正方体截面问题的再研究

文[1]作者通过两例给出了过正方体三条棱中点作正方体截面的作法,并在文末提出这样的思考问题．     

截面的画法

一个多面体被一个平面所截 ,在多面体的表面得到的截痕形成的平面封闭图形 ,称为这个多面体的一个截面 .判断截面有三项指标 :一是这个图形是否是平面图形 ;二是这个图形是否封闭 ;三是这个封闭图形的各条边是否在多面体的表面 .例如 ,图 1中的三角形就是正方体的一个截面 .在这三项指标中 ,第一项是关键 .我们总是先满足这一指标后 ,再满足其它指标 .已知多面体的棱上的三点 ,怎样作出过这三点的截面呢 ?本文介绍如下几种常用的方法 .1　平行线法例 1　在正方体 A1B1C1D1- ABCD中 ,点 E是 A1B1的中点 ,如图 2 (a) ,求作过 D1、E、B三…     

再谈多面体的截面问题

<正>多面体的截面问题历来是高考和各地模拟考试考查的重点问题,常考查多面体截面的作法以及截面面积(或周长)等问题的求解,文献[1]对多面体截面的作法作了较为详细的讨论,但未对截面的面积(或周长)作过多的介绍,本文立足多面体截面的面积这一视角,通过实例谈谈多面体截面面积的求解策略.1过一点的截面例1已知正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的棱长为1,过点A作平面α,若平面α截该正方体所得的截面为β,当截面β为三角形时,     

截面问题

用平面去截几何体,平面与几何体的交线所围成的平面图形,如凸多边形、圆、椭圆等,就是我们这里所说的截面.截面问题主要包括作图和计算两个方面.处理截面问题一般分为三个步骤:定位,定形,定量.其中,图形的定位是解决截面问题的关键.作截面的方法源于确定平面的公理3及其推论,一般都是先确定一个平面,然后在这个平面内完成作图.图1　例1图例1　在单位正方体ABCD A1B1C1D1中,M ,N ,P分别是棱B1C1,C1D1,D1D的中点.求过M ,N ,P三点的平面截这个正方体所得截面的面积.讲解　我们先来确定截面的位置和形状,然后再来计算截面的面积.如图1,…     

正方体截面的作法

我们知道：过不共线的三点作一多面体的截面,只需作出不共线的三点确定的平面与多面体的各可能相交平面的交线即可;又因为两点确定一直线,故只需作出两相交平面的两公共点即可．正方体截面的作法问题是立体几何中的常见问题,也是同学们学习的难点,本文给出正方体截面的作法两例,供同学们参考．     

探究正方体的截面问题

<正>正方体的截面是由平面与正方体各表面的交线构成的平面图形.截面怎么作图,可能有哪些形状?通过网络画板的探究、展示,我们发现截面可能是三角形、四边形、五边形和六边形,如图1所示.近几年,高考立体几何试题紧紧围绕空间想象能力和逻辑思维能力进行考查,这也体现了课标对直观想象的核心素养的要求.(2018年全国卷理科数学12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为().     

一道高考题的引申

20 0 3年高考全国卷第 1 6题 :下列五个正方体图形中 ,l是正方体的一条对角线 ,点M ,N ,P分别为其所在棱的中点 ,能得出l⊥面MNP的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号 )①　　　　　　　②　　　　　　　③④　　　　　　　　　⑤此题涉及知识面广 ,思维量大 ,解法灵活多样 .考虑到MN ,MP ,NP均为正方体各棱的中点的连线 ,由此引申出一个更一般的命题 :正方体每两条棱的中点的连线与正方体的一对角线l所成的角为多少度 ?为此我们讨论如下问题 :问题 1　正方体每两棱的中点连线有多少条 ?因正方体共有 1 2条棱 ,故它们的中点连…     

正方体在解高考题中的应用

<正>正方体是高中数学中最常见的也是最重要的几何体之一,依托正方体为载体,可以设计很多对考生既觉得熟悉又感觉陌生的高考试题,下面呢,笔者对在2018年高考中出现的相关题型整理解析,加以透视.1截面类题型例1 (2018年全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相     

多面体的截面

用一个平面去截一个多面体 ,平面与多面体的交线是一个封闭的平面多边形 ,这个多边形就是多面体的截面 .下面我们通过例题来讲解与多面体的截面有关的一些问题 .1　截面图形的确定与截面面积计算截面问题首先是截面图形形状的确定 ,这一般可以用平面的基本性质和确定平面的条件来解决 ;其次是在此基础上 ,求出该截面的面积 .图 1　例 1题图例 1　如图 1,ＡＢＣＤ -Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是棱长为 1的正方体 ,ＢＭ =12 ＭＢ′ ,Ｄ′Ｎ =12 ＮＣ′ .1)指出ＭＮ的中垂线在已知正方体上截得的截面是一个什么样的图形 ,并加以说明 .2 )求出这截面在正…     

巧用解析法 体会立体图形之美

<正>空间想象能力是人们解决现实生活中空间问题所必须具备的能力,也是必备的数学素养之一．高考中常以正方体为基本几何载体,全面考查函数、解析几何等的知识交汇点．1问题(2010年全国Ⅱ卷理科数学第11题)与正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的三条棱AB,CC_1,A_1D_1所在直线的距离相等的点()．(A)有且只有1个(B)有且只有2个(C)有且只有3个(D)有无数个方法1利用对称性,想象整个正方体绕对角线B_1D旋转,可以发现三条棱AB,CC_1,     

立体几何中一些截面图的作法

在立体几何的学习中,会遇到由所给条件进行已知棱柱、棱锥等几何体的一些截面的作图问题。对于其中一部分问题当然是十分容易的。例如已知一个三棱锥,在三条棱上分别有已知三点A、B、C(见图1),要作出过A、B、C三点的截面,我们只要连结AB,BC,CA得到三角形ABC平面就是所要求的截面。但在某些时候,只要稍不留神,就会作错。例     

一道有趣的排列组合应用题:正方体上有多少对异面直线

确切地说:正方体上的棱、面对角线,体对角线等三种线中有多少对异面直线? 解法一:这三种线可分为六种情况:棱与棱、棱与面对角线、棱与体对角线、面对角线与面对角线、面对角线与体对角线以及体对角线与体对角线等,下面就这六种情况一一加以讨论。一、正方体上的棱与棱组成的异面直线对如图1,与棱AA_1组成的异面直线对有     

积木问题的思考

原题（2008年重庆卷文史类第11题）如图1所示，模块①一⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①一⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．下列选择方案中，能够完成任务的为（）     

例谈体积问题的求解策略

例题（高中数学奥林匹克竞赛教程）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，点M、N分别为棱CC1、A1D1的中点，求四面体O—MNB1的体积．     

考点30 空间角与空间距离

1.(江苏卷,4)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为().(A)43(B)23(C)343(D)32.(湖南卷,5)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为().(A)21(B)42(C)22(D)23第2题图第3题图3.(福建卷,8)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是().(A)arccos15(B)π(C)arccos510(D)2π第4题图4.(辽宁卷,14)如图,正方体的棱长为1,C、D分别是两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABC…     

欧拉公式及其应用

对于简单多面体来说,若顶点数为V,面数为F,棱数为E,则V F-E=2.这就是著名的欧拉定理,其关系式叫做欧拉公式.其中的常数f(p)=V F-E=2叫做简单多面体的欧拉示性数.欧拉公式揭示了简单多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间特有的规律.欧拉公式只适用于简单多面体,是计算和推理简单多面体问题的理论依据.例1将正方体的各棱三等分,经过三分之一分点,从正方体的8个角截去8个相同的小四面体,试验证截后的凸多面体符合欧拉公式.图1分析先弄清楚截去8个角后得到什么样的几何体,然后分类计算面数、顶点数与棱数.证明截去8个角后,原正方体的每…     

一个命题的简证

命题 过三棱锥相对棱的中点的任一截面平分锥体的体积. 文[1]运用了梅尼劳斯定理,文[2]用了两个引理证明此命题,均较繁琐.今给出一非常简单的证明.     

立体几何证明切记马失“前提”

在高三复习中发现 ,部分同学不注意定理条件 ,例题图经常出现证明错误 ,且不知错在哪里 .现举例分析 ,以期引起同学们的注意 .例　如图所示 ,已知E ,F分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AA1,CC1上的点 ,且AE =C1F .求证 :四边形EBFD1是平行四边形 .错证 :在正方体ABCD A1B1C1D1中 ,     

运用向量探索“点”的位置

高级中学课本 (试验修订本 )数学第二册下 (Ｂ)的特点是引入向量解决立体几何问题 ,使几何问题代数化 .借助向量运算工具 ,尤其是在处理平行、垂直、夹角、距离等问题时 ,摒弃了繁杂的推理 ,降低了思维难度 .下面举例说明 ,如何运用向量运算工具探索满足某一性质的点所在的位置 ,以便更好地理解向量的运算 ,掌握向量的应用 .例 1　在棱长为 1的正方体ＡＢＣＤ—Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,Ｅ ,Ｆ分别为棱ＡＢ和ＢＣ的中点 ,试在棱Ｂ1Ｂ上找一点Ｍ ,使Ｄ1Ｍ⊥平面ＥＦＢ1,并证明你的结论 .解　以Ｄ点为原点 ,如图 1建立空间右手直角坐标系Ｏ -ｘｙｚ,则…     

运用化归思想解排列组合题

例 1　正方体八个顶点的连线中 ,异面直线有多少对 ?分析　因为一个三棱锥各对棱所在直线均异面 ,有 3对异面直线 .受这一结果的启发 ,原问题可化归为 :正方体八个顶点中任取 4个点 ,可构成多少个三棱锥 ?于是因由正方体的顶点构成的三棱锥的个数为Ｃ4 8- 12 ,故所求异面直线的对数为 :3(Ｃ4 8-12 ) =174 (对 ) .例 2　圆内接八边形的任意三条对角线不在圆内共点 ,那么所有对角线在圆内共有多少个交点 ?分析　因为圆内接四边形的两条对角线的交点位于圆内 ,故问题化归为只需考虑以圆内接八边形的顶点为顶点可构成多少个圆内接四边形 .因从圆…