有心圆锥曲线的一道五点共圆问题

<正>笔者探索得出有心圆锥曲线的一个优美性质,现写出来与大家交流、分享.性质如图1,设椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,直线l与椭圆E有且只有一个公共点M,且交y轴于点P,过点M作垂直于l的直线交y轴于点Q,则F1,Q,     

一个定点问题的研究性学习

文[1]认真研读天津2004年高考理科卷第22题,从中挖掘了圆锥曲线的以下性质:性质1设椭圆xa22 by22=1(a>b>0)的焦点为F,相应于F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点Aac2,0,过点A的直线交椭圆于点P,Q,过点P且平行于准线l的直线与椭圆交于另一点M,则M,F,Q三点共线.性质2设双曲线ax22-yb     

一道数学征展新题的探究

(<中学数学>新题征展题) 已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1(a>b>0)的左准线交x轴于Q,过Q的直线交椭圆于A,B两点,过A,B的椭圆的两切线交于点P,F为左焦点,试问PF与x轴是否互相垂直?为什么?     

圆锥曲线的几个有趣轨迹

本文介绍圆锥曲线的几个有趣轨迹,供同学们学习参考．轨迹1 设A,B是椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b >0)的左、右顶点,垂直于x轴的直线与椭圆相交于P,Q两点,则AP与BQ交点的轨迹是 x2/a2-y2/b2=1(y≠0)．     

关于圆锥曲线对称割线切线的几个性质

本文所说的对称割线即为交点在圆锥曲线对称轴上关于该对称轴对称的圆锥曲线的割线；观察图1，它好象一把撑开的伞的骨架的投影图，我们发现：如果过x轴上点N的两条对称割线交椭圆于A，B，C，D四点，直线BC(或直线AD)与x轴交于点M，又过点N的另     

与椭圆相关的四个平行命题

对于椭圆,我们有如下命题1如图1,点A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短轴的下顶点和上顶点,C为椭圆的左顶点,M为椭圆上不同于椭圆顶点的动点,直线AM交x轴于点P,直线BM交x=a于点Q,则PQ∥CB.■证明由题意,设直线BQ的方程为y=kx+b,则Q(a,ka+b).     

圆锥曲线间的相互变换

文 [1 ]中给出了圆锥曲线间的几个有趣变换 ,并作了推广 .笔者经过深入研究发现 ,文 [1 ]中的定理还可以进一步推广到更一般的情形 ,而且有趣的是 ,圆锥曲线间可以相互变换 ,由一种圆锥曲线可以生成所有的各种圆锥曲线 .定理 1　设椭圆c:x2a2 +y2b2 =1 (a >b >0 ) ,PP′是c上的垂直于x轴的一条弦 ,M(m ,0 ) ,N(n ,0 )是x轴上的两点 ,设直线PM与P′N的图 1　定理 1图交点Q的轨迹为c′ .则1 )当 (m +n) 2 - 4a2>0时 ,c′为椭圆或圆 ;2 )当 (m +n) 2 - 4a2= 0时 ,c′为抛物线 ;3)当 (m +n) 2 - 4a2<0时 ,c′为双曲线 .证　设P (acost,bsint…     

一道高考题的拓广

2007年全国高考福建省理科卷第20题:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且QP·QF=FP·FQ.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=1λAF,MB=2λBF,求1λ 2λ的值.图1本题(Ⅰ)中,由条件可求得动点P的轨迹C的方程是y2=4x,显然F(1,0)是抛物线y2=4x的焦点,直线l:x=-1是抛物线y2=4x的准线.在(Ⅱ)中,由条件可求得1λ 2λ=0.(Ⅱ)中的这个结论对一般的圆锥曲线是否成立呢?延伸一下可得圆锥曲线的一个有趣性质:性质1过点F(m,0)(m>0)的直线交抛物线y2=2…     

2015年高考北京卷19题的解法、背景与推广

题1 (2015高考北京-19)已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为(21/2)/2,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M. (Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示); (Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.     

探究解法“促”理解 追根溯源“亮”本质——对2012年高考数学安徽卷理科第20题别解与探源

一、问题展示(2012年高考数学安徽卷第20题)如图1,F(1-c,0),F(2c,0)分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a2/c于点Q;     

圆的重要定理在椭圆上的推广

1　一道高考题启示2 0 0 3年高考北京试卷有如下题目 :如图 1 ,椭圆的长轴A1 A2 与x轴平行 ,短轴B1 B2 在 y轴上 ,中心为M( 0 ,r) (b>r >0 ) .图 1　椭圆1 )写出椭圆的方程 ,求椭圆的焦点坐标及离心率 ;2 )直线y =k1 x交椭圆于两点C(x1 ,y1 ) ,D(x2 ,y2 ) ( y2 >0 ) ;直线 y =k2 x交椭圆于两点G(x3,y3) ,H(x4,y4) ( y4>0 ) .求证 :k1 x1 x2x1 +x2=k2 x3x4x3+x4;3)对于 2 )中的C ,D ,G ,H ,设CH交x轴于点P ,GD交x轴于点Q .求证 :|OP| =|OQ| .(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形 )解　 1 )椭圆方程为 x2a2 + ( y -r) 2b2 =1 ,焦…     

求解一个解析几何问题的思路分析

题目设A（-a,0）,B（a,0）为椭圆a^2/x＋y^2/b^2=1（n〉b〉0）在x轴上的两个顶点,M（m,0）（m≠0,m≠±a）是x轴上的一定点,过M引不与x轴重合的直线交椭圆于P、Q两点,     

一道高考题的多种解法

题目 (2000年全国高考题 ):过抛物线y=ax2 (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF、FQ的长分别是p、q,则1p+1q等于(　　)(A) 2a　　 (B)12a　　 (C) 4a　　 (D)4a思路 1　抓住“过焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点”这一条件,利用特殊位置,可获得简捷解法.　　解法 1　由y=ax2 得x2 =1ay,于是抛物线的焦点为F 0,14a,如图,取过点F且平行于X轴的直线与抛物线交于P、Q两点,显然PF=FQ,即p=q,设Qx,14a,将其代入抛物线方程易求得x=12a. 　∴p=q=12a,即1p+1q=4a,故应选C(　　).思路 2　题目给定的已知条件“线段PF,PQ的…     

一道高考题的探源与推广

（2012年安徽卷理科20题）如图1，E（-c，0）、F。（c，0）分别是椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（n〉6〉0）的左，右焦点，过点F。作z轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a^2/c于点Q；C     

椭圆切线的尺规作法

在研究椭圆问题时 ,得到以下椭圆切线的一个尺规作法 :已知椭圆方程为x2a2 + y2b2 =1 (a>b >0 ) ,过椭圆上一点Q(x0 ,y0 )的切线方程为x0 xa2 + y0 yb2 =1 .设Q(x0 ,y0 )为椭圆上任一点 ,下面给出切线的作法 .作法 :( 1 )若Q为椭圆的顶点 ,则切线垂直于所在的轴 ;( 2 )若Q在任一非顶点处如图 ,过Q作QA ⊥x轴 ,垂足为A ,反向延长QA ,①以O为圆心 ,a为半径画弧交射线AQ的延长线于P点②过P点作OP的垂线PN交x轴于N点③连结NQ ,即为过Q点的切线 .　　证明　不妨设Q在第一象限 ,Q(x0 ,y0 ) ,则A为 (x0 ,0 )因为OP =a ,x0 2a2 + y0 2b2…     

对《有心圆锥曲线的一个性质》一文的补遗及探究

文[1]给出了椭圆、双曲线的一个如下的性质:性质1已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),C,D是椭圆上x轴同侧的两点,A,B分别是椭圆的左右顶点,直线AC,BD交于点P,直线AD,BC交于点E,直线PE交x轴于点M,则PE⊥x轴,且PE平分∠CMD.     

椭圆的长点与长线

<正>命题已知A、B分别为椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左、右顶点,点M (m,0)(异于椭圆中心和长轴的端点),直线l:x=a~2/m.(1)若过点M的直线交椭圆于C、D两点,直线AC与直线BD交于点P,则点P在定直线l上;(2)若点P直线l上,直线PA、PB分别交椭圆于点C、D,则直线CD过定点M.     

由圆生成三种圆锥曲线

众所周知 ,三种圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹 :当 0 1时为双曲线 ,有趣的是 ,在圆中 ,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线 ,有如下一个结论 .定理　给定圆O :x2 +y2 =r2 (r >0 ) ,A (a ,0 ) ,B (b ,0 ) (b≠0 ,b≠a)是x轴上的两个定点 ,P是圆O上的一个动点 ,Q是P在y轴上的射影 ,直线AP与BQ的交点为M ,则点M的轨迹 :( 1 )当 |a-b| =r时为抛物线 ;( 2 )当 |a -b| >r且b≠a2 -r22a 时为椭圆 ,当b =a…     

用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系再探

文[1]介绍了用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系,受文[1]启发,笔者发现用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系的另一种方法,现介绍如下:定理1设椭圆短半轴长为b,长轴为AA′,直线l与过A,A′且垂直于AA′的直线分别相交于两点M,M′,则1)AM·A′M′=b2直线l与椭圆相切;〗2)AM·A′M′b2直线l与椭圆相离.证明设椭圆方程ax22 yb22=1(a>b>0).A(-a,0),A′(a,0),直线l:Ax By C=0.因直线l与过A,A′且垂直于AA′的直线分别相交于两点M,M′,故B≠0,M(-a,aAB-C),M′(a,-aA-CB),AM=(0,aAB-C),A′M…     

有心圆锥曲线切线的一个性质

经研究发现,椭圆有如下的一个与切线有关的优美而简捷的性质。性质1若A1,A2为椭圆x2/a2＋b2/y2=1（a〉b〉0）的左、右顶点,P为椭圆上任意一点（不同于A1,A2）,直线PA1,PA2分别交直线l：x=t于点M,N,以点P为切点的切线交直线l于点Q,则Q为MN的中点。