构造图形求一类函数的最值问题

对于形如y=√x2+b1x+c1±√x2+b2x+c2的函数,可以联想直角坐标系内两点间距离公式,利用三角形三边长的关系来求最小(大)值.例如,为求函数y=√x2-2x+2+√x2-12x+40的最小值,先配方成y=√(x-1)2+(0-1)2+√(x-6)2+ (0-2)2,再设定点A(1,1),B(6,2),A'(1,-1)及x轴上动点P(x,0),那么y=|PA+|PB|;因为|PA|+| PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,所以当点P恰和A'B与x轴交点Q重合时,|PA|+|PB|最小等于|A'B|,即x=8/3时y取最小值√34(如图1所示);而当x→∞时y→+∞,所以y没有最大值.     

2004年第二期初中数学问题解答

一、如果x+1x =3 ,求 x2x4+x2 +1 的值 .解 :x2x4+x2 +1 =x2(x2 +1 ) 2 -x2 =1(x+1x) 2 -1=13 2 -1 =18.答 :略 .二、设y=|x -1 |+|x -3 |+4x2 +4x +1 ,试求使y值恒等于常数时 ,x的取值范围 .解 :∵y =|x-1 |+|x-3 |+4x2 +4x +1=|x-1 |+|x-3 |+|2x+1 |.要使y的值恒等于常数 ,必需在去绝对值后式中不含x的项 ,所以得①x-1≤ 0 ,x-3≤ 0 ,2x+1≥ 0 ;　或　②x-1≥ 0 ,x-3≥ 0 ,2x+1≤ 0 .①解得 -12 ≤x≤ 1 ;②无解 .因此 ,当 -12 ≤x≤ 1时 ,y的值恒等于常数 :y=-(x -1 ) -(x -3 ) +( 2x +1 ) =5 .答 :略 .三、△ABC中 ,∠A是最小角 ,∠B…     

构造圆锥曲线求最值

本文举例谈谈如何构造圆锥曲线求一类无理函数的最大值和最小值问题.一、构造圆求最值例 1　已知x2 +y2 =169,求 24y-10x+38+ 24y+10x+338的最大值和最小值.　　解:由x2 +y2 =169,把所求式子变形M = 24y-10x+169+25+144　+ 24y+10x+169+25+144= 24y-10x+x2 +y2 +25+144　+ 24y+10x+x2 +y2 +25+144= (x2 -10x+25)+(y2 +24y+144)　+ (x2 +10x+25)+(y2 +24y+144)= (x-5)2 +(y+12)2　+ (x+5)3 +(y+12)2.设P(x,y),A(5, -12),B(-5, -12),则所求式子M为圆x2 +y2 =169上一点到两定点A、B的距离的之和,即M= |PA|+ |PB|,如图.又∵|…     

从一题高考试题谈圆锥曲线的特征折线

1 真题再现(2011年安徽理)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1解析 约束条件可化为{x+y≤1 x≥0 y≥0或{-x+y≤1 x＜0 y≥0或{x-y≤1,x≥0,y＜0,或 {-x-y≤1,x＜0,y＜0,其表示的平面区域如图1所示,作 x+2y=0l0:x+2y=0,平移l0至l位置, l图1则当l分别过(0,1),(0,-1)时,x+2y分别取最大值2和最小值-2,故选B.本题考查了绝对值不等式和线性规划知识,考查了学生的作图能力和转化能力,是容易题.题中牵涉到一个含绝对值的曲线|x-a|+|y-b | =r( r＞0),笔者发现函数|x-a|+|y-b|=r(r＞0)是一条折线,它与圆(x-aa)2+(y-b)2 =r2(r＞0)有着十分相似的图象和性质,例如:曲线(x-a) 2+(y-b)2 =r2(r＞0)是以(a,b)为圆心,直径为2r的圆;而曲线|x-a|+|y-b|=r( r＞0)则是以(a,b)为中心,对角线长2r,内接于圆的正方形.进而笔者猜测,是不是把所有的圆锥曲线方程中的平方改成绝对值后,就能得到与其类似的折线呢?笔者把改后的这一类折线称为圆锥曲线的特征折线.     

例说解析几何计算减负之法

|PF1|+|PF2 |=2 a(a>c>0 ) ,求 P的轨迹方程 .解　令 P(x,y) ,则由已知得 :(x+c) 2 +y2 +(x- c) 2 +y2 =2 a (1)将 (1)两边取倒数 ,得 :(x+c) 2 +y2 - (x- c) 2 +y2 =2 cxa (2 )(1) +(2 )得 ,(x+c) 2 +y2 =a+cax.平方得 :x2 +2 cx+c2 +y2 =a2 +2 cx+c2a2 · x2 .整理得 :x2a2 +y2a2 - c2 =1(3)易验证 (3)上任一点 (x,y)也在 (1)上 ,从而点 P轨迹方程为 :x2a2 +y2a2 - c2 =1.注　对于 (1)的化简 ,中学课本上用了两次平方 ,较为麻烦 .以上算法 ,抓住了 (1)的左边的整体上的特点 ,只用一次平方 ,较为简单 ,是优化算法的结果例说解析几何计算…     

综合题新编选登

题10 0 　已知集合A={ (x,y) | x2 + y2 - 4x- 14 y+ 4 5 <0 } ,B={ (x,y) | y≥| x- m| + 7} .1)若A∩B≠ ,求m的取值范围;2 )若点Q的坐标为(m,7)且Q∈A,集合A,B所表示的两个平面区域的边界交于点M、N ,求△QMN的面积的最大值.图1　题10 0图解　1)如图1,当射线y=x - m+ 7(x≥m)与圆(x- 2 ) 2 + (y-7) 2 =8相切时,由| 2 - m+ 7- 7|2= 2 2得m=- 2或m=6(舍去) .当射线y=- x+ m+ 7(x≤m)与圆(x- 2 ) 2 +(y- 7) 2 =8相切时,由| 2 - m- 7+ 7|2=2 2得m=6或m=- 2 (舍去) .图2　题10 0图故所求的m的取值范围是区间(- 2 ,6 ) .2 )显然点Q在圆(…     

2006年高考数学四川卷

一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},集合B={x||2x-1|>3},则集合A∩B=A.|x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2相似文献   

含绝对值符号的曲线方程的图形的作法

我们知道绝对值是一种特殊运算 ,学生在处理该类问题时 ,常出现种种错误 ,究其原因是不能正确地将含绝对值符号的问题等价转化为含条件限制的基本数学问题 .对于做如曲线方程 F (|x|、|y|) =0的图形的一类问题 ,其作法不仅需要等价转化 ,而且还需要作有关平移、对称等变换才能正确地作出其相应的图形 .下面就一次、二次曲线方程中含有绝对值符号的图形的作法作一些介绍 .1　含绝对值符号的一次曲线方程例 1　画出方程 |x - 2 | |y - 2 |=2的图形 ,并说出形状 .解　令代换x′=x - 2 ,y′=y - 2 .则　原方程化为|x′| |y′|=2 .在新坐标系 x…     

绝对值学习应掌握几种题型

绝对值是代数中的一个重要概念 ,也是有理数这一章的重点和难点 ,而且中考中有关绝对值的问题也频频出现 ,为了使同学们学好绝对值 ,下面谈一下学习绝对值应掌握的几种题型 .一已知某数 ,求它的绝对值例 1求12 ,-3 ,0的绝对值 .解　 | 12 | =12 ,| -3 | =3 ,| 0 | =0 .二已知一个数的绝对值 ,求这个数例 2一个数的绝对值是 3 ,求这个数 .解　∵　到原点距离为 3个单位的点有两个 ,分别是 3和 -3 ,∴　绝对值是 3的数为 3或 -3 .三已知数的绝对值 ,求代数式的值例 3已知 |x| =3 ,| y| =2 ,xy <0 ,则x+ y = .解　∵　 |x| =3 ,　 | y| =2 ,∴…     

1984年湖北省省市初中数学联赛试题答案

第一试(试题见本刊第5期) 一选择题 1.(B); 2.(C); 3.(D); 4.(B); 5.(A); 6.(C); 7.(B); 8.(D); 9.(A); 二解:y=|x-1|+|x-3|+(4x~2+4x+1)~(1/2)=|x-1|+|x-3|+|2x+1|=-4x+3 (x<-1/2)5 (-1/2≤x≤1)2x+3 (1≤x<3)4x-3 (x≥3) ∴当-1/2≤x≤1时y=|x-1|+|x-3|+(4x~2+4x+1)~(1/2)恒等于常数5。三、证明∵ABCD为圆外切四边形∴AB+CD=BC+DA(见下图) 两边平方:AB~2+2AB·CD+CD~2=BC~2+2BC·DA+DA~2 (1) 又∵AC⊥BD ∴AB~2-AB~2+BE~2,BC~2=BE~2+CE~2,     

立足定义破解2011年“北约”自主招生压轴题

2011年“北约”自主招生数学压轴题(第七题):求f(x)=|x-1|+| 2x-1|+…+|2011x-1|的最小值.文[1]给出了一种解法,本文立足绝对值定义,给出一种较简单的解法.分析 由于各项是绝对值,故解题思路可按绝对值的定义去掉绝对值符号切入.     

一类绝对值问题的解题途径

本文例析含有式子|x+a|+|x+b|一类问题的解题途径. 途径一对|x+a|+|x+b|分类讨论,去绝对值可理解为分段函数. 途径二从几何意义来看|x+a|+|x+ b|可理解为数轴上动点P(x)到定点A(-a), B(-b)的距离之和.     

2006年高考数学江苏卷

一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分.1.已知a∈R,函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数,则a=A.0B.1C.-1D.±12.圆(x-1)2+(y+3)2=1的切线方程中有一个是A.x-y=0B.x+y=0C.x=0D.y=03.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为A.1B.2C.3D.44.为了得到函数y=2sin3x+6π,x∈R的图像,只需把函数y=2sinx,x∈R的图像上所有的点A.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不…     

一次备课组活动的纪实与思考

1问题的提出在选修4-5《不等式选讲》的模块测试中,有这样一道题:已知不等式|3x-a|>x-1对x∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.学生的答卷中有下面两种解答:解答1由绝对值不等式的等价形式|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)可知:原不等式等价于3x-a>x-1或3x-a<1-x,即a<2x+1或a>4x-1.已知不等式|3x-a|>x-1对x∈[0,2]恒成立等价于a<2x+1或a>4x-1对x∈[0,2]恒成立,即a<2x+1对x∈[0,2]恒成立或a>4x-1对x∈[0,2]恒成立.则     

2003年第四期初中数学问题解答

一、分解因式 :6x2 -5xy-4y2 -1 1x 2 2y -1 0 .解 :注意到 6x2 -5xy -4y2 =( 2x y) ( 3x -4y) .设 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=( 2x y k) ( 3x -4y l) ,则 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=6x2 -5xy -4y2 ( 3k 2l)x ( -4k l)y kl.比较对应项的系数得 :3k 2l=-1 1 ,-4k l=2 2 ,kl=-1 0 .　　解得 k =-5 ,l=2 .于是 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0　 =( 2x y -5 ) ( 3x -4y 2 ) .二、求函数y =|x2 -4|-3x在区间 -2≤x≤ 5中的最大值和最小值 ,并求当y为最大值时的x值 .解 :若x2 -4≥ 0 ,即 |x|≥ 2 ,则　　y=x2 -3x-4=(x-32 ) 2 -2 54.当 |x|≤ 2时 ,　　y=-x2 -3x 4 =-(x 32 ) 2 2 54.从而求得 :当x=-32 时 ,y最大值 =2 54;当x=...     

用线性规划方法解决非线性问题

<正>2015年浙江高考题理14:若实数x、y满足x²+y2+y²≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.分析这不是一个常见的线性规划问题,一方面可行域是一个圆面,是"非线性可行域",另一方面线性目标函数z=|2x+y-2|+|6-x-3y|比常见的目标函数要复杂很多,因此学生普遍感到难以下手.面对棘手的问题,如何在较短的时间内找到解决问题的方法?转化和化归的数学思想成为解题指南:化生为     

问题与解答

一、本期问题 1 已知x~2-y~2-z~2=0,试将x~3-y~3-z~3分解为一次因式的积。 2 求证(3+7~(1/2))~n的整数部分是奇数。 3 已知x~2+y~2≤1,(x、y∈R)试证5-2~(1/2)≤u(x,y)=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|≤7 宜昌市一中叶家振提供 4 解方程     

拓宽思维领域 注重知识迁移——对2013年全国新课标卷Ⅱ文科第10题的探究与反思

一、问题提出 题目 (2013全国新课标卷Ⅱ文-10)设抛物线C∶y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF| =3|BF|,则l的方程为() A.y=x-1或y=-x+1 B.y=√3/3(x-1)或y=-√3/3(x-1) C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1) D.y=√2/2(x-1)或y=-√2/2(x-1) 本题属中等难度题,主要考查直线与抛物线相交的问题.这类题型一直是高三复习的难点,也是近几年高考的热点,许多考生对这类题型怀有恐惧心理,认为计算繁琐,“死磕”这道题得不偿失.笔者开始也认为这道题常规解法的运算量较大,后来拓宽思维领域,并迁移其他知识进行整合探究,发现此题还有独特解法.     

与圆有关的最值问题的求解策略

<正>一、数形结合靠直观数形结合是解析几何的精髓.一般说来,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的最值问题,大都可以依靠几何直观轻而易举获得解决.例题1已知实数x,y满足方程x²+y2+y²-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)2-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)²+y2+y²=3,它表     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课　题　整式与分式的求值适用年级　初中二年级学期　 2 0 0 3— 2 0 0 4学年度第一学期训练目的典型范例　　已知x + y=1,x2 + y2 =2 ,求x7+ y7的值 .分析与解答　所求式与已知式关系甚远 ,考虑添设辅助式 (中间元素 )x3+ y3与x4 + y4 ,沟通它们之间的联系 ,缩短它们之间的距离 .分析与解　∵　x +y =1,　x2 +y2 =2 ,∴　xy =12 [(x + y) 2 -(x2 + y2 ) ]=12 (12 -2 ) =-12 ,x3+y3=(x +y) (x2 -xy + y2 )=1× (2 + 12 ) =52 ,x4 + y4 =(x2 + y2 ) 2 -2x2 y2=2 2 -2 (-12 ) 2 =72 .故　x7+ y7=(x3+ y3) (x4 + y4 ) -(x4 y3+x3y4 )=(x3+ y3)…