2010年高考数学"绝对值问题"深度解析

绝对值是中学数学中的一个基本概念,"绝对值问题"历来也是高考数学试题中经常涉及的问题.其题目类型十分丰富,涵盖面广,综合性强,并且经常出现一些富有创意的新题.尤其2010年"绝对值问题"不但题目类型十分广泛,而且有多套试题不约而同地在解答题中以"绝对值问题"为背景设计了新概念题,使命题的新颖性与创新性进一步加强,这些命题新动向值得广大备考师生深入思考.本文以20lO年全国和各省市的高考数学试题为基本素材,对"绝对值问题"分类解析如下.     

探索一类绝对值函数问题

<正>绝对值问题是中学数学学习中的一个难点,并且绝对值问题的解法也蕴含着丰富的辩证思想.继浙江高考"导数扶正"之后,函数压轴大题以导数形式出现已成为全国各省市高考的共识.但绝对值问题并未因此退出高考舞台,反而更加以巧、精、新、妙的特色呈现.下面笔者以一道高考题的讲解入手,谈谈对一类绝对值函数问题解法的一些思考.     

追根溯源,回归本质——从几何角度深度理解绝对值

迈进初中大门的学生,在学习数学时不能仅仅停留在计算层面,还要更深入地理解理论层面的知识,也就是数学课本中的性质定理、判定定理等.绝对值就是这样,学生在学习时一定要掌握其本质,即紧紧抓住"距离"这一本质,那么在后期练习过程中错误率就会明显降低.为此,本文从绝对值问题的易错点出发,结合日常教学中发现的学生解题错误,帮助学生从几何角度深度理解绝对值,让学生的初中数学基础更牢固.     

去“绝对值符号”的几种策略

<正>高考数学对绝对值不等式既有直接考查,也有间接考查.直接考查如选做题中的不等式选讲内容;间接考查主要体现在以绝对值为工具,即解题中根据需要先添加绝对值,再求解.与绝对值不等式有关的问题主要有两种考查视角：一是解绝对值不等式;二是与绝对值不等式有关的恒成立问题.处理此类问题的关键是去绝对值符号,本文中给出几种去“绝对值符号”的策略,以供参考.1 利用绝对值的定义例1 在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集是___.解析是___.     

容易混淆的"恒成立"问题与"存在成立"问题

不等式是中学数学的基础知识和重要部分,一直是各类考试、考查的热点与重点.不等式"恒成立"问题与"存在成立"问题,又是不等式中常见的题型.在各地的自主招生、高考、模拟考试中屡见不鲜.此二类问题对学生掌握基本数学思想与方法提出了较高的要求.学生对此二类问题往往感到容易混淆.     

绝对值问题的简解策略

绝对值是中学数学中的重要内容 ,含绝对值符号的问题在数学习题中占有一定的比例 ,这类问题的一般解法是依据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号 ,进而转化为不含绝对值符号的问题来求解 .这样做解题过程冗长繁琐 ,本文拟介绍几种简解这类问题的常用策略 .1　紧扣概念挖掘隐含条件根据问题中的内在联系和隐含条件 ,充分有效地利用绝对值的原始概念可避免分类讨论 ,从而简化运算过程 .例 1　已知实数 x满足| 2 0 0 0 - x| x - 2 0 0 1=x,求 x - 2 0 0 0 2的值 .解　由二次根式的意义 x≥ 2 0 0 1,此时 ,| 2 0 0 0 - x| =x - 2 0 0 0 ,由已…     

绝对值恒等式的应用

<正>近几年绝对值问题一直是浙江省高考的热点,因而各地的模拟卷里绝对值问题自然而然也成了"常客",而在解决这些问题的过程中经常出现下面一对绝对值恒等式的倩影:max{|a+b|,|a-b|}=|a|+|b|和min{|a+b|,|a-b|}=||a|-|b||,用它来解决与绝对值有关的问题往往可以做到事半功倍的功效.下面笔者通过具体的例题来解析这对恒等式的应用.     

"数学问题"解答中的第四焦元现象

<数学通报>中"数学问题"栏目中的问题大多比较优秀,提供的解答给读者有很好的启迪.轮换不等式是"数学问题"中的常客,研究它,可以锻炼师生分析问题和解决问题的能力.其中有些三元轮换不等式中含有第四元的现象,它是题目中的难点,也是解题中的焦点问题,我们把所含的第四元称为第四焦元.事实上,如果我们在解题过程中,只要抓住第四焦元不放松,就会对问题的解决起到事半功倍的效果.现举例说明.     

"现实数学"的重构--谈新课程背景下中学数学应用问题

<普通高中数学课程标准>在课程基本理念中明确指出:"高中数学课程应提供基本内容的实际背景,反映数学的应用价值,开展‘数学建模'的学习活动,设立体现数学某些重要应用的专题课程.高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识,提高实践能力."这是对传统的"现实数学"进行了反思后的重构,为中学数学应用问题的教学奠定了很好的理论基础.本文试着对其进行解读,以期抛砖引玉.     

绝对值问题的解法技巧

近几年来 ,国内外各级各类数学竞赛题中绝对值问题屡屡出现 ,尤其是绝对值不等式已成为数学问题的热点 .本文举例谈谈绝对值问题的解法技巧 .1　妙“去”许多绝对值问题 ,常常根据解题的需要 ,去掉题目中的绝对值符号 ,以便进一步化简求解 .例 1　 ( 1998年河南省暨重庆市高中数学竞赛试题 )已知ａ ,ｂ∈ ( 0 ,1) ,ｍ =|ｌｏｇｂ( 1-ａ) |,ｎ =|ｌｏｇｂ( 1 ａ ａ2 … ａ1 998) |,则ｍ与ｎ的大小关系是 .简析略解 :上题若能充分利用已知条件 ,去掉题目中的绝对值符号 ,则可一气呵成 .由题设知ｍ =ｌｏｇｂ( 1-ａ) ,ｎ =-ｌｏｇｂ( 1 ａ …     

解读数的绝对值的概念

<正>数的绝对值是初中数学中的重要而难以理解的概念,多数同学理解不深、应用不力.为帮助学生解决这个问题,本文对数的绝对值进行解读,供同学们参考.一、绝对值定义三种形式1.绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.2.绝对值的几何定义:一个实数的绝对值是数轴上表示这个数     

任意性与存在性问题

<正>高中数学新教材在简易逻辑中引入了两个量词,分别是特称量词和存在量词,与之相关的"任意性"与"存在性"问题开始浮出水面.作为新增内容,在关于绝对值不等式和导数内容中的求参量取值范围问题中屡见不鲜,逐渐成为高考备考的热点问题.而对于此类问题,如果不能够清晰的认识到任意与存在的区别,就必然会造成解题出错.本文就这部分内容进行总结探究,针对题目的变化进行合理分析,使得解题思路清晰、明快.一、任意性问题例1若不等式|x+1|+|x-m|<6的解     

“隐性”问题“显性”解法

<正>高考中考查分式函数的最值,常将此类问题"隐性"潜伏在其他函数、绝对值、不等式、圆锥曲线等知识中,呈现综合性强、式子结构复杂、解题方法多样、解法繁杂不一等特点.若对基本类型思考不深,"显性"通法运用不熟,学生往往不易确定最佳思路,造成费时或失分.本文拟分析2013年湖南卷理科数学第22题第(1)问的多解思路,并探求分式函数最值问题的五种处理策略,供高三同学参考.     

例谈新教材中"问题"的利用

新一轮的课程改革中我省采用了人教版的教材,人教版数学教材在呈现方式上的特点是情景导入和问题驱动,以"探究"和"思考"形式将问题贯穿于每个章节之中,笔者根据自己的教学实践就合理利用教材中的"问题"提出一些想法.……     

含绝对值符号的曲线方程的图形的作法

我们知道绝对值是一种特殊运算 ,学生在处理该类问题时 ,常出现种种错误 ,究其原因是不能正确地将含绝对值符号的问题等价转化为含条件限制的基本数学问题 .对于做如曲线方程 F (|x|、|y|) =0的图形的一类问题 ,其作法不仅需要等价转化 ,而且还需要作有关平移、对称等变换才能正确地作出其相应的图形 .下面就一次、二次曲线方程中含有绝对值符号的图形的作法作一些介绍 .1　含绝对值符号的一次曲线方程例 1　画出方程 |x - 2 | |y - 2 |=2的图形 ,并说出形状 .解　令代换x′=x - 2 ,y′=y - 2 .则　原方程化为|x′| |y′|=2 .在新坐标系 x…     

绝对值学习应掌握几种题型

绝对值是代数中的一个重要概念 ,也是有理数这一章的重点和难点 ,而且中考中有关绝对值的问题也频频出现 ,为了使同学们学好绝对值 ,下面谈一下学习绝对值应掌握的几种题型 .一已知某数 ,求它的绝对值例 1求12 ,-3 ,0的绝对值 .解　 | 12 | =12 ,| -3 | =3 ,| 0 | =0 .二已知一个数的绝对值 ,求这个数例 2一个数的绝对值是 3 ,求这个数 .解　∵　到原点距离为 3个单位的点有两个 ,分别是 3和 -3 ,∴　绝对值是 3的数为 3或 -3 .三已知数的绝对值 ,求代数式的值例 3已知 |x| =3 ,| y| =2 ,xy <0 ,则x+ y = .解　∵　 |x| =3 ,　 | y| =2 ,∴…     

北京数学奥林匹克学校 课堂实录

课题绝对值适用年级初中一年级学期2005-2006学年度第一学期训练目的1.了解化简含有绝对值符号的代数式的一种基本方法——零点分段法;2.灵活运用分类讨论的解题思想,利用已知条件把含有绝对值符号的问题转化成已知的问题.典型范例已知y=|x+2|+|x-1|-|3x-6|,求y的最大值.分析要求y的最大值,应考虑化简|x+2|+|x-1|-|3x-6|,但题目中并没有给出x的取值范     

学好相反数与绝对值

相反数和绝对值是两个非常重要的基础概念,有着广泛的应用.不少学生在学习时觉得不好理解,应用时经常出问题,下面就和同学们一起学习相反数和绝对值.1.理解相反数的概念要注意"只有符号不同"的含义,及零的相反数是零的这个规定.2.互为相反数指的是一对数,甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数,乙也是甲的相反数.     

"曲线系方程"及其应用

在高中解析几何中我们常常会涉及到两圆锥曲线相交的相关问题,往往在处理这类问题时如按常规思路去解则运算量相对较大且不易算出来,相反如果利用好"曲线系"相关知识则可以大大简化解题过程中的运算量.……     

巧添绝对值符号解非绝对值问题

绝对值是高中数学的重要知识点 ,我们习惯上是把绝对值问题通过定义法、分类讨论、数形结合等手段转化为非绝对值问题来解决 .在实际的数学解题过程中可以发现 ,有些非绝对值问题 ,通过添加绝对值符号处理 ,往往能化难为易 ,优化解题过程 ,下面举例说明 .1　判断函数的奇偶性　对于分段函数的奇偶性 ,除了直接用函数奇偶性的定义去判定外 ,用先添加绝对值符号 ,再去判定 ,显得更简捷 .例 1　判定函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 (ｘ - 1 ) (ｘ≥ 0 )-ｘ2 (ｘ 1 ) (ｘ <0 ) 的奇偶性 .分析 :利用绝对值 ,原函数可用一个表达式来表示 .解　原函数就是 ｆ(…