下：     

三角形内外角平分线性质及其应用

在研究几何中,我们时常发现一些有趣的性质,如三角形的同一个角的内角平分线和外角平分线分其对边及其延长线上的四条线段成比例.此性质充分揭示出三角形的同一个角的内角平分线和外角平分线之间的内在关系,即由内、外角平分线所截得的四条共线线段成比例,它为我们证明此类问题开辟了一条行之     

关于三角形角平分线与中线的一个不等式

本文将给出三角形中线长与角平分线长的一个有趣的几何不等式．     

引入外心巧解题

<正>三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心,它是三边垂直平分线的交点.利用外心到三角形三个顶点的距离相等及圆周角定理,可巧解一些几何问题.下面以文[1]的两个题目及文[2]的一个题目为例说明如下.问题1[1]如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°.O为形内一点,∠OBC=10°,∠OCB=30°.求∠BAO度数.     

三角形一个共点线命题的"姊妹"命题

文[1]给出这样一个共点线定理: 三角形一内角平分线分原三角形为两个新的三角形,其内心和该内角的外角平分线与对边延长线的交点共线.     

Morley定理的一种极限形式

美轮美奂的Morley定理[1]称:图1一个三角形的六条内角三等分线,与每边相邻的两线各交于一点,这三点是一个正三角形的顶点.(如图1)该定理一经问世,便一直为人们所津津乐道,的确不失为一个令人惊讶的数学定理.图2然而笔者发现,若将通常定义的三角形予以某种拓广:如将其一顶点A置于“无穷远点”,即通常所谓二平行直线A1B∥A2C被直线BC所截,得到折线图形A1BCA2(如图2).与直线A1B,A2C距离相等的点的轨迹,即“正中”平行线l仍然保持通常定义下的三角形的“角”平分线的某些性质.如:l与两角∠C,∠B的平分线三线相交于同一点I,此点到三“边…     

构造等边三角形解赛题

几何题难,难在作辅助线.在人们的思维定势中,常以作延长线、作高线、作角平分线和作中线为思考的方向,而以某线为一边,作等边三角形这样的辅助线很难想到.若在解题时我们能构造等边三角形解题,就可以简化思考     

等腰三角形的综合研究(上)

<正>(一)基础知识提要有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两条边叫做腰,第三边叫做底边.底边对的角叫做顶角,其余两个角叫做底角.一、等腰三角形的基本定理定理1等腰三角形的两个底角相等,两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称为,三角形中等边对等角,等角对等边).定理2等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线、高线和垂直平分线.即等腰三角形的内心、重心、垂心和外心在一条直线上,     

三角形外角平分线三角形的性质

关于与三角形相关联的三角形 ,诸如垂足三角形、伪垂足三角形、中点三角形、内角三等分线三角形、外角三等分线三角形等等的研究 ,近年来有很多新的结果 .而对三角形外角平分线的交点所构成的三角形 (以下简称“三角形外角平分线三角形”)的研究并不多见 ,本文给出三角形外角平分线三角形的一些性质 ,旨在抛砖引玉 ,使对有关三角形的研究更趋完善 .图 1如图 1 ,△ ABC是一任意三角形 ,△ DEF是其外角平分线三角形 .设△ ABC的面积为△ ,外接圆半径为 R,三内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c;△ DEF的面积为△ 0 ,三内角 D、E、F所…     

关于三角形内角平分线长的一个不等式

关于三角形内角平分线长的一个不等式赵小云，孙文彩（杭州大学数学系３１００２８）（湖南南县第二中学４１３２０２）刘健在文［１］中证明了下述的三角形不等式：设△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的平分线与面积分别为Ｗａ，Ｗｂ，Ｗｃ与△，则（其中表示循环和，下同此）联...     

三角形的内接三角形面积的不等式链

三角形的内接三角形面积的不等式链赵心敬，焦和平（西安市一中７１００８２）定义１以三角形三边上的高线的垂足为顶点的三角形叫做原三角形的垂足三角形．定义２以三角形的内切圆与三边的三个切点为顶点的三角形叫做原三角形的切点三角形．定义３以三角形三边上的界点为...     

三角形的五心初谈(二)

<正>3伴随三角形用塞瓦定理不能直接证明三角形的外心,原因是对一般的三角形来说,三边的中垂线并不一定过三角形的顶点,因此不一定是塞瓦线,所以不适合应用塞瓦定理.下面的转化关系是很有趣的.如图12,△ABC的中点三角形为△A_1B_1C_1,中点三角形的三条高线共点H,就是△ABC三边的中垂线共点.     

sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≤1/8新证

在△ABC中,成立着不等式,这是同学们熟知的。本文应用三角形内角平分线的长与高的关系,给出这个不等式的一个新颖、简捷的证法,供参考。     

探究三角形主要线段与三角形全等

<正>同学们知道判定两个三角形全等需要三个条件,并有SSS,SAS,ASA,AAS,HL等判定方法,这些都是从三角形边角的角度判定的.同学们还知道,全等三角形对应中线、对应角平分线、对应高线分别相等.那么,反过来,从三角形边角和主要线段(中线、角平分线、高线)中取三个条件,能判定两个三角形全等吗?我们按照下面的思路探究,先固定三角形中边角的两个条件,再添加一个关于三角形主要线段的条件.     

斯坦纳——雷米欧司定理的证明及推广

两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形.这就是著名的斯坦纳——雷米欧司定理.这是一个充满诱惑力的几何命题,是一道脍炙人口的几何名题.1840年德国数学家雷米欧司在给斯图姆的一封信中提到,几何题在没有证明之前,很难说它是难还是容易.等腰三角形两底角平分线相等,初中生都会证明;可是反过来,已知三角形两内角平分线相等,要证它是等腰三角形却不容易了,我至今还没有想出来,斯图姆向许多数学家提到了这件事,请求给出一个纯粹的几何学的证明,首先回答这个问题的是瑞士的几何学家斯坦纳(1796—1863),所以这个问题就以斯坦纳——雷米欧司定理而闻名于世.     

三角形的“旁垂心”及相关性质

<正>文[1]、[2]都给出了三角形的"旁外心"的定义如下:定义过三角形的三个顶点分别作三角形外接圆的切线,其两两相交的三个交点称为三角形的三个旁外心.在直角三角形中,直角所对的旁外心可看作在无穷远处,受此启发,本文再给出三角形的"旁垂心"的定义及相关性质如下: