《几何原本》中的辅助线方法与转化思想

1 引言 众所周知,很多几何问题都需要通过添辅助线来解决,辅助线的作图与运用反映了学生的解题能力.一些学生在寻找辅助线时往往跟着感觉走,随意而添,一旦发现所添辅助线无效,就抱着侥幸的心理再添几条试试.还有的学生死记教师教过的方法,如“倍长中线”、“知二证一”之类.虽然这些方法都是在解题经验基础上总结出来的,但显得比较零碎.学生很少有时间深入思考:有没有较为系统的辅助线方法?辅助线的作用是什么?在数学课堂上,学生也很少知道那些常用的添辅助线方法是怎样产生的,是谁最早使用这些方法.     

梯形问题中添加辅助线解题例析

在平面几何的计算题或证明题中,往往通过添加辅助线把复杂问题简化。梯形问题更是如此,常常添加适当辅助线,使其转化为三角形、平行四边形问题。下面谈谈梯形问题中几种常用的辅助线,供读者参考。 1.添对角线,割成两个三角形 例1 已知:如图(1),在梯形ABCD中,AB∥CD,ADBC=CD,∠A=60°.求证:CD=1/2AB。 分析:我们通常利用“三角形中位线定理”和在“直角三角     

利用定义巧添辅助线解几何题

为了证明的需要 ,在原来的图形上添画的线叫做辅助线 ,添辅助线是解决几何问题不可缺少的重要手段 .而利用定义巧添辅助线就是当几何问题中的条件或结论中出现直接和某一基本概念有关的性质 (如线段或角的和差倍分问题等 )时 ,就可以根据这些要领的定义添加辅助线 下面举例说明 1 要证明一条线段等于两条线段的和 ,可根据线段和的定义将这两条线段接起来 ,然后证明所得的线段和长的线段相等 ;也可以在长的线段上截取一条线段和短的两条线段中的一条相等 ,证明留下来的部分和另一条线段相等 (角的和差问题类似 ) 例 1　如图 1 .已知P是…     

怎样添辅助线?——兼论证线段成比例型问题的证法

众所周知,平面几何里添辅助线没有一般的规律可循,但这决不是说添辅助线是不可捉摸的。由于添辅助线对几何证题的极端重要性,逼得我们不得不去探索其中的奥密,尽可能     

从结论的特征入手 联想作辅助线

<正>学习数学离不开解题,通过解题培养分析问题、解决问题的能力.然而,不少同学遇到复杂问题需要作辅助线时,常不知从何入手,找不到解题途径,本文将举例说明线段a=b+c,射影定理、相交弦定理、割线定理结构及2倍线段关系联想作辅助线的方法,供同学们参考.例1如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,求证:BC+CD=AC.     

一道几何赛题的简证

<正>题目 (2013年北京市中学生数学竞赛复赛(高一))在△ABC中,已知∠BAC=40°,∠ABC=60°,D、E分别为边上AC、AB上的点,且使得∠CBD=40°,∠BCE=70°,F为BD与AC的交点,联结AF.证明:AF丄BC_[1].文[1]利用添辅助线的几何方法证明,十分繁琐,文[2]利用角元塞瓦定理,这个定理一般中学生不知道,比较冷僻,更谈不上应用.本文利用向量给出一种简单自然的证法,     

“圆”折叠问题中的常规辅助线及变式探究

<正>"圆"的折叠问题是轴对称图形模型的衍生品,问题解决往往需要添加辅助线.本文通过一例常规的圆的折叠问题,寻根问源,巧添辅助线提炼图形基本结构,形成问题解决的通性通法,供大家参考.1问题如图1,已知CB是☉O的一条弦,点A是圆上任意一点,连结AB,把■沿AB翻折交弦BC于点D.分析本题的条件是圆中一类常规的图形翻折问题,是对轴对称知识应用的一种考查形式,     

与角平分线有关的两个例题

<正>在解决几何问题时添加辅助线非常关键,一条合适的辅助线能化难为易.下面介绍两例.(一)与角平分线有关的"截长补短"法例1如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB、AC、CD三者之间的数量关系,并说明理由.解AB=AC+CD.理由如下:     

聚焦圆辅助线作法

<正>在几何计算和证明中,往往需要在已有的图形中添加辅助线.现就圆中相关的问题谈谈几种辅助线的作法,供大家参考.一、圆中有弦时,常作弦心距或连接半径例1如图1所示,CD是⊙O的直径,AE交⊙O于点B且AB=OC,∠EOB=84°,求∠A.证明连BO,∵BO=OE,∴∠OBE=∠OEB     

例谈平面几何中的“红娘”——三角形问题中的辅助线

三角形这一章内容是几何中最重要的基础知识 .在与三角形有关的证明或计算中 ,常常需要作辅助线 .辅助线是已知和求证的“红娘” ,起“牵线搭桥”之作用 .它不仅能使分散条件集中化 ,隐含条件明显化 ,还能化难为易 ,化繁为简 .从而达到解决问题的目的 .辅助线在处理线段的“和、差、倍、分”时 ,表现尤为突出 ,效果更为“神奇” ,作用富有典型性 .下面例谈作辅助线构造新图形或构造全等三角形、等腰三角形解答典型问题 ,供大家参考 .一、连结两点法例 1　如图 1,在△ABC中 ,∠BAC =12 0° ,AB =AC ,AB的垂直平分线DE分别交BC ,AB于…     

巧设辅助圆

平面几何中,添设辅助线是一个难点,特别是添辅助圆难度更大,技巧性更强,不少学生深感棘手,然而有些平几题目不加辅助圆又很难奏效。而在解决几何问题时,什么情况下需添辅助圆,怎样添法并没有一般规律可循,这只能算作     

辅助线在平面几何解题中的应用

<正>在几何解题中,添加辅助线的方法很重要,本文将从如何添加辅助线入手,向大家介绍一些添加辅助线的方法,来开拓应用辅助线解决几何题目的思路.一般来说,辅助线决定着解答几何题目的方法,添加的辅助线不一样,证明的办法也基本不一样.平面几何中添加辅助线的情况,主要是按照定义添加辅助线,或者是按照基本图形来添加^([1]).下面我们按照初中几何学习的基本图形,即三角形、四边形、圆形,来看看相关的几何问题如何解决.     

一题多解话“倍分”

题目已知:如图1,△ABC中,∠B=60°,AD、CE为高,求证:DE=1/2AC.几何中结论形式为a=1/2b的题目称为线段的二倍分问题.通常的思路是通过添加辅助线将线段的二倍分问题转化为线段的相等问题.常用方法有:(1)折半法根据图形,适当作出线段c=1/2b,然后证线段c=a;如果直接取线段b的中     

遇到困难想“开”点

几何题难 ,难在作辅助线 .在许多人的常规思维中 ,辅助线只会在图形的内部作 ,“锅里打 ,碗里斗” ,而“延”着图形想开去———在图形的外部作辅助线 ,是一个极易忽视或很难想到的问题 .本文谈谈我在这方面的看法 .一、向外作延长线例 1△ABC内 ,∠BAC =60° ,∠ACB =40° ,P、Q分别在BC、CA上 ,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线 .求证 :BQ +AQ =AB +BP . (2 0 0 2年全国竞赛 )分析　延长AB至D ,使BD =BP ,则AB +BP =AD .由∠QBC =∠C =40° ,得BQ =QC ,于是BQ +AQ =AC .易知△ADP≌△ACP ,所以AC =AD …     

梯形中常用辅助线的几种作法

梯形是在三角形和平行四边形的基础上进行研究的 .研究梯形时 ,常常需要添加适当的辅助线 ,把梯形转化成三角形和平行四边形 .添加辅助线的目的是使问题转化 .化未知为已知 ,化复杂为简单 ,化不可求为可求 .现归纳以下几种常见的辅助线的作法 :一、延长两腰相交于一点 ,构成包含梯形的三角形例 1　在梯形ABCD中 ,AB∥CD ,∠A +∠B =90° ,E ,F分别是上、下底的中点 ,求证 :EF =12 (AB -DC) .证明 :延长AD ,BC ,两延长线交于G ,连GE ,EF .∵∠A +∠B =90° ,∴∠AGB =90° .在Rt△DGC中 ,E是DC的中点 ,∴GE =12 DC =DE ,∠…     

两道全国联赛几何题的另解

2004年全国初中数学联赛中有两道几何题,证题过程中添的辅助线较多,其中二试的第二题用构造平行四边形的方法解题,很有特色,只是这种方法不易想到.本文从另外的角度思考,解这两道题.     

几何竞赛题多种解法

<正>2015年"希望杯"数学竞赛(高一1试)第23题:如图1,在四边形ABCD中,AB=1,BC=3¹/2+1,AD=61/2+1,AD=6¹/2,∠ABC=120°,∠DAB=75°,则∠BAC=__,CD=__.笔者从不同角度添加辅助线,从而达到帮助同学们提高观察问题的能力和解题能力.     

变形移位系数 探求添线蹊径

一些几何题目的结论中常常含有不等于1的系数，就是这个系数往往给证明带来一些难度，尤其是当这个系数出现在比例式与等积式中时，其辅助线添法的难度还会加大．然而，依据比例的基本性质变换结论，随之将系数移位变形，使其成为新求证式各项的系数，则这个系数就成了探索辅助线的一把钥匙；不仅打开了添加辅助线的思路；而且思路广阔，有律可循．本文举出四例；以期抛砖引玉。例且换形ABCD中，AB一。，BC—b，M是BC的中点，DE上AM，E是垂H．下面就从变移的系数所在的项入手探索辅助线的添法．思路1由Za，想到延长AB至F，使BF＝A…     

模型计算机的简单介绍

数学中的计算过程很显然地分为两大类--机械性小的和机械性大的.前者例如几何定理的证明.要证明一条几何定理,我们很难说第一步应该怎样做,第二步又应该怎样做;如果要添辅助线,我们更难说要添加怎样的辅助线,可以说,下手的方法很难预先确定,只能就题论题.至于三角学及代数学的习题则不然,大体上(当然并非完全如此)是有一定准则的,有了问题到手,各人的计算步骤大致是差不多的.因此,对初学者说来,都觉得三角代数容易些,     

“杠杆平衡定理”与“线段比”

杠杆平衡原理:如图1,设AB为一根轻质杠杆,O为支点.若A、B两点受到的作用力分别为FA、FB,则杠杆平衡时,有OA×FA=OB×FB,且支点O处所承受的力为FA+FB.在求三角形内的有关线段比问题时,常常需要作辅助线.然而,运用杠杆平衡原理来解决此类问题,有时既不要作辅助线又方便快捷,请看: