一个与半外切圆有关的不等式链

一个与半外切圆有关的不等式链李平龙（江苏省灌云县中学２２２２００）本文建立一个与半外切圆［１］有关的几何不等式链如下，它恰好加强了三角形中著名的欧拉不等式Ｒ≥２ｒ．定理记△ＡＢＣ的内切国、外接回半径分别为ｒ，Ｒ；设与△ＡＢＣ的两边所在射线ＡＢ，ＡＣ，...     

半外切圆及其性质

半外切圆及其性质熊光汉（湖北恩施市教研室４４５０００）与三角形的外接圆相外切，又与三角形两条边所在的直线相切的圆，称为三角形的半外切圆．半外切圆有一系列有趣的结论．预备知识：三角形的外接圆半径为Ｒ，旁切圆半径为ｒａ，则有证明如图１，旁切圆Ｉ与△ＡＢＣ...     

涉及三角形中线的一个十分有用的变换

涉及三角形中线的一个十分有用的变换贺斌（湖北谷城教师进修学校４４１７００）本文约定：△ＡＢＣ的三边长、三中线之长、面积、半周长、外接国半径、内切圆半径、三傍切圆半径分别为ａ，ｂ，ｃ，ｍａ，ｍｂ，ｍｃ，△，Ｐ，Ｒ，ｒ，ｒａ，ｒｂ，ｒｃ．对于△Ａ’Ｂ’Ｃ...     

不等式研究成果集锦(10)

１１６ 设任意△ＨＢＣ中,Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的内点,△ＤＥＦ、△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＥＤ 的周长分别记为ｍ０、ｍ１、ｍ２。ｍ３,　＝ｍｉｎ｛Ａ、Ｂ、Ｃ｝,则 上述命题可向平面ｎ边形推广,另猜测,在任意△ＡＢＣ中,有 （吴善和．１９９９,４） １１７ 如果△ＡＢＣ内的三个圆都与三角形的内切圆相切,并且每个圆与△ＡＢＣ的两边相切,设ｒ、ｒａ．ｒｂ、ｒｃ分别为内切圆及其余三个圆的半径,则 （赵长健．１９９９,４） １１８ 在交叉四边形 ＡＢＣＤ中,ａ、ｂ、ｃ／及Ｓ分别表示其边长和面…     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年２月号问题解答（解答由问题提供人给出）８７６设ΔＡＢＣ的外接圆Ｏ，另一圆Ｏ１与ＡＢ，ＡＣ相切于点Ｚ，Ｙ；且与Ｏ内切于Ｐ点，证明：ＺＹ的中点为ΔＡＢＣ的内心证明设ΔＡＢＣ外接圆与内切圆的半径分别为Ｒ，ｒ；Ｏ１的半径为ｘ．由于Ｏ１与...     

切点三角形的一个新不等式链

三角形的内切圆与各边相切于三点所构成的三角形称为切点三角形.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R、r和s,ΔDEF外接     

几个三角形面积比定理的统一证明

本文约定：△ＡＢＣ的三内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边长分别为ａ，ｂ，ｃ，面积为Ｓ，且△ＡＢＣ的半周长为ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ），内切圆半径长为ｒ（＝４ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２）．本刊文［１］给出了下面关于锐角三角形的内接三角形面积的一个不等式链Ｓ垂足△?..     

三角形的半内切圆的若干计算公式

与三角形的外接圆内切且与三角形的两边相切的圆称为三角形的半内切圆 .显然 ,一个三角形的半内切圆有三个 .文 [1 ]曾给出了三角形的半内切圆的三个性质 (即文 [1 ]性质 1～ 3,其余性质实际上是圆外切四边形的性质 ) ,包括著名的Mannheim定理 [2 ] :三角形的内心是它的任意半内切圆与三角形两边切点连线段的中点 .本文以 Mannheim定理为基础 ,给出三角形的与半内切圆有关的若干线段的计算公式 ,并顺便给出三角形的半内切圆的几个性质 .按惯例 ,下面的讨论中以 a,b,c,p分别表示△ ABC的三边长与半周长 ,A,B,C既表示其三个顶点 ,也表示相…     

一个非钝角三角形不等式

一个非钝角三角形不等式３５００１５福州二十四中杨学枝如果△ＡＢＣ的半周长为ｓ，外接圆半径与内切圆半径分别为Ｒ与ｒ，当△ＡＢＣ为非钝角三角形时，４０年前人们已经知道有以下两个重要不等式：ｓ２≥２Ｒ２＋８Ｒｒ＋３ｒ２ｓ≥２Ｒ＋ｒ最近又有人对非钝角三角形中...     

内切圆半径为整数的海伦三角形

内切圆半径为整数的海伦三角形曾丕刚（陕西镇安县中７１１５００）笔者对文［１］进行改进与推广得到一些结论．设ＡＢＣ的三边为ａ，ｂ，ｃ；半周长、面积、内切圆半径分别为ｐ，ｓ，ｒ；ｔ＝ｐ－ａ，ｕ＝ｐ－ｂ，ｖ＝ｐ－ｃ．则ｔ，Ｖ，Ｖ的几何意义为各顶点到内切圆的...     

1993年第3期问题

１９９３年第３期问题７６．已知凸ｎ边形Ａ１Ａ２．．．Ａｎ内接于圆Ｏ，Ｒ为圆Ｏ的半径，Ｏ到各边的距离分别为为ｎ边形的半周长，求证：７７．整点三角形ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上除端点外分别有奇数个整点．（１）求证：边ＢＣ上除端点外还有奇数个整点；（２）△ＡＢＣ...     

三角形“心距”公式

三角形“心距”公式４１０００６湖南师大附中冯跃峰１７６５年，瑞士数学家欧拉（Ｅｕｌｅｒ）发现了如下的（见文［１］）定理１（欧拉定理）设面ＡＢＣ外接Ｗ、内切国的半径分别为Ｒ、ｒ，其外心到内心的距离为ｄ，则．ｄＺ—ＲＺ一ＺＲｒ（１）这个优美对称的结果，启...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年１２月号问题解答（解答由问题提供人给出）９２６在△ＡＢＣ中，试证：证明如图，设面△ＡＢＣ的内切圆分别切ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｄ、Ｅ、Ｆ，ＡＦ＝ｘ，ＢＤ＝ｙ，ＣＥ＝ｚ，△ＡＢＣ内切圆半径为ｒ．由海伦公式，易得可得ｘ＋ｙ＋ｚ将（２）代入...     

双曲线的直径三角形的一个性质

文［１］给出了关于椭圆的直径三角形的如下性质：命题设△ＡＢＣ内接于椭圆Γ,且ＡＢ为Γ的直径,ｌ为ＡＢ的共轭直径所在的直线,ｌ分别交直线ＡＣ、ＢＣ于Ｅ和Ｆ,又Ｄ为ｌ上一点,则ＣＤ与Γ相切的充要条件是Ｄ为ＥＦ的中点．本文进而给出关于双曲线的直径三角形的类...     

关于三角形角平分线一个猜想的证明

关于三角形角平分线一个猜想的证明２２４００１江苏盐城师范周甫林刘健先生在本刊９５年第８期上提出了如下猜想：其中ｗａ、ｗｂ、ｗｃＳ、ｒ分别为任意ΔＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的内角平分线、半周长和内切圆半径．笔者证明了上述猜想（１）是正确的．今证明如下...     

一个三角形不等式

定理设a、b、c为△ABC三边之长，则证明记s、R、r为△ABC的半周长、外接国半径与内切圆半径，由等及熟知径与内切圆半径，由等及熟知又由恒等式：所以①式等价于4Rs2（2R 2r）因为后一式为欧拉不等式．故由Gerretsen不等式所以①式成立．易知取等号的充要条件为△ABC是正三角形．一个三角形不等式@万锦文$湖北省咸宁鄂南高中!437100     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年９月号问题解答（解答由问题提供人给出）９１１设点Ｍ是△ＡＢＣ的ＢＣ边的中点，Ｏ是内切圆的中心，ＡＨ是高，Ｅ为直线ＯＭ和ＡＨ的交点，求证：ＡＥ等于内切圆半径ｒ．证明如图，设Ｐ为内切圆与边ＢＣ的切点．连ＯＰ．设ＢＣ＝ａ、ＡＣ＝ｂ、Ａ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９５年８月号问题解答（解答由问题提供人给出）９６６设点Ｉ是ＡＢＣ内切圆圆心，试证：其中ａ，ｂ，ｃ为三角形的边长证明设，是ＡＢＣ内切圆的半径，则因此类似地，有由此可见，所要证的等式，等价于三角恒等式所以，原等式成立．［注］：此等式是容易...     

借助线段计算解一道全国联赛题

９９８年全国高中数学联合竞赛加试题一是：如图,Ｏ、Ｉ分别为△ＡＢＣ的外心和内心,ＡＤ是ＢＣ边上的高,Ｉ在线段ＯＤ上．求证：△ＡＢＣ的外接圆半径等于ＢＣ边上的旁切圆半径．注：△ＡＢＣ的ＢＣ边上的旁切圆是与ＡＢ、ＡＣ的延长线以及边ＢＣ都相切的圆．解分别连...     

对《三角形的“心距”计算公式》的注记

对《三角形的“心距”计算公式》的注记７２５１０３陕西汉阴平梁中学袁祖志本刊文［１］讨论了三角形的“心距”公式，为方便计，用Ｉ、Ｏ、Ｇ、Ｈ分别表示△ＡＢＣ的内心、外心、重心、垂心，ａ、ｂ、ｃ、Ｒ、ｒ分别表示△ＡＢＣ的边长及外接圆半径、内切圆半径．则［１...