用数轴确定一次不等式中的参数

<正>根据含有参数(即字母系数)的一元一次不等式组的解集或解的情况,来确定不等式组中参数的取值范围,是"一元一次不等式组"中的一个难点,下面举例说明借助数轴解决此类问题的方法,以供参考.例1若关于x的不等式组x>a,3x+2<4x-1的解集为x>3,则a的取值范围是().(A)a≥3(B)a=3(C)a<3(D)a≤3解析解不等式3x+2<4x-1,得x>3,这个解集在数轴上表示如图1所示.可以看出,表示数3的点把数轴分为三个部分,即表     

如何求方程中的字母系数

方程章节中有已知根的情况,求字母系数类型的题目,我们对此类题目的解法来做一个归纳.1.已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0,当m为何值时,方程有实数根?分析:当方程的二次项系数带有字母时,一定要考虑到它为零的情况.解:1)当m-2=0,即m=2时,x=23.2)当m-2≠0,即m≠2时Δ=4(m-1)2-4(m-2)(m+1)=4(-m+3)≥0.所以m≤3.2.关于x的方程x2-k1-x2x-x=kxx+1只有一个解,试求k的值.分析:所谓方程只有一个解包含下列几种情况:当分式方程化为整式方程后,1°两次项系数为0,原方程化为一元一次方程的情况;2°.原方程化为一元二次方程且△=0的情况;3°方程有…     

一道不等式恒成立典型问题的思路与解法

<正>题目已知函数f(x)=2sinx-xcosx-ax(a∈R).当a≤1时,证明:对任意x∈(0,π),f(x)>0.思考1:变换主元法不等式2sinxxcosx-ax>0理解为二元不等式,将a视作主元,记作m(a)=-xa+2sinx-xcosx,是递减的一元一次函数,则当a=1时取最小值为2sinx-xcosx-x,于是问题转化为求证:对任意x∈(0,π),2sinx-xcosx-x>0.     

例谈不等式(组)中的分类讨论

<正>不等式是数学学习中的重要内容,解一元一次不等式(组)是不等式的基础,当遇到含字母系数的不等式(组)时,常常需要分类讨论.下面我们通过例题来看看分类讨论在解与不等式(组)有关的问题中的应用.一、解不等式例1解关于x的不等式ax-1>2x+5.解移项,得ax-2x>5+1,合并同类项,得(a-2)x>6.此时,我们为了求出x的取值范围,要将x的系数化为"1",也就是不等式两边都除以(a-2),可是我们并不知道(a-2)的符号,就不     

解含参二次不等式须从三方面考虑

在解关于含参数的一元二次型不等式时,往往都要对参数进行分类讨论.为了要做到分类“不重不漏”,讨论须从以下三个方面考虑:①关于不等式的类型讨论:若二次项系数a含有参数,则须对a的符号分类,即分a>0,a=0,a<0;②关于不等式对应的方程的根的     

一元二次不等式中的五类典型题

<正>学习一元二次不等式除掌握它的解题方法外,还要掌握五类典型题及解法.现介绍如下:一、一元二次不等式的逆向问题例1已知关于x的不等式ax²+bx+c>0的解集为{x|α0的解集为{x|α2+bx+a<0的解集.解由已知得a<0,且方程ax2+bx+c=0的两个根为α、β,由韦达定理,知     

关于方程和不等式组的无解问题

同学们在解方程或不等式组时,经常会遇到"无解"这样的问题,现将有关类型归纳如下,供同学们学习时参考.一、一元一次方程的无解例1关于x的方程a(2x+1)=12x+3b,问:当a、b为何值时,(1)方程有唯一解;(2)方程有无数解;(3)方程没有解.分析对于一元一次方程ax=b,(1)当a≠0时,方程有唯一解;(2)当a=0,b=0时,方程有无数解;(3)当a=0,b≠0时,方程没有解.将已知方程化为ax=b的形式,逆向应用     

韦达定理变形后的发现

设一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根为x1 、x2 ,则x1 +x2 =-ba ,　x1 x2 =ca.这就是著名的韦达定理 ,如果将其稍作如下变形 :ax1 +ax2 =-b ,　ax1 ·ax2 =ac,就会发现 ,以原方程各根的a倍为根的一元二次方程是x2 +bx +ac=0 .可看出此方程是把原方程的二次项系数a乘到常数项c上得到的 .我们不妨称x2 +bx +ac =0为ax2 +bx +c =0的衍变方程 .由于衍变方程的二次项系数是 1,一般情况下较原方程求解容易些 ,尤其当各项系数的绝对值较小或具有某些简算特征、两根为有理根时 ,利用二次三项式因式分解的规律公式x2+ (p + q)x + pq =(x +p…     

一元高次多项式的求值问题

<正>一元高次多项式是指含一个未知数,且未知数的次数大于2的整式.形如anxn+an-1·xn-1+...+a2x2+a1x1+a0(an≠0,n>2)的关于x的整式,称为关于x的一元高次多项式.例如:3x7+x6-6x4+5x3+x-9就是关于x的一元七次多项式.     

解一元二次方程问题时的两不忘

一、用判别式时不忘二次项系数例1若函数f(x)=(kx~2-6kx+k+1)~(1/2)的定义域为R,求实数k的范围.错解∵f(x)的定义域为R,∴不等式.kx2-6kx+k+1≥0恒成立,∴k>0,△≤0,即k>0,(-6k)2-4k(k+1)≤0,∴0相似文献   

例说数形结合

<正>题目已知a、b、c∈R,对任意x,均有|ax2+bx+c|≥|x2-3x+2|,求|b2-4ac|的最小值.1.化归为一元二次等基本函数,为利用数形结合提供前提分析对于题中的两个绝对号,一是可以通过平方差公式,将题中含两个绝对号式子,化为两个一元二次(一次)形式;二是可以通过两边同除,将原题中含两个绝对号化为一个绝对号,再利用绝对号意义或公式转化到了两个一元二次形式的不等式,从而为利用基本函数图像提供了前提条件.     

逆用两个不等式解集的等式

我们熟知两个二次不等式解集的等式 {x|a(x-x1)(x-x2)<0}={x|x10}={x|xx2), 其中a>0且x1-2x的解集为(1,3)．若f(x)的晟大值为正数,求a的取值范围．     

利用一个简单结论解题

众所周知:若a0时,原不等式的解集为〔-a/4,0〕.2　证明不等式例2　设|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:a b c abc1 ab ac bc<1.证明　记x=a b c abc1 ab ac bc,则原不等式|x|<1-1相似文献   

关于一元一次不等式(组)的参数取值范围的讨论

<正>一元一次不等式(组)的题目中涉及到参数时,有些同学感到困难,本文通过对典型例题的分析,归纳总结出一元一次不等式(组)参数取值范围这种题型的解题方法,供同学们参考.例1已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1、2、3,则实数a的取值范围是.解析解原不等式得x≤a3.我们常用数轴来表示不等式(组)的解集,问题的关键是a3放在数轴的什么地方合适,下面就借助数轴分析a3的     

例谈方程有解问题的求参策略

含参数的方程有解问题是同学们在数学学习中经常遇到的一类问题 ,此类问题的应用也相当广泛 .但是面对此类问题 ,同学们往往束手无策 ,难以顺利解决 .本文将结合实例谈谈方程有解问题的求参策略 .1　等价转化混合组法此法是先把原方程转化为方程与不等式的混合组 ,然后在满足混合组中每个不等式的条件下 ,求使混合组中的方程有解的参数的取值范围 .例 1　 ( 1 989年高考题 )已知 a >0 ,a≠1 ,试求方程 loga( x - ak) =loga2 ( x2 - a2 )有解时 k的取值范围 .解　原方程等价于　　 x - ka >0 ,( x - ka) 2 =x2 - a2 .( 1 )( 2 )由方程 ( 2 ) …     

一类“恒成立”问题的常见错解

一元二次不等式解法是中学数学重要内容之一,由于它与二次函数、二次方程联系紧密,因而具有其应用广泛、灵活多变的特点,是解决很多数学问题的工具。但由于其问题复杂多变,特别是有关二次不等式恒成立问题,同学们在学习中常出现这样或那样的错误,对此笔者作一些分析。一、忽视二次项系数为零的讨论【例1】若关于x的不等式ax~2-2ax 3a-1＜0对一切实数x都成立,求a的取值范围。分析设y=ax~2-2ax 3a-1,由y＜0知函数图像在x轴下方,即(?)。事实上,问题忽视了对二次项系数为0的讨论。解由条件知,当a=0时,不等式为-1＜0恒成立；当a≠0时,设y=ax~2-2ax 3a-1, 则二次函数图像都在x轴下方,     

巧用数形结合解决三个“一次”的问题

一元一次方程,一元一次不等式(组)和一次函数,这三个"一次"有着紧密联系.例如一次函数y=kx+b(k≠0),当y=0时,得一元一次方程kx+b=0,即一元一次方程的解就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标;当y>0时,得一元一次不等式kx+b>0;不等式kx+b>0在直角坐标中就是表示直线y=kx+b在x轴上方部分,kx+b<0就表示直线y=kx+b在x轴下方部分.两个一次函数图像的交点横纵坐标就是对应解析式组成的方程组的解等.上述这些联系的本质其实就是数与     

求参数取值范围常见题型及解法

<正>在常用逻辑用语、函数的图像与性质及导数的应用中,我们常常会遇到求含有参数的函数中参数的取值范围问题.通过归纳总结发现,这类问题可归结为以下几种类型:类型一设A是一个区间,fa(x)是含参数a的函数.设对任意x∈A,不等式fa(x)>0(或≥0,<0,≤0)恒成立,求实数a的取值范围.类型二当x∈A时,方程fa(x)=0有n个解(或函数fa(x)有n个零点),求实数a的取值范围.     

数形结合在一元二次不等式中的应用

一元二次不等式的问题 ,在近年来的高考中 ,比重加大 .为了解决这类问题 ,可利用二次函数的图像的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式的解集及变化 .尤其对于含字母 (参数 )的有关问题的讨论 ,采用数形结合的思想 ,可使复杂的问题简单化 ,抽象的问题具体化 ,在轻松愉悦的环境中解决问题 ,下面举例说明 .图 1例 1　不等式 (ａ + 1)ｘ2 +ａｘ+ａ >ｍ (ｘ2 +ｘ+ 1)对任意ｘ∈Ｒ恒成立 ,求ａ与ｍ之间的关系 .分析　本题含字母ａ ,ｍ ,确定ａ ,ｍ之间的关系 ,可以整理为ａｘ2 +ｂｘ +ｃ>0 (或 <0 )的形式 ,当ａ =0时 ,为一次不等…     

一个恒成立问题的解法辨析

例题　不等式|x - 1 | >kx对一切实数x恒成立,求实数k的取值范围.由于是含有绝对值的不等式,因而好多同学从解不等式出发,形成了如下解法.错解:1 )当x≥1时,原不等式可化为x- 1 >kx ,即( 1 -k)x >1 .因为x≥1 ,所以1 -k >0 ,即k <1 ,故而x >11 -k.∴当x≥1时,要使|x - 1 | >kx恒成立,则11 -k≥1 ( 1 )又k <1 ,∴0≤k <1 .2 )当x <1时,原不等式可化为1 -x >kx ,即( 1 +k)x <1 ( 2 )①当1 +k <0 ,即k <- 1时,解不等式( 2 ) ,得　　x >1k + 1 ,∴此时不等式的解为1k + 1 kx恒成立,则1k + 1 <1 ( 3)∴k <- 1 .②当1 …