k阶差等比数列

现行高中代数课本有数列{a_n},它满足下列公式: a_1=b a_(n 1)=qa_n d (q≠1) 它是等差、等比数列的自然推广,可叫做一阶差等比数列。这数列的进一步推广很有趣。如数列{a_n)的项差(a_(n 1)-a_n)称为它的一阶差数列,{a_(n 1)-a_n}的一阶差数列称为{a_n}的二阶差数列,可类似定义k阶差数列(为方便,称{a_n)为它自己的零阶差数列)。如果数列{a_n}的k-1阶差数列不是等比数列,而k阶差数列为等比数列,则称{a_n}为k阶差等比数列。本文拟推导这种数列的通项公     

高阶等差数列前n项和的注记

通过对数列应用逐差法原理,首先给出了数列的n阶差定理.由此出发对数学手册中的高阶等差数列的通项公式及前n项求和公式进行了系统的完整的证明.从而使得利用两个公式研究高阶等差数列时显得更为简便科学.     

数列问题中的特征根方法与拆项方法

本文介绍循环数列、某些分式递推式确定的数列及阶差数列,并利用特征根方法或拆项方法求其通项或前n项的和。 一循环数列 若数列{。}的项满足 a.=A:么_.+凡‘一2+…+儿山_、月>毛川.lJ称{司为k阶循环数列,这里乏是固定的正整数,Al,九,…,儿是与n无关的常数,A,手0.(l)式称为1‘}的循环方程,方程 犷=A,犷一,+九xx一“+…+A.(2)称为1.}的特征方程;(2)的根称为1司的特征根.不难证明,等差数列是二阶循环数列,而等比数列是一阶循环数列。 显然,满足同一个k阶循环方程的数列有无限多个。为了确定一个数列,还需知道数列的某h个项的具体值。常见的…     

高阶差等比数列的通项与前n项的和

通过对某一数列应用逐差法,使得若干阶差后得到一等比数列.该数列又称为高阶差等比数列.本文仅研究讨论高阶差等比数列的通项及前n项和的公式,并由该数列的特点得到规律性计算公式,从而解决了高阶差等比数列的通项及前n项求和问题.     

差比型数列前n项和的求解方法——裂项法

设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,则不妨称数列{anbn}为差比型数列.教材给出了这类数列的前n项和的求法———错位相减法,通过错位相减,消除{bn}中的各项系数差异,转化为等比数列(中间的(n-1)项构成     

差比型数列前n项和的求解方法--裂项法

设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,则不妨称数列{anbn}为差比型数列．教材给出了这类数列的前”项和的求法——错位相减法,通过错位相减,消除{bn}中的各项系数差异,转化为等比数列（中间的（n=1）项构成一个等比数列）求和问题．     

求一类数列通项的最简方法——从求解等差数列和等比数列的通项谈起

等差数列的定义是：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数d，这样的数列称为等差数列．即数列满足a＋1一an=d，课本采用不完全归纳法归纳出通项公式，有的资料上采用了累加的方法进行了证明。     

应用公式求高阶差幂数列的通项与前n项和

本文对高阶差幂数列通项公式的构成进行分析研究,从而对求高阶差幂数列的通项与前n项和给出了一种公式计算法.     

利用等差数列的性质解题几例

等差数列有不少性质,现列举如下: 一、设{a,},{b。}是等差数列,则{a。+b。}也是等差数列. 二、设{a,}是等差数列,。为常数,则{ca,}也是等差数列. 三、设{a。}是等差数列,c为常数,则{a。+好也是等差数列. 四、设{a。}是等差数列,如果项数号码P,q,:,:,…成等差数列,则。,,a。,。r,a,,…也成等差数列. 以上性质皆不难证明,仅就性质四为例来证明。 设等差数列通a,}的公差为d,取新数列a,,a。,a,一中的任意相邻两项“‘,a,, az一a、=〔a;+(j一1)d)一〔a:+(‘一l)d〕 =(j一f)d. ,.’p,q,:…i,j,…成等差数列,+abc也成等差数差列,各项都减去abc,则 …     

等差数列的共轭定理及其推论

对于一个确定的等差数列而言 ,其前ｎ项和或连续ｎ项和是很容易计算的 .但对于某些等差数列 ,如只交待了中间项或其中的两项之和 ,直接利用等差数列的前ｎ项和公式做上述计算时 ,由于项的不确定而比较困难 .本文推导了等差数列的共轭定理及其推论 ,在解决这类问题时极为方便 .1　数列共轭项的定义在一个数列的连续ｎ项 (第ｉ项至ｊ项 )中 ,如果其中的两项ａｐ、ａｑ 的项数之和等于这个连续段的首末两项的项数之和 ,即ｐ ｑ=ｉ ｊ,那么把ａｐ、ａｑ 叫做该数列在这个连续段上的共轭项 .ａｐ和ａｑ互为共轭 ,称共轭对 .ａｐ ａｑ 叫作共轭对…     

竞赛中的递推数列问题

一般地，如果一个数列的第n项an与前面的k项a（n-1），a（n-2），…，a（n-l）（k为某个正整数，且k〈n）之间有关系an=f（a（n-1），a（n-2），，…，a（n-k）），则称该关系为k阶递推关系，或称为递归关系，这里厂是关于a（n-1），a（n-2），…，a（n-k）的k元函数，称为递推函数或递归函数。由k阶递推关系及给定的前k项a1，a2，…，ak的值（称为初始值）所确定的数列称为k阶递推数列或k阶递归数列．一阶、二阶递推数列是高中数学竞赛大纲要求的内容．     

自然数幂求和公式的计算机实现

自然数幂的求和问题 ,一直受到人们的关注 .著名数学家陈景润对此就有过较好的研究 ,更多结果散见其他许多文献 .但都比较烦琐 .本文借助 Mathematica软件 ,利用高阶等差数列的一个结论 :m阶等差数列的充要条件是其前 n项和为 n的 m+ 1次多项式 .给出了一种求自然数幂前 n项和的一种简单方法 .利用此方法还可实现小于 m的自然数幂前 n项和的同时实现 .     

数列

本单元知识点及重要方法本单元知识点是数列的概念、数列的通项公式及递推公式 .重点是等差数列与等比数列的概念、通项公式及其前ｎ项和公式 .利用数列的前几项归纳该数列的一个通项公式 ;根据数列的递推公式求出数列的前几项 ;运用等差数列与等比数列的通项公式、前ｎ项和公式 :①知三求二 ;②将其它数列转化为等差数列或等比数列求其通项与前ｎ项和 ;根据数列的通项ａｎ 与前ｎ项和Ｓｎ 的关系 :ａ1 =Ｓ1 且ａｎ=Ｓｎ-Ｓｎ- 1 (ｎ≥ 2 )解决数列有关问题 ;运用倒序相加、错位相减、裂项等技巧求数列的前ｎ项和 .练习选择题1　已知数列 1 …     

几种常见的递归数列

一个数列的连续项之间的关系叫递归关系.由递归关系确定的数列叫递归数列.中学教材中的等差、等比数列,是最基本、应用最广的递归数列.递归数列在高考试题中时有所见.本文主要介绍一阶递归数列:an 1=f(an)(有一个初始条件)及二阶递归数列:an 1=f(an,an-1)(有两个初始条件)中的简单类型.1.第一类:a1=aan 1=can d　型若c=1,则an 1=an d,显然{an}是首项为a、公差为d的等差数列;若d=0,c≠0,则an 1=can,显然{an}是首项为a、公比为c的等比数列;下面就一般情形予以研究.例1　已知数列{an}中,a1=3,an 1=2an 4,求这数列的通项.解　由an 1=2an 4,得an=…     

辅助数列及其应用

众所周知,在中学数学教材里推导等比数列前n项和的公式的方法就是作辅助数列法。它是一种研究数列的重要方法。辅助数列象辅助线、辅助未知数一样,在数学中起着极其重要的作用。本文试图举例说明辅助数列在解决数列求和,求通项问题上的一些应用。一、什么叫辅助数列?什么叫“作辅助数列法”? 所谓辅助数列,就是根据解决问题的需要,作出一个与原数列有某种联系的数列,(例如,把原数列的前n项都乘以一个适当的因数,就可以获得一个辅助数列),我们称它为原数列的辅     

求高阶差等比数列通项的公式解法

通过对高阶差等比数列通项公式的构成形式进一步研究,得到了该类数列通项公式的标准形式．并利用矩阵的初等变换以及差分的方法导出了求该数列通项公式中各系数的计算公式,从而得到了求高阶差等比数列通项公式及前n项和的一种公式解法．     

数学课是这样“备”出来的

2006年4月4日,笔者参加了上海市青年教师教学优质课评比,获得一等奖.上课内容为“等差数列的前n项和公式(一)”.本文围绕着这节课的设计、试教及修改的全过程,谈谈本人在二期课改背景下对课堂教学设计的一点体会.等差数列是高中数学研究的两个基本数列之一.等差数列的前n项和公式则是等差数列中的一个重要公式.它前承等差数列的定义、通项公式,后启等比数列的前n项和公式.本节课是数列求和的第一课,同时也是“倒序相加法”这一重要求和方法的典型载体.本课的教学重点是两个:(1)探究并获得等差数列的前n项和公式;(2)等差数列前n项和公式的初…     

一道高考数列题的解法探究

<正>在2015年高考数学试题中,有7道数列试题就是"差比型"(等差数列和等比数列的乘积构成的新数列)数列的求和,本文试图从解法的角度来探究.一、试题展示(2015年高考湖北,理18)设等差数列{a_n}的公差为d,前n项和为S_n,等比数列{b_n}的公比为q.已知b_1=a_1,b_2=2,q=d,S_(10)=100.(Ⅰ)求数列{a_n},{b_n}的通项公式;     

“伪等差(比)数列”及其应用

<正>一、伪等差数列和伪等比数列的定义1.伪等差数列如果一个数列从第二项开始,每一项与后一项的差大于等于(小于等于)同一个常数,那么这个数列就叫做伪等差数列,这个常数叫做伪等差数列的伪公差d.a_(n+1)-a_n≥d,a_n≥a_1+(n-1)d(1)a_(n+1)-a_n≤d,a_n≤a_1+(n-1)d(2)     

二阶有理迭代数列

对一类二阶有理迭代数列,通过将其化为一阶有理迭代数列并利用一阶倒数迭代数列的结论,给出了其通项公式与收敛性.