三角形的Brocard点的两个特征性质

设Ω为△ ABC内一点 ,若∠ BAΩ =∠ CBΩ =∠ ACΩ ω(如图 1 ) ,则称Ω为△ ABC的 Brocard点 ,ω为图 1△ ABC的 Brocard角 .名著 [1 ]记载了三角形的Brocard点与其 Brocard角的一系列性质 .本文旨在揭示三角形的 Brocard点的两个特征性质 .下面的讨论中 ,a、b、c、△分别表示△ ABC的三边长和面积 .定理 1　设 D、E、F分别为△ ABC的三边 BC、CA、AB上的点 ,则 AD、BE、CF三线共点于△ ABC的 Brocard点的充分必要条件是　 BDDC=c2a2 ,CEEA=a2b2 ,AFFB=b2c2 .证明　 (必要性 )设 AD、BE、CF三线共点于△ ABC…     

非直角三角形垂心的几条性质

<正>性质1如图1,锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H,过垂心H作△HBC的外角平分线分别交AC、AB于点M、N,则△AMN是等腰三角形.证明∵MN是△HBC的外角平分线,∴∠BHN=∠CHM,易证B、C、E、F四点共圆,∴∠HBN=∠HCM,于是∠ANM=∠HBN+∠BHN=∠HCM+∠CHM=     

圆内接三角形的一个性质

设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2     

向量运算的两种基本方法

向量的表示有几何形式(用有向线段表示)和代数形式(坐标表示),相应地向量的运算也有两种基本方法:(一)几何法;(二)坐标法.下面举例来说明这两种方法的应用. 例1 如图1,AD,BE,CF是△ABC的三条高,求证:AD,BE,CF相交于一点. 证明(法一)设BE,CF相交于H,并设AB=b,AC=c, ,则     

利用数量积解几何问题

向量是数学新教材的重要概念之一 ,由于向量能有效地将复杂的几何论证问题转化为简单的数学运算 ,体现了中学数学重要的思想方法之一———转化思想 .向量方法在平面几何、立体几何及解析几何中有广泛的应用 ,其在新教材中占有较重的份量 .现举例说明向量的数量积在几何中的应用 .1　证明三线共点例 1　如图 1,已知AD ,BE ,CF是△ABC的三条高 ,求证 :AD ,BE ,CF三线交于一点 .图 1　例 1图证　设BE ,CF交于一点H ,AB→ =a ,AC→ =b ,AH→=h ,则BH→ =h -a ,　CH→ =h -b ,　BC→ =b -a .∵BH→ ⊥AC→ ,CH→ ⊥AB→ ,∴ (h …     

数学中“常见病”“多发病”的防治(续完)

三、循环论证症病例6。在△ABC中,BC、AC边上的中线AD、BE交于I,求证:AB边上的中线也通过点I。证明:∵任何三角形的三中线交于一点,而AD与BE只有一个交点,所以点I就是△ABC的重心,因此AB边上的中线必通过点I。病理分析:命题所要证明的实质上就是“三角形的三条中线相交于一点”,命题中的提法只是“三角形的三条中线相交于一点”的另一表达形式,而证明过程中第一句话就以“三角形三中线交于一点”作为根据,这怎么可以呢?     

2001年全国高中数学联赛加试第一题另解

题目如图,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF 交于点H,百线ED和AB交于点M,FD与AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE;(2)OH⊥MN. 证明(1)如图建立坐标系,设A、B、C坐标分别为(0,α)、(b,0)、(c,0). ∴ CF方程为y=b/α(x-c) ①     

三角形的一个共点线

定理　三角形一内角平分线分原三角形为两个新的三角形 ,两个新三角形的内心和该内角的外角平分线与对边延长线的交点三点共线 .已知 :如图 2 ,△ ABC中 ,AD、AE分别为∠ BAC的内、外角平分线 ,D、E分别为 AD、AE与直线 BC的交点 ,I1,I2 分别为△ ABD,△ ADC的内心 .求证 :I1、I2 、E三点共线 .先证一个引理 .图 1　　　　　　　　图 2引理　如图 1 ,I为△ ABC的内心 ,过 I点的直线 PQ交 AB于 P,交 AC于 Q,则有 :1AP 1AQ=AB BC ACAB .AC .证明　连接 AI,BI,CI,过 I作 ID⊥ BC于 D,作 IE⊥ AC于 E,作 IF…     

诡辩一则--任意三角形均为等腰三角形

命题　如图 1 ,已知△ ABC是任意三角形 ,∠ A的平分线与 BC的垂直平分线交于点 O,则△ ABC是等腰三角形 .证明　如图 1 ,过 O作 OE⊥ AB,OF⊥ AC.∵　 AO为∠ A的平分线 ,∴　 OE =OF,又　 OA =OA,∴　 Rt△ AOE≌ Rt△ AOF.∴　 AE =AF.连结 OB、OC.∵　 O在 BC的垂直平分线上 .∴　 OB =OC.　又　 OE =OF,∴　 Rt△ BOE≌ Rt△ COF.∴　 BE =FC.又　 AE =AF,∴　 AB =AC.故△ ABC为等腰三角形 .诡辩揭密 :我们知道 ,准确作图是欧氏几何的特点之一 ,忽视规范作图是多数人常犯的通病 ,由此而得到错误结论…     

锐角三角形的两个有趣性质

性质1如图1,在锐角△ABC中,AB>AC>BC,点O、H分别是三角形的外心和垂心,则∠OAH+∠OCH=∠OBH.证明延长AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于点D、E、F,∵点H是△ABC的垂心,显然AD、BE、CF是△ABC的三条高,于是易证B、C、E、F四点共圆,     

三角形“三心”的完美统一

三角形的重心、垂心、内心在解三角形中占有重要的位置,它们内容不同,性质各异,但它们在下面的表述中达到了完美的统一.如图1,在△ABC中,AD、BE、CF分别是边BC、AC、AB上的中线,相交于O,那么,O叫△ABC的重心.由重心的性质,得OD/AD=1/3;OE/BE=1/3;OF/CE=1/3,     

三角形某些"陪心"的性质

引理设M为△ABC所在平面上一点,过M点分别在△BMC、△CMA、△AMB中作内角平分线MD、ME、MF与直线BC、CA、AB交于D、E、F,则AD、BE、CF必交于一点N.     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①     

对一道拓广探索题的再拓广

人教版八年级《数学》上P27页有一道拓广探索题:如图1,△ABC中,AD是它的角平分线,求证:S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.分析这是角平分线性质的运用.按照书上的提示:作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则由角平分线性质有DE=DF.     

三角形中的特殊线的性质

<正>性质1如图1,△ABC中,D是BC的中点,AD、AE是∠BAC的等角线,AF是△ABC的外接圆切线交BC的延长线于点F.则BE/CE=BF/CF.证明∵D是BC的中点,∴BD=CD,∵AD、AE是∠BAC的等角线,由内角等角线的性质定理得AB²/AC2/AC²=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB2=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB²/AC2/AC²=BF/AF·AF/CF=BF/CF(2)     

涉及三角形的角平分线的两个轨迹问题

定理 1　设 AD,BE,CF是△ ABC的角图 1平分线 ,△ ABC内的动点 P到其三边的距离构成某三角形的三条边之长 ,则点 P的轨迹是△ DEF的内部 .证明　如图 1 ,过点 P作直线 E′F′分别交 AC、AB于点 E′、F′.设点 P到边 BC,CA,AB的距离分别为 r1,r2 ,r3 .则S△ E′AF′=12 ( AE′.r2 AF′.r3 ) ,( 1 )S△ ABC=12 ( ar1 br2 cr3 ) ,( 2 )　　　 S△ E′AF′S△ ABC=AE′.AF′bc . ( 3)把 ( 1 )、( 2 )代入 ( 3)式可得ar1 br2 cr3 =bc( r2AF′ r3 AE′) ( 4 )由于　 AE =bca c,AF =bca b,所以bc( r2AF r…     

用角平分线的性质解题举例

在解决三角形的问题中,如果已知条件中涉及到角的平分线,我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题:角平分线上的点到角的两边距离相等,及其逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.现举例如下.一、证明线段相等例1如图1,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.     

对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...     

外莫莱三角形的一个性质

将ABC的各外角三等分，每两个外角的相邻的三等分角线相交得DEF，称之为西ABC的外莫莱三角形．由文[1]知AD、BE、CF相交于一点．对于△ABC的外莫莱三角形△DEF,有如下性质．定理△ABC与其外莫莱三角形△DEF对应顶点连线AD、BE、CF共点于西ABC的内心的充要条件是bABC为正三角形．记bABC的三内角为A、B、C，定理的证明需用到如下事实：，＿。。＾．＿＿。＿，L—B、－1引理1在西ABC中，有sinz（士丁Q）＜十，同理可证其它两丸定理的证明：必要性容易证明，这里从略，下证充分性．本文绘出了文［2］提出的一个猜想的证明…     

外莫莱三角形的几组对偶性质

将任意三角形的外角三等分 ,以分别接近于三条边的外角的三等分线的交点为顶点的三角形称为外莫莱三角形 .本文将给出外莫莱三角形的三组对偶性质 .图 1性质 1　如图 1 ,设△ PQR为△ ABC的外莫莱三角形 ,AD⊥ QR于点D,BE⊥ RP于点 E,CF⊥ PQ于点 F.则 PD、QE、RF相交于一点 .证明　由文 [1 ]知AQ =8Rsin B3sin( 6 0°- B3) sin( 6 0°- C3) ,AR =8Rsin C3sin( 6 0°- B3) sin( 6 0°- C3) ,∠ AQR =C3,　∠ ARQ =B3.而　 QD =AQcos∠ AQR,DR =ARcos∠ ARQ,∴　 QDDR=tan B3cot C31同理 REEP=tan C3cot A32PF…