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我们先看如下典型的问题:问题如图1,在△ABCKH,∠C=90°,BC=a,AC=b,点D,E,F分别是边AB,BC,AC上的动点,且DE//AC,DF//BC,求线段EF长的最小值.解析连接CD,作CH⊥AB于点H,则CD≥CH. 相似文献
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两三角形的相对内外Fermat点之间的距离 总被引:1,自引:1,他引:0
我们已经导出了三角形的 (本征 )内外 Fermat点之间的距离公式 [1 ] ,那么 ,两个三角形的相对内外Fermat点 [2 ] 之间的距离公式是什么呢 ?本文将解决这一问题 .如图 1、2 ,设△ A1 A2 A3 ,△ B1 B2 B3 的边长、外接圆半径、面积分别为 a1 、a2 、a3 、R、A,b1 、b2 、b3 、T、B,记 图 1 图 2h4=a21 (- b21 b22 b23 ) a22 (- b22 b23 b21 ) a23 (- b23 b21 b22 ) ,e4=12 (h4 1 6AB) >0 ,f4=12 (h4- 1 6AB)≥ 0 .在△ A1 A2 A3 外侧作△ E1 A3 A2 、△ E2 A1 A3 、△ E3 A2 A1 ,使△ E1 A2 A3 ∽△ A1 E2 A3 ∽… 相似文献
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《中学生数学》2003,(12)
1最IJ飞值 设线段AB长为2002,延长AB至C,再延长至D,使BC一200.2,CD二294.现将AD:等分,使刀、C为等分点.试求。的最小值. 湖北汉川市沉湖镇到阻村(431608)蒋小木此时。最小.即,,=1430+143+210一1783.54 32一二;一一弋犷-b书23一1 一一98一7 +抖一642一6 智粗窗参考答案(1一3)题1.依题意得AB一2002=13只7只21火2, BC=200.2=13又7 X llXZ只0.1, CD=294~2X3又7丫7.设每份长为二,易知x的最大值为 0 .1沐2大7=1 .4,35 .18-二尸寸一贾~-丫日58 49二二厂寸~下了一乙J56 81-二尸十-二--了日3·a=一1,b一0,c=x,aZo。’+犷0‘,2+。2。‘)3一… 相似文献
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周界中点三角形的几条性质的加强 总被引:1,自引:1,他引:0
如图1,设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且约定BC = a,CA = b,AB = c,s = (1)/(2)(a b c),AE=BD=s-c,AF=CD=s-b,BF=CE=s-a. 相似文献
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A题组新编1.已知ABCD为空间四边形,分别求下列情况下两对角线AC、BD所成的角:(1)AB=AD,CB=CD;(2)AB⊥CD,AD⊥BC;(3)AB2+CD2=AD2+BC2.2.已知函数f(x)=x3+3ax2-3b,g(x)=x2-2x+3.(1)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线互相平行,则a、b的取值分别为;(2)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线的夹角为45°,则a、b的取值分别为;(3)若f(x)在f(x)与g(x)的图像的交点处取得极值,则a、b的取值分别为.3.已知O为坐标原点,OP=(23,-2),OQ=λOP(0<λ<1),MQ.OP=0,ON+OQ=0,MN=(m,0).(1)当λ=12时,求m的值;(2)当m=-8时,求ON.NM.4.若函数f(x)=1+x2,a… 相似文献
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如何把任意一个矩形剪拼成一个正方形?本文给出一种通法,并对其原理予以说明.如图1~图4所示,矩形ABCD中,设AB=CD=a,AD=BC=b,其中a>b.剪拼方法:Ⅰ当a≤2b时,如图1所示.(1)在线段CD上截取CE=b,以CD为直径作⊙O,过点E作 相似文献
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《中学生数学》2018,(22)
<正>一、性质如图1, P为■ABCE所在平面上任一点,记PA=a,PB=b,PC=c,PD=d,AB=s,BC=t,BD=m,则m2-(s2-(s2+t2+t2)=(b2)=(b2+d2+d2)-(a2)-(a2+c2+c2).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m2).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m2+n2+n2=a2=a2+c2+c2+2bd.证明如图3,以BD为半径作⊙B,以CD为半径作⊙C,⊙B与⊙C的另一交点为D′,直线AD与⊙B、⊙C的另一交点分别为E、F.连结DD′、ED′、FD′,易知BC⊥DD′(连 相似文献
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1问题提出如图1,A、B两个村子在河CD为同侧,AD⊥CD,BC⊥CD,垂足分别为C、D,现要在河边CD上建一水泵站P向A、B两村输送自来水,问点P在CD的什么位置时,可使所使用的水管最短?(不妨设AD=a,BC=b,AB=x,a≤b)这个问题用图2的方法解决,此时EA+EB最短.现在问题是:水泵站设置可分别向A、B村供水(比如图2、4),也可以是经过A村向B村供水(图3)等三种情况. 相似文献
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如果a、b∈R+ ,那么a +b2 ≥ab .(当且仅当a =b时取“ =”号 ) .这是高中数学课本中的一个重要不等式 ,很容易用综合法证明 .如果稍加研究 ,这个不等式还有巧妙的几何证法 .图 1证法 1 如图 1所示 ,SABCD≥ 4SAA1 B2 D1 (a+b) 2 ≥ 4ab a +b2 ≥ab .(a =b SA2 B2 C2 D2=0 a+b2 =ab)证法 2 如图 2所图 2示 ,设DA =a ,AB =b ,则有OC =a +b2 ,AC =ab a +b2 ≥ab .(a=b AC与OC重合 a +b2 =ab)图 3 证法 3 如图 3所示 ,设AB =a ,AC=b ,则有AO =AB+BC2 =a +b -a2 =a +b2 ,AT =ab ,AO≥AT a +b2 ≥ab .(a =b … 相似文献
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在数学学习中经常遇到与关系式x/a+y/b=1有关的问题,可统一为以下几何模型.命题 如图1,点E,F,G分别在线段BD,BC,DA上,EG∥AB,EF∥CD,设EG=x,EF=y,AB=a,CD=b.则x/a+y/b=1. 相似文献
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在三棱锥中 ,如果三组对棱分别相等 ,我们通常把这样的三棱锥称为对棱相等三棱锥 .在长方体中以不相邻四个顶点为顶点所成的三棱锥就是一个对棱相等三棱锥 .受此启发 ,我们常构造长方体来解答与对棱相等三棱锥有关的问题 .例 1 如图 1 ,三棱锥 A - BCD中 ,AB=CD =a,AC =BD =b,AD =BC =c,求异面直线 AB与 CD所成角的大小 .解 如图 2 ,构造长方体 ,使三棱锥 A -BCD的对棱分别为长方体相对面的对角线 .∵ A′ B′∥ CD,∴ AB与 A′ B′所成角即为 AB与 CD所成角 .图 1 图 2设长方体的三条棱 AC′、AB′、AA… 相似文献
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数形结合活跃思维 总被引:2,自引:1,他引:1
著名数学家华罗庚曾经说过 :数形结合千般好 ,数形分离万事休 .这说明 ,数离不开形 .对数学知识的理解、记忆若能结合几何图形 ,往往理解深刻 ,记忆牢固 .在解数学题时 ,若能构造出恰当的几何图形常常能得出令人拍案称奇的巧妙解法 ,而且数形结合是培养学生创造性思维的一个极好的切入点 .下面结合本人的教学实践 ,略举数例 .1 构造图形 ,证明公式例 1 a、b∈ R ,且 a≥ b,证明 : a≥ a b2 ≥ ab≥ b. 1如图 1,BC为Rt△ ABC的斜边 ,○.O为△ ABC的外接圆 ,AD⊥ BC于 D.记BD =a,CD =b,则AO =12 BC=12 (a b) .图 1依垂… 相似文献
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根据某些条件若能构造出直角三角形,利用直角三角形的性质,可使某些无理不等式得到直观巧妙的证法,下举几例以说明之: 例1 设a≥c,b≥c,c≥0,求证并确定等号成立的条件。证明:如图1,在长度为c~(1/2)的线段BC上作Rt△ABE和Rt△ECD,使AB=b-c~(1/2),CD=a-c~(1/2) ,BE=EC=c~(2/1)则AE=,b~(1/2),DE=a~(1/2),连AD,则 S梯形ABCD=S△ABB+S△CDE+S△AED。 相似文献
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文 [1 ]证明了“对任意直角三角形总存在一个矩形 ,使得矩形与三角形的周长和面积比均等于常数 k( k≥ 1 )”.本文作如下推广 :定理 1 对任意梯形 ,总存在一个矩形 ,使得矩形与这梯形的周长和面积比均等于常数 k( k≥ 1 ) .证明 在梯形 ABCD中 ,设 AD∥ BC,且 AD =a,BC=b,两腰 AB=c,CD =d,要求长为 x,宽为 y的矩形 ,使得方程组2 ( x + y) =k( a + b + c + d) ,xy =k .12 ( a + b) dsin C.有正解 ,仅需证明方程t2 - k( a + b + c + d)2 t+ 12 k( a + b) dsin C= 0有正解 .事实上 ,由于 k≥ 1 , 0 相似文献
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设△ABC与△A1B1C1的边分别为a、b、c与a1、b1、c1,面积分别为△与△1,则有a2(b21 c12-a12) b2(c12 a12-b21) c2(a12 b12-c12)≥16△.△1.当且仅当△ABC∽△A1B1C1时取等号.这就是著名的Pedoe不等式.关于它的证明可参见文[1].本文试图给出Pedoe不等式的一个向量证明.图1证明将△ABC与△A1B1C1如图放置.记BC=a,AC=b,AB=cB1C1=a1,A1C1=b1,A1B1=c1则a=b-c,a1=b1-c1,c1=λc(λ>0)且有:△=12|b×c|,△1=21|b1×c1|.b12 c21-a12=b12 c12-a12=b12 c12-(b1-c1)2=2b1.c1.c12 a21-b12=c12 a12-b12=c12 (b1-c1)2-b12=2c12-2b1.c1a12 b12-c… 相似文献
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浅谈柯西不等式的证明及应用 总被引:4,自引:1,他引:3
柯西(Cauchy)不等式(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)(ai,bi∈R,i=1,2…,n),当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn时等号成立.现将它的证明介绍如下:证明1(构造法):构设二次函数f(x)=(a1x b1)2 (a2x b2)2 … (anx bn)2=(a12 a22 … an2)x2 2(a1b1 a2b2 …anbn)x (b12 b22 … bn2),∵a12 a22 … an2>0,f(x)≥0恒成立,∴△=4(a1b1 a2b2 … anbn)2-4(a12 a22 … an2).(b12 b22 … bn2)≤0,即(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2),当且仅当aix bi=0(i=1,2,…,n),即a1b1=a2b2=…=anbn时等号成立.证明2(数学归纳… 相似文献