让辅助线添得自然

近日翻阅一本初中几何教材，教材中把勾定理放在相似形中，用相似三角形证明勾定理，所派的辅助线是直角三角形斜边上的高线．怎样想到添这条辅助线的?编者没有写出，教参也没有说明，我觉得有点象“从帽子里跑出一支兔子”．为解决这个问题，我作了一些探索，结果是得到勾股定理的两种新证法．已知：在Rt△ACB中，＜＝90°，求证：BC2＋AC2＝AB2．分析1要利用相似三角形证明BC2＋AC2＝AB2，就要把这个非等积式，转化为等积式，BC2＝AB2－AC2,BC2＝（AB＋AC）（AB－AC），进一步把等积式转化为等比式，由等比式去找对应的相似…     

“圆”折叠问题中的常规辅助线及变式探究

<正>"圆"的折叠问题是轴对称图形模型的衍生品,问题解决往往需要添加辅助线.本文通过一例常规的圆的折叠问题,寻根问源,巧添辅助线提炼图形基本结构,形成问题解决的通性通法,供大家参考.1问题如图1,已知CB是☉O的一条弦,点A是圆上任意一点,连结AB,把■沿AB翻折交弦BC于点D.分析本题的条件是圆中一类常规的图形翻折问题,是对轴对称知识应用的一种考查形式,     

整体思想方法在平几中的应用

在代数中，灵活运用整体思想方法处理问题，既习使问题阎捷地获解，又可惜养学生的创造性思维；在平凡中，如能充完利用整体与部分Z阎的辩证关系，同样可以阎捷地解决不少计算与证明题．下面分类举例说明之．1应用整体思想方法求线段的和例1已知：to图1，在RtAIABC申，／C—gO”，CD上AB于D末，如果AB：—12，CD=6，则AC＋BC等于（）．（A）17（B）12JM（C）13JM（D）9JM解”．”／ACB—90”，CD上AB，AC·BC——AB·CH一12X6——72．而AC’＋BC’一AB‘（AC＋BC）‘一ZAC·BC。一AB’RO（ACMBC）‘一AB‘＋Z…     

梯形问题中添加辅助线解题例析

在平面几何的计算题或证明题中,往往通过添加辅助线把复杂问题简化。梯形问题更是如此,常常添加适当辅助线,使其转化为三角形、平行四边形问题。下面谈谈梯形问题中几种常用的辅助线,供读者参考。 1.添对角线,割成两个三角形 例1 已知:如图(1),在梯形ABCD中,AB∥CD,ADBC=CD,∠A=60°.求证:CD=1/2AB。 分析:我们通常利用“三角形中位线定理”和在“直角三角     

“三点六法”添平行线解决比例问题

“添平行线解决比例问题”的解法较多, 但是否有一些规律呢?本文介绍“三点六法”, 希望能给同学们一些启发． 例1 如图1,直线DF分别交 △ABC的AB边、AC边及BC边延长线于 D、E、F,且BD=CE,     

例谈平面几何中的“红娘”——三角形问题中的辅助线

三角形这一章内容是几何中最重要的基础知识 .在与三角形有关的证明或计算中 ,常常需要作辅助线 .辅助线是已知和求证的“红娘” ,起“牵线搭桥”之作用 .它不仅能使分散条件集中化 ,隐含条件明显化 ,还能化难为易 ,化繁为简 .从而达到解决问题的目的 .辅助线在处理线段的“和、差、倍、分”时 ,表现尤为突出 ,效果更为“神奇” ,作用富有典型性 .下面例谈作辅助线构造新图形或构造全等三角形、等腰三角形解答典型问题 ,供大家参考 .一、连结两点法例 1　如图 1,在△ABC中 ,∠BAC =12 0° ,AB =AC ,AB的垂直平分线DE分别交BC ,AB于…     

把向量的系数和化为“1”

一个众所周知的结论:在AP=λAB+μAC中,若λ+μ=1,则点P在直线BC上.在这个结论中,消去λ,μ分别得BP=μBC,PC=λBC,从而有λBP=μPC,由此可确定点P在直线BC上的位置.这一结论所研究的是向量系数和为"1"的情况,但在高考和一些数学竞赛中,我们常常会遇到向量系数和不为"1"的情况.如何解决这类问题呢?有一处理策略:将向量的系数和仍化为"1".下面先谈一下这     

一道高考题的再思考

此题为选择题,上述试题的参考解析思路为：在直线B1D上任取一点,通过添一组辅助线,证明全等图形,从而得到对角线B1D上任一点到三条棱AB、CC1、A1D1．所在直线的距离相等,所以有无穷多点满足条件,故选D．     

对三棱锥的一个截面的探讨

现行高级中学课本《立体几何》（必修本）P62，有这样一道题求证：平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．这是一道看似平淡无奇、实则回味无穷的好题．如图I，利用线面平行的性质不准证明．本文拟对截面EFGH作点探讨，得到一些饶有趣味的命题，并例析此截面的广泛应用．IM面特殊化由截面＊＊CH平行移动而得命gi（l）当E为AB中点，且SA一BC时，截面EFGH是菱形；（2）当SA上BC时，截面EFGH是矩形；（3）当E为AB中点，SA—BC，SA上BC时，截面EFGH是正方形．对棱SA、BC的长H相对位置已定，则有命…     

几何题的三角证法

<正>用三角法证几何题可以不添辅助线或少添辅助线,降低证明难度,同时又能开拓思路,从而提高证题能力.在初中用三角法证几何题是以直角三角形为基础,以锐角三角函数为主要手段,通过运算或用运算代替推理进行证明,它的证题步骤是:(1)选择或构造直角三角形;(2)设某角为α,用一些线段和α的三角函数表示其他的线段,建立起边角关系等式.     

难题妙解

同学们知道,与学习代数一样,几何解题也需一套灵巧的思路和方法.例1 Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高.DE、DF分别垂直AC、BC于E、F,求证:AE/BF=AC3/BC3乍看此题,需证等式含三次方.难度较大.如将AC3/BC3分成三部分计     

一道奧数题的简证

<正>题目[1]如图1,在Rt△ABC中,已知CD为斜边AB上的高,I、I1、I2分别为△ABC、△ADC、△BDC的内心,IE⊥AB于点E,直线AI与BC、BI与AC、MN与CD分别交于点N、M、Q.证明QE∥=CI.在文[1]的证明中,作了很多辅助线,使证明过程比较迂回而繁琐.经笔者研究发现,证明此题不须作辅助线,其证明过程简洁而明快.     

正三角形中的一个不等式及其推广

本文将给出正三角形中的一个不等式，并对它进行一些推广．定理设D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的内点，△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m0、m1、m2、m3，kR ．则当且仅当D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的中点时，等号成立．证明如图1，在△AEF中，A=60°．由二元平均值不等式，得由幂函数tk（kR ）在R 上单调增加，得将以上三式相加，并利用平均值不等式，可得当且仅当D、E、F分别是正面ABC的边BC、CA、AB上的中点时，等号成立．将上述定理进行推广，可得以下两个命题．命题1设D、E、F分…     

《几何原本》中的辅助线方法与转化思想

1 引言 众所周知,很多几何问题都需要通过添辅助线来解决,辅助线的作图与运用反映了学生的解题能力.一些学生在寻找辅助线时往往跟着感觉走,随意而添,一旦发现所添辅助线无效,就抱着侥幸的心理再添几条试试.还有的学生死记教师教过的方法,如“倍长中线”、“知二证一”之类.虽然这些方法都是在解题经验基础上总结出来的,但显得比较零碎.学生很少有时间深入思考:有没有较为系统的辅助线方法?辅助线的作用是什么?在数学课堂上,学生也很少知道那些常用的添辅助线方法是怎样产生的,是谁最早使用这些方法.     

Pascal定理的复数证明

Pascal定理　设ABCDEF为圆内接六边形,相对的边AB和DE,BC和EF,CD和FA(或延长线)的交点分别为P,Q,R,则此三点共线(见图1,图2).Pascal定理是平面几何中的著名定理,有多种证法,可见[1].本文,我们在平面上建立复坐标,计算出P,Q,R三点的坐标,用(zQ-zP)/(zR-zP)是实数这一事实来说明P,Q,R三点共线.这种做法的难点是得到(zQ-zP)的因子分解式(见下文(1)式),优点是思路简单,除了计算外,无须添助任何辅助线.证明　在复平面上,设圆的中心为原点,半径为1.A,B,C,D,E,F,P,Q,R九点的复数分别为t1,t2,t3,t4,t5,t6,zP,zQ,zR.先给出直线AB…     

用几何变换解题三例

<正>在解决有关几何问题时,除了那些常规辅助线的添法,还有一些比较特殊的添辅助线方法和处理问题的手段.下面通过几个具体例子介绍用几何变换解题的方法,希望同学们能从中获得收益.一、对图形进行旋转例1(2014年武汉)如图1,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ADC     

坐标变换在几何证明中的应用

用坐标法证明几何图形的性质,思路单纯,几乎无须添设辅助线,即使问题较为复杂,若坐标系选择恰当,运用此法亦常奏效.而坐标变换是解析几何的重要内容.作为这一方法的补充,本文举例说明平面直角坐标系的坐标变换公式在几何证明中的应用. 例1 六边形ABCDEF内接于⊙O,它的三边AB、CD和EF都等于圆的半径,M、N和P分别为边BC、DE和FA的中点.求证:△MNP为等边三角形.     

两条异面直线所成角的余弦公式

定理[1]在四面体A－BCD中，对棱AB和CD所成的角为θ，则如图1，E、M、N分队为BC、CA、BD的中点，则MEN为导面直线AB和CD所成的角，推论在四面体A—BCD中，对核AB与CD垂直的充要条件是AC‘＋BD’一BCZ＋ADZ（刀）应用定理的结论，我们可报方便地求出两条异面直线所成的角．因为总可以在两条导面直线上分别适当的选两个点构成四面体．然后应用对棱所成角的余弦公式（I）计算出以一般用反余弦表示）．（I）称为两条导面直线所成角的余弦公式．例1（1995年全国高考题）如图2，ABC一个BC；是喜三梭往，ZBCA三90o，DI、FI…     

教材多次渗透的好方法——面积法

学习数学掌握解题方法很重要,解题方法对头则事半功倍,面积法就是一种常用的解题方法,教材中多次渗透,下面让我们走进教材去看一看.图1例1(人教版七年级数学下册第76页第7题)如图1,△ABC中,AB=2cm,BC=4cm.△ABC的高AD与CE的比是多少?(提示:利用三角形的面积公式.)分析根据提示S△ABC=12AD.BC=12CE.AB,又AB=2cm,BC=4cm.所以21AD×4=21CE×2,变形得AD∶CE=1∶2.提示的目的就是让我们使用面积法解题,也让学生初步接触面积法.例2(人教版八年级数学下册第78页第8题)在△ABC中∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm.(1)求△ABC的面积;(2)求斜边AB;(3)求高CD.分析(1)S△ABC=21AC.BC=21×2.1×2.8=2.94(cm2).(2)根据勾股定理易求得AB=3.5cm.(3)根据面积得S△ABC=12AB.CD=12×3.5×CD=2.94,解得CD=1.68(cm).这里虽然没有提示,然而通过问题在一步一步地引导着我们使用面积法求斜边上的高.而若不用面积法求CD,此题的难度就太大了.图2例3(人教版八年级数学下册...     

例谈向量线性表示中系数问题的解法

<正>平面向量基本定理是高中数学的重要内容之一,其中与其系数相关的问题是高考常考知识点.为了帮助学生掌握解题思路,找准问题切入点,现结合近几年高考题,给出解决此类问题的一些常用方法,供大家参考.一、利用向量的线性运算求解例1(江苏卷理)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=2/3