争鸣

问题　　 问题 81 　笔者在教学中 ,遇到了这样一个问题 ,同学们给出了两种不同的解法 ,都认为自己的解法有道理 .然后我们几个老师在一起讨论 ,也有所分岐 .题目　已知外接圆半径为 6的△ABC的边长为a ,b ,c,角B ,C和面积S满足条件 :S =a2 - (b-c) 2 和sinB +sinC =43.1)求sinA ;2 )求△ABC面积的最大值 .解法 1　 1)S =a2 - (b -c) 2 =a2 -b2 -c2 +2bc =- 2bccosA +2bc .又S =12 bcsinA ,所以 - 2bccosA +2bc =12 bcsinA ,　　 4 -sinA =4cosA ,　　sinA =817或sinA =0 (舍去 ) .2 )因为sinB +sinC =43,且外接圆的半径为6 ,所以…     

逆向思考

<正>数学王子高斯在求S=1+2+…+99+100时所用到的方法给我们留下了深刻印象.由于上式也可逆向写成S=100+99+…+2+1,两式相加得2S=(1+100)+(2+99)+…+(99+2)+(100+1),由于1+100=2+99=…     

再诡辩--算术平方根也可以是负数

读本刊文[1]题目: 已知a+b=-5, ab=1,求(a/b)~(1/2)+(b/a)~(1/2)的值. 有下列解法. 解法1     

解题分析--常回头看看

波利亚说过 ,没有一道题目是可以解决得十全十美的 ,总剩下些工作要做 ,经过充分的探讨总结 ,总会有点滴的发现 ,总能改进这个解答 ,而且在任何情况下 ,我们都能提高自己对这个解答的理解水平 .解题教学中在对典型例题进行分析时 ,如果能重视对解题过程的分析与改进 ,往往可以从中发现题目所蕴涵的本质 ,并且对题目作出进一步的推广引申 .本文仅以一道数列习题为例加以说明 .题目　已知数列 { an}满足 Sn=1 13 an,求 limn→∞ Sn.1　两种解法解法 1　当 n =1时 ,S1=a1=1 13 a1,得　 a1=32 ;当 n≥ 2时 ,an =Sn - Sn-1=(1 13 an) - (1 …     

一元一次方程错解剖析

初一同学刚学一元一次方程解法时 ,由于对知识理解不透 ,基础掌握不牢 ,常常在解题时出现各种错误 .现将同学们常见的错误解法剖析如下 :【题 1】　解方程　ｘ -1=1-ｘ .解　ｘ -1=1-ｘ =ｘ +ｘ =1+ 1=2ｘ =2 =ｘ =1.【剖析】　这题错解在于连用等号 ,混淆了代数式运算与解方程知识 ,这是初学者受知识负迁移的影响 .本题正确解法如下 :ｘ -1=1-ｘ ,ｘ +ｘ =1+ 1,2ｘ =2 ,ｘ =1.【题 2】　解方程　 8ｘ + 12 -9ｘ + 5 =8.解　 8ｘ -9ｘ =8+ 12 + 5 ,-ｘ =2 5 ,∴　ｘ =-2 5 .【剖析】　此题违反了“移项要变号”法则 .移项必须变号 ,它是由等…     

由传统题目展开的研究性学习一例

本文以一道传统题目为例 ,给出组织学生进行研究性学习的方法 .已知a,b>0且a+b=1 ,求证 :a+1a b+1b ≥2 54 ,等号当且仅当a=b =12时成立 .我在教学这道题目时 ,没有直接呈现这一传统题型 ,而是分成以下几个层次逐步展开研究性教学 .一、引导学生进行错解剖析 ,培养学生思维的批判性 .　　在教学时首先出示改编的题目 :若a ,b >0 ,且a+b=1 ,求a+1a b+1b 的最小值 .然后请学生求解 ,其中学生常会得出如下解法 :由a ,b>0 ,得a+1a≥ 2 ,b+1b≥ 2 .故a+1a b+1b ≥ 4,于是得a+1a b+1b 的最小值为 4.对这样的解法启发学生探究其真伪性 .学生经过讨…     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.计算12+(13+23)+(14+24+34)+(15+25+35+45)+……+(160+260+360+……+5960).(北京市海淀区世纪城三期时雨园11-2-8B(100097)胡怀志)2.已知n个数相加,它的第一数是-2,第二个数是2,第三个数是18,第四个数是52,第五个数是110,……,观察以上规律,试用最简代数式表示这n个数之和.(广东省汕头市龙湖区外砂镇林厝村同福里(515023)王植灿)3.已知2013=a!×b!×c!d!×e!×f!,这六个正整数满足:a>b>c,d>e>f,当a+d取最小值时,a-d=.(记号a!=1×2×3×…×a)     

因式分解法的解题功能

因式分解是初中数学的重要内容,它在解题中有广泛的应用,若巧妙地应用它解题,常常能收到化繁为简,化难为易的功效.下面分类举例说明,供读者参考.一.用于求代数式的值例1　已知ｘ3+ｘ2+ｘ+1=0,那么1+ｘ+ｘ2+ｘ3+…ｘ1995=.(1995年“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)解法一:分解代数式　　1+ｘ+ｘ2+ｘ3+…+ｘ1995=(1+ｘ+ｘ2+ｘ3)+(ｘ4+ｘ5+ｘ6+ｘ7)+…+(ｘ1992+ｘ1993+ｘ1994+ｘ1995)=(1+ｘ+ｘ2+ｘ3)+ｘ4(1+ｘ+ｘ2+ｘ3)+…+ｘ1992(1+ｘ+ｘ2+ｘ3)=(1+ｘ+ｘ2+ｘ3)(1+ｘ4+ｘ8+…+ｘ1992)=0.解法二:分解已知条件　ｘ3+ｘ2+ｘ+1=0,　ｘ2(ｘ+1)+(ｘ+1)=0…     

善做事后诸葛亮

在解 (证 )数学题的过程中 ,题目的条件有时难以“一眼望穿” .随着解题的深入和解题后的回顾反思 ,再对条件进行重新组配、挖掘 ,有利于我们选择最佳的逻辑通道、优化解法、现举例加以说明 .例 1　若ａ、ｂ、ｃ为互不相等的实数 ,且 ｘａ -ｂ=ｙｂ-ｃ=ｚｃ -ａ,求ｘ +ｙ +ｚ的值 .分析　由于 (ａ -ｂ) +(ｂ -ｃ) +(ｃ -ａ)≥ 0 ,故不能对条件用等比定理 ,可设 ｘａ -ｂ=ｙｂ-ｃ=ｚｃ-ａ=ｋ.则得ｘ=ｋ(ａ-ｂ) ,ｙ=ｋ(ｂ -ｃ) ,ｚ=ｋ(ｃ-ａ) .故ｘ +ｙ +ｚ=ｋ(ａ -ｂ) +ｋ(ｂ -ｃ) +ｋ(ｃ -ａ) =0 .反思　由ｘ+ｙ+ｚ=0这一结论信息知ｘ +ｙ =…     

解三角题应注意的一些误区

在三角函数这一章里 ,由于公式多 ,因而解题方法比较灵活 ,如果解法选择不当 ,不仅运算麻烦 ,而且有时还会改变解集 .由于三角函数的独特性质 ,解题时若注意不到或挖掘不彻底 ,也会陷入不可自拔的误区中 .本文通过举例 ,来说明这种现象 .1　误区之一　解法不当引起复杂的运算有些三角问题 ,若解法不当 ,就需分类讨论 ,运算量大 ,易出错 ,若选择恰当的解法 ,则可避免解题过程复杂化 .例 1　若ｓｉｎ θ2 =35 ,ｃｏｓ θ2 =- 45 ,判断θ是第几象限的角 .解法 1　∵ｓｉｎ θ2 =35 >12 ,∴ 2ｋπ +π6<θ2 <2ｋπ +5π6　　 (ｋ∈Ｚ) .即 4ｋπ…     

一道三角函数求值题

一道题从不同的角度出发 ,会有不同的解法 ,这样做有利于开阔解题思路 ,总结解题规律 .下面是本人对一道三角函数求值问题的多种解法 .题目　已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =15,θ∈ [0 ,π]那么ｃｔｇθ = .思路 1　最容易想到的是知道角的大小求值 .解法 1　由 15=ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2ｓｉｎ(θ π4 )得θ =ｋπ - π4 ( - 1) ｋａｒｃｓｉｎ 210 ,∵θ∈ ( 0 ,π) ,∴θ =34π -ａｒｃｓｉｎ 210 .∴ｃｔｇθ=ｃｔｇ( 34π -ａｒｃｓｉｎ 210 ) =- 34.本人认为 ,这种解法计算繁琐 ,容易出错 ,一般不采用 .思路 2　另一种直接的方法是从定…     

这种解法对吗?

在一堂“三角函数最值问题”的习题课上 ,下面这道例题的解法引起了学生的争议 .例题　求函数 y=3sinx -1sinx + 2 的值域 .学生S1 :给出如下解法 :由已知式得　sinx=2 y + 13 -y,由 |sinx |≤ 1 2 y + 13 -y ≤ 1 2 y + 13 -y2 ≤ 1 3 y2 + 10 y-8≤ 0 ,解得-4≤y≤23 .这种利用三角函数有界性的解法得到了多数同学的赞同 .但学生S2 却发表了新的见解 ,“老师 ,我有更简便的解法 ,把sinx =1代入已知式得 ymax=23 ,把sinx =-1代入得 ymin=-4 .∴y∈ [-4 ,23 ] .”立即有几位同学对学生S2 的解法表示反对 .学生S3:你怎么知道sinx =1时 ,…     

让解题思路来得更自然一些——一道高中数学联赛试题引起的思考

1999年全国高中数学联赛的第五大题为:给定正整数n和正数M,对于满足条件　　　　　a21+a2n+1≤M(1)的所有等差数列a1,a2,…,试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值.这是一个关于数列、不等式和极值等知识的综合性题,着重考查学生综合应用知识的能力.下面是命题组提供的解答:解法1(配方法)　设公差为d,an+1=a,则　　S=an+1+an+2+…+a2n+1=(n+1)a+n(n+1)2d,故有　　　a+nd2=Sn+1.于是　M≥a21+a2n+1=(a-nd)2+a2=410(a+nd2)2+110(4a-3nd)2≥410(Sn+1)2.(2)因此　|S|≤102(n+1)M,且当a=310M,d=4101nM时,S=(n+1)[310M+n24101nM]=(n+1)510M=102(n+1)M,且由于此时4a=3nd,故a21+a2n+1=410(Sn+1)2=410.104M=M.所以　S的最大值为102(n+1)M.显然,解法1不失为一种“优美”的解答,它所用到的凑配技巧确实构思精巧,解法独特,充分体现了(凑)配方技术的魅力和解题技巧性的高明.可以说,将(1)式凑配为(...     

一道有趣的习题

题目:已知这是一道十分有趣的习题。由于解题方法的不同,可以有不同形式的结果。有的是有理式,有的是无理式。下面给出它的三种解法: ∵θ≠1/4π+kπ(k∈Z,l=0,1,2)     

为什么有不同的结果

问题:已知数列{an}满足a1=51,an+an+1=54n+1,求lni→m∞(a1+a2+a3+…+an)的值.(2004年高考湖南第8题)方法(1):a1+a2+a3+…+an+…=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…=542+544+546+…=1-542512=61.方法(2):a1+a2+a3+…+an+…=21[a1+(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+(a4+a5)+…]=2151+542+543+543+…=51方法(3):由an+an+1=54n+1,an+1+an+2=54n+2,两式相减得,an-an+2=51n6+2=51n6+2=1256·51n,利用a1-a3=1256·51,a3-a5=1265·513,a5-a7=1256·515,…,a2n-1-a2n+1=1256·521n-1,以上n个等式全部相加得,a1-a2n+1=215615+513+…+521n-1=1251-512n,所以a2n+1=115…     

取值范围问题的解法探究

<正>在一次数学测试中,有这样一道题目:已知实数x>0,y>0,且x²+y2+y²-xy=3,则x+2y的取值范围是____.这道题看似简约,似曾相识,但解题正确率却不高.同学们一般都采用判别式法来求解.解法步骤如下:解法1设t=x+2y,将x=t-2y代入x2-xy=3,则x+2y的取值范围是____.这道题看似简约,似曾相识,但解题正确率却不高.同学们一般都采用判别式法来求解.解法步骤如下:解法1设t=x+2y,将x=t-2y代入x²+y2+y²-xy=3,整理得7y2-xy=3,整理得7y²-5ty+t2-5ty+t²-3=0.因为方程有解,     

对题目本质的认识才是最深刻的认识

问题　等差数列 {ａｎ}中 ,前ｍ项和Ｓｍ =Ｓｎ(ｍ ≠ｎ) ,求Ｓｍ+ｎ 的值 .文[1 ]给出了该题的三种解法 ,并借此说明对“不同的解题思维层次”的理解 .但这三种解法都未达到深刻的思维层次 ,关键在于未能抓住题目的本质 .解决该题的关键不是对“等差数列”的认识 ,而在于对“等差数列中若干项的和”的认识 ,抓住了这一本质 ,结合等差数列性质即可自然流畅地得到一个非常简单的解法 .题目隐含的条件是Ｓｍ+ｎ这ｍ+ｎ项中有连续的 (ｎ -ｍ)项 (不妨设ｎ>ｍ)之和为零 ,而在这(ｎ-ｍ)项的前后各有ｍ项 ,它们的和也应为零 .若该题是填空题 ,就已…     

繁解、简解与妙解

<正>题目是否存在实数m,使得不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤x≤2的一切实数x都成立?这是某高三复习资料上的一道以不等式恒成立为背景的存在性问题,对于本题我们可以选择四种不同的解题视角,从而得到四种不同的解法,而四种解法有繁有简有妙解.下面给出这四种解题视角及其解法与读者分享.     

一题五解

<正>题目已知a,b为非负数,M=a4+b4,a+b=1,求M的最值.这是2006年清华大学自主招生考试中出现的题目.它有两个特征:(1)题目结构精巧,形式简洁清晰,立意新颖;(2)解题入口宽,能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力.下面笔者从解题方法的角度进行研究、评析.方法1(对称引参)     

一题五解

题目已知a,b为非负数,M=a4＋b4,a＋b=1,求M的最值.这是2006年清华大学自主招生考试中出现的题目.它有两个特征：（1）题目结构精巧,形式简洁清晰,立意新颖;（2）解题入口宽,能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力.下面笔者从解题方法的角度进行研究、评析.