函数与不等式——高三代数、三角综合复习

§1.函数1.函数与反函数:若对于自变量 x 每一个在允许范围内的确定值,另一个变量 y 有确定的值和它对应,则变量 y 叫做自变量 x 的函数,表成 y=f(x).这关系式中若以 y 为自变量,则变量 x 是 y 的函数,表成 x=f(y),叫做y=f(x)的反函数.     

从u(x,y)+iu(x,y)到f(z)的一种转化法

<正> 在复变量函数的运算中,常常会遇到需要把以二元函数u(x,y)、v(x,y)为实部与虚都构成的复变量函数f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)化成以复数z=x+iy为变量的函数f(z),一般常用的方法是:     

广义齐次函数

若函数f(x,y)在其定义域G上满足恒等式 f(tx,ty)=t~nf(x,y),t>0,则称f(x,y)为n次齐次函数。把这个概念推广一下,还可以得到一类广义齐次函数,本文的目的就是对这类广义齐次函数的性质作一初步的讨论。定义.若函数f(x,y)在其定义域G上对一切t>0恒满足等式 f(tx,ty)=h(x,y)k(t)+z~mf(x,y),(1)其中h(x,y)为n次齐次函数,k(t)=t~mlnt(n=m时)或k(t)=(t~n-t~m)(n≠m时),则我们称函数f(x,y)为关于特征函数h(x,y)的m次广义齐次函数。例如,xlny+ylnx+x为关于特征函数x+y的1次广义齐次函数。而x~2+y~2+x~2y则为关于特     

对称函数及其简单应用

一、对称函数定义:如果函数z=f(x,y)=f(y,x),則称函数z=f(x,y)关于自变量x,y是对称的。如果函数u=f(x,y,z)=f(y,x,z),則称函数u=f(x,y,z)关于x,y是对称的。如果u=f(x,y,z)关于任意两个自变量均是对称的,则     

新题征展(133)

A 题组新编1.设函数y=f(x)在定义域D上可导,且a∈D,则(1)函数y=f(x)的图象关于点(α,f(α))对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于直线x=α对称;(2)当f'(a)=0时,函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于点(a,f'(a))对称.     

亚正常算子及半亚正常算子的Mosiac函数和Pincus函数

本文给出了亚正常算子或半亚正常算子的记号模型并发现了如下关系:W(x)(x,y)=B(x,y,),(x,y)=g(x,y),这里(x,y).B(x,y,)和(x,y)、g(x,y)为记号模型及奇异积分模型的 Mosiac 函数和Pincus 函数,W(x)为酉算子值函数,通过使用记号模型,建立了-亚正常算子和ψ-拟亚正常算子的 Mosiac 函数及 Pincus 函数.     

反函数中的几个常见错误观点

观点1函数y-f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像若有公共点,则公共点必在直线y-x上;观点2若函数y=f(x)有反函数,则它一定是单调函数;观点3函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x),则必有f[f-1(x)]=f-1[f(x)]=x成立;     

亚正常算子及半亚正常算子的Mosiac函数和Pincus函数

本文给出了亚正常算子或半亚正常算子的记号模型并发现了如下关系: W(x)(?)(x,y)=B(x,y),(?)(x,y)=g(x,y); 这里(?)(x,y),B(x,y)和(?)(x,y)、g(x,y)为记号模型及奇异积分模型的Mosiac函数和Pincus函数,W(x)为酉算子值函数,通过使用记号模型,建立了ψ-正常算子和ψ-拟亚正常算子的Moslac函数及Pincus函数。     

抽象函数与解题模型

我们这里所说的“抽象函数”是指那些没有给出函数的具体解析式,只给出一些特殊条件或特征的函数(如函数递推式,函数的定义域、函数性质及特征、部分图象等)尽管这类函数问题高度抽象,但往往有它所对应的具体函数模型.例如:f(x y)=f(x)·f(y)对应的是指数函数ax y=ax·ay,f(xy)=f(x) f(y),对应的是对数函数loga(xy)=logax logay,f(x y)=f(x) f(y)对应的是正比例函数k(x y)=kx ky,f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)正弦型的三角函数.f(x±y)=f(x)f(y)g(x)g(y)余弦型的三角函数等等.除此之外面对抽象函数数学题,我们的解题思路常常有:(1)合理赋值,化…     

考点5 反函数

1.(江苏卷,2)函数y=21-x+3(x∈R)的反函数的解析表达式为().(A)y=log2x-23(B)y=log2x-23(C)y=log23-2x(D)y=log23-2x2.(山东卷,2)函数y=1-x x(x≠0)的反函数的图像大致是().(A)(B)(C)(D)3.(全国卷,3)函数y=3x2-1(x≤0)的反函数是().(A)y=(x+1)3(x≥-1)(B)y=-(x+1)3(x≥-1)(C)y=(x+1)3(x≥0)(D)y=-(x+1)3(x≥0)4.(辽宁卷,5)函数y=ln(x+x2+1)的反函数是().(A)y=ex+2e-x(B)y=-ex+2e-x(C)y=ex-2e-x(D)y=-ex-2e-x5.(天津卷,9)设f-1(x)是函数f(x)=12(ax-a-x)(a>1)的反函数,则使f-1(x)>1成立的x的取值范围为().(A)(a22-a1,+∞)(B)(-∞,a22-…     

新题征展(10)

A.题组新编1.(1)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(2-x)与y=f(x-4)的图象关于　　对称;(2)已知函数y=f(x)对于任意x∈R都有f(2-x)=f(x-4),那么函数y=f(x)的图象关于　　对称;(3)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(x)与y=-f(2-x)的图象关于　　对称.(廉万朝、孙荣供题)2.     

多元函数的微分法则

我们知道 ,若函数 x =φ( s,t) ,y =ψ( s,t)在点 ( s,t)有连续导数 ,函数 z =f ( x,y)在相应点 ( x,y) =(φ( s,t) ,ψ( s,t) )有连续偏导数 ,则复合函数 z=f (φ( s,t) ,ψ( s,t) )在点 ( x,t)可微 ,且dz =( z x x s+ z y y s) ds+( z x x t+ z y y t) dt同样有 ,若函数 x =φ( t) ,y =ψ( t)在点 t可微 ,函数 z =f ( x,y)在相应点 ( x,y) =(φ( t) ,ψ( t) )有连续偏导数 ,则复合函数 z =f (φ( t) ,ψ( t) )在点 t可微 ,且 dz =( z x+ z ydydt) dt;若函数 x =φ( s,t)在点 ( s,t)有连续偏导数 ,函数 z =f ( x)在相应点 x =φ( s,t)有…     

互反函数一个结论的修正及应用

文 [1 ]给出了函数与其反函数图象交点位置的一个结论 :如果函数 y =f(x) (x∈A)在定义域A中是单调函数 ,那么它与其反函数图象的交点必在直线 y =x上 .其实 ,上述结论是错误的 .现给出两个反例 .图 1　反例 2图反例 1　函数 f(x)=1x,x∈ ( 0 ,+∞ )在定义域上单调递减 ,其反函数为其本身 ,故它们的函数图象重合 ,交点有无数个 ,但在直线 y =x上的交点只有 ( 1 ,1 ) .反例 2　文 [2 ]给出函数 y =ax 与其反函数y =logax的图象 ,当 0   

试评一道优秀的高考试题

2006年上海高考数学试卷第24题是“已知函数y=x xa有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,a]上是减函数,在[a, ∞),上是增函数.(1)如果函数y=x 2xb(x>0)的值域是[6, ∞),求b的值;(2)研究函数y=x2 xc2(常数c>0)在定义域内的单调性,并说明理由;(3)对于函数y=x xa和y=x2 xa2(常数     

对互为反函数图象对称关系的证明过程的注记

关于函数与其反函数的图象间的对称关系有:定理　函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.从教材[1]上对其证明过程来看,证明了两个结论:1.函数y=f(x)图象上任一点M关于直线y=x的对称点M′都在y=f-1(x)的图象上;同时,2.函数y=f-1(x)图象上任一点关于直线y=x的对称点也都在y=f(x)的图象上.若仅仅证明结论1,可否说明y=f(x)与y=f-1(x)图象关于直线y=x对称?回答是否定的,事实上,只要对本节(P62)中例1稍作改造,就构造出一个反例:y=3x-2(x∈R ),y=x 23(x∈R)易见对y=3x-2(x∈R )图象上任一点,关于直线y=x的对称点都在y=x 23…     

关于f(x、y)连续性的几个定理

<正> 关于二元函数z=f(x、y)的连续性,在高等数学中,一般仅给出它的定义,除用定义判断其连续外,却很少涉及其它方法。本文将给出判断二元函数f(x、y)连续的几个充分条件。定理1 设f(x、y)在区域D上有定义,若1)f(x、y)对x、y连续,2)f(x、y)对x是单调的,则     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

互为反函数的函数图象间的关系定理的又一证明

高中数学第一册§1.8揭示了互为反函数的函数图象间的关系,有如下定理: 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称. 要证明这个定理,关键是要证明函数y=f(x)上的任一点M(a,b)与函数y=f~(-1)(x)上的点M′(b,a)关于直线y=x对称.对此,课本上给出了一个证明,这里再介绍一个证法.     

二阶混合偏导数相等的充分条件

<正> 一般情况下,函数f(x,y)的二阶混合偏导数f_(xy)(x,y)和f_(yx)(x,y)未必相等。如     

利用判别式求函数值域的探讨

利用一元二次方程的判别式求某些函数值域和极值的方法,由于求解过程中采用了某些变形等缘故,往往使函数值的范围发生变化,这就导致此法的不可靠性。本文想就这个问题作一些讨论。 (一) 若函数y=f(x)由下面隐函数形式给出: a(y)·x~2+b(y)·x+c(y)=0 (1)此时可把方程(1)看作x的二次方程。因为x应取实数值,也即方程(1)应有实数根,所以其判别式△=[b(y)]~2-4·a(y)·C(y)≥0 (2)解不等式(2)所得到的y值范围(我们用集合M来表示)有可能是函数y=f(x)的值域。但M是否为函数y=f(x)的值域还应分别不同情况加以讨论: 1.若对于任意的y∈M,有a(y)(?)0,由一元二次方程根的判别式可知,方程(1)有实根与(2)是互为充要的条件,所以y=f(x)的值域为M。