三割线等比定理及其应用

<正>一、三割线等比定理[1]两条割线CD、EF分别交圆于点C、D、E、F,第三条割线交圆于点A、B,分别交CD、EF、CF、DE、CE、DF(或它们的延长线)于点P、R、M、N、T、S.     

圆幂定理及其应用

圆幂定理,实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,共包含如正三个定理(1)相交弦定理;(2)割线定理;(3)切割线定理.如果把以上三定理按交点在圆内和圆外进行讨论,则交点在圆内:相交弦定理;交点在圆外;割线定理、切割线定理、切线长定理.     

三割线定理的一个新证及其推广

一、三割线定理如图1,PAB、PCD、PEF为⊙O的三条割线,其中割线PEF经过弦AD和BC的交点G,则1/PE+1/PF=2/PG.我们先证明如下引理:如图2,△ABC和△XYZ内接于⊙O,则△ABC/△XYZ=     

由相交弦定理、切(割)线定理想到的

大家知道,平面几何中有如下定理:1.相交弦定理过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两条线段长的乘积相等.2.切割线定理从圆外一点向圆引切线和任一割线,切线长的平方等于割线与它在圆外部分的乘积.     

等比定理用处多

初中数学“相似形”一章介绍了比例的几条重要性质定理,其中等比定理的作用常被学生所忽视,其实,等比定理用处很多,下面举例说明。一、解方程组     

圆幂定理(上)

<正>在圆的知识中,以下几个定理都与线段的乘积式有关,它们是:相交弦定理圆的弦相交于圆内的一点,各弦被这点分成的两条线段的乘积相等.图1(1)PA·PB=PC·PD.切割线定理由圆外一点向圆引两条割线.则在每条割线上,由该点到割线与圆的两个交点所成的两个线段的乘积相等,都等于切线的平方.图1(2)PA·PB=PC·PD=PE2.     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课 题 直线与圆的位置关系 适用年级 初中三年级 学期 2004-2005学年度第一学期训练目的1.熟练掌握直线与圆的三种位置关系,灵活运用切线的有关定理及相交弦定理、割线定理、切割线定理等.2.培养学生学习数学的举和创造性思维.     

再论三割线定理

贵刊于2008年第九期登载了侯明辉老师的一篇文章《论三割线定理》,见文[1],文中对三割线定理及其逆定理的论述相当精彩,但笔者认为该定理只是一种特殊情形,本文将给出更一般的情形及变化,与各位老师共同探讨交流。     

圆幂定理图形中的优美性质

<正>相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理;它反映两条相交直线与圆的位置关系,其本质是与比例线段有关.本文给出圆幂定理图形中的其他性质,与读者共同分享.1相交弦定理图形中的性质性质1如图1,⊙O的两条弦AB、CD相交圆内一点P,PE、PF、PG、PH分别是⊙PAC、⊙PBD、⊙PAD、⊙PBC的直径,则PE⊥BD、     

四边形截线等比定理

<正>在平面几何中,笔者发现:四边形截任一直线而形成的某些线段有如下一个重要的等比关系.本人将此关系式称为"四边形截线等比定理",以下简称为定理.现定于后,供大家鉴析.定理直线l分别交四边形ABCD的边     

使用等比定理应注意条件

■在实践上,等比定理的上述条件尚没被充分重视,有些书甚至用等比定理证明出不成立的结论。 例1:在△ABC中,证明:     

等比定理之应用

在《相似三角形》一章中,有一不显眼的定理——等比定理:“如果那么证明设则故当b d … n=0时,等比定理不能适用．这种证明方法通常称为“归一法”或“比值     

几何证明选讲之“圆”的题根研究——从“圆周角定理”说起

几何证明选讲在人教版新课标教材中以选修内容出现,其主要内容之一是圆及其相关性质定理的应用,如"相交弦定理""线割线定理""割线定理""弦切角定理"等,高考对此部分内容的考查多以选择或填空及附加题的形式出现,试题难度不大,考查的知识点较为固定,本文以"圆周角定理"为根,就相关定理的推广应用,展开探究.题根:(圆周角定理)在同一圆上,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍.证明:略.说明:由圆周角定理可直接得出结论:同弧所对的圆周角相等,这是圆最基本的性质之一,在此基础上我们可以直接或间接得出圆的其他相关性质定理.     

学习等比性质五注意

等比性质是一个十分重要而又用途极广的定理.在学习中要注意以下几点:一、注意性质的条件等比性质的条件是在题设的一串相等的比中,各分母之和不能为零,如果忽视这一点,可能造成不完整或不合理的解答.     

三垂线定理及逆定理学习要点

1　正确把握三垂线定理及逆定理图 1　三垂线定理示意图同学们知道 ,三垂线定理及逆定理都涉及到三条直线和一个平面 ,即平面、平面内的一条直线 ,平面的一条斜线、斜线在平面上的射影 .如图 1所示 ,这一图形就是三垂线定理的基本图形 ,从对图形处理角度来看 ,应用定理过程就是从已知图形中寻找、构造、分离出基本图形的过程 .　　该定理反映的是斜线、斜线在平面内的射影与平面内一条直线垂直关系 .由于两定理结论都是线线垂直 ,因此凡涉及到有关线线垂直的问题都可以考虑用这两定理 .2　掌握三垂线定理应用程序应用三垂线定理程序为 :(1 )…     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直     

也谈圆锥曲线的“保型性”和“保形性”

“数学通讯”1986年第9期发表的“圆锥曲线保型性定理的别证与修改”一文中,给出了如下定理:过定点 M(x_0,y_0)作圆锥曲线Γ(指非退化曲线,M 非Γ的中心)的割线,则割线被圆锥曲线截得的动弦的中点轨迹Γ′是和原圆锥曲线同类型的圆锥曲线(或圆锥曲线的部分弧);且两者具有相同的离心率.     

拉格朗日中值定理逆命题成立的一个充要条件

本文针对《高等数学》拉格朗日中值定理逆命题成立的条件进行研究,采用函数曲线与割线的位置关系证明了文献[3,4]给出的充分条件,同时本文还给出并证明了拉格朗日中值定理逆命题成立的一个充要条件,以及判别方法.     

圆锥曲线的割线的性质

如果一条直线与圆锥曲线有两个公共点,我们称该直线为圆锥曲线的一条割线,当割线的斜率不为零时,它必与主轴所在直线(x轴)相交.下面以椭圆为例探究与割线有关的一些数学问题.引例过椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)作直线l交椭圆于P、Q两点,Q′是Q关于x轴的对称点(Q′与P不重合),直线PQ′交x轴于点M.则图1(1)PFFQ=M PMQ;′(2)点M为定点(-2ac,0).(1)证法1如图1,连结MQ,易知得等腰△MQQ,′∴M F平分∠QMQ.′由角平分线性质定理可得M P MQ=PF FQ,又MQ=MQ′,∴M P MQ′=PF FQ,所以PFFQ=M PMQ.′证法2设QQ′与x轴…     

集值测度的表示定理

1972年,Z.V.Artstein研究了集值测度的基本性质,得到了选择定理、凸性定理等.本文给出了集值测度的表示定理.证明了任何一族一致有界、两两等比的测度可以生成一个有界闭凸集值测度.同时,证明了有界闭凸集值测度可以找到它的一族一致有界选择,使得这族选择生成这个集值测度本身.