巧用“a+b+c=0”妙解一类分式竞赛题

<正>在数学解题中,经常会碰到已知条件为"a+b+c=0"的分式求值竞赛的问题,这时若把此条件转化为一些有用的结论,在解题中灵活利用这些结论思考问题,往往能快速找到突破口,收到事半功倍之效,本文就此类问题的解法举例说明.     

命题:“若{x≥a,x≤a则x=a”的应用

<正>命题:"若x≥a x≤a,则x=a",体现了"相等"与"不等"的对立统一及其相互转化的关系.命题虽然十分简单,却在解答数学竞赛试题中发挥重要作用.本文举例介绍其应用.一、在求值中的应用例1(2013年全国初中数学联赛)已知实数a,b,c,d,满足:2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6,求(a2+b2)(c2+d2)的值.分析与解答一方面,根据菲波那契恒等式和实数的平方是非负数可以得如下不等式:     

当a+b+c=0时

<正>经常会在一些竞赛题中看到当a+b+c=0时,求解分式或整式有关的计算、判断或证明.如果能对其有深入的了解,相信解题会方便不少.从条件a+b+c=0出发,可以推导出一些有用的结论,在解决与三个字母有关的运算或证明时非常有用.下面就结合例题,说说这几个重要的结论:     

用“若a+b=0,则ab≤0”解竞赛题

如果两实数ａ ,ｂ满足ａ +ｂ =0 ,则ａｂ≤0 .应用这个结论解答一些竞赛题十分简捷 .现举例说明 .例 1　ｘ ,ｙ ,ｚ均为实数 ,解方程组ｘ + ｙ =2ｘｙ -ｚ2 =1①②(1987年上海市初中数学竞赛 )解　由①得　 (ｘ -1) + (ｙ -1) =0 .∴ (ｘ -1) (ｙ -1) =ｘｙ-(ｘ + ｙ) + 1≤0 ③①、②代入③得　 (ｘ -1) (ｙ -1) =ｚ2 ≤ 0 ,∴　ｚ =0 ,　ｘ -1=ｙ -1=0 .故方程组的解是　ｘ =1,ｙ =1,ｚ =0 .例 2　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足ａ +ｂ +ｃ =0 ,ａｂｃ=8.求ｃ的取值范围 .(第一届“希望杯”初二数学竞赛 )解　由已知 (ａ + 12 ｃ) + (ｂ + 12 ｃ)…     

运用“ab=0 a=0或b=0”时应注意之点

同学们常运用“ab=0a=0或b=0”原理解题,如解方程2x~2-5x 2=0(2x-1)(x-2)=02x-1=0或x-2=0方程的解为{1/2,2},即是两个“选择方程”解的并集。在这里,分别解两个“选择方程”时,似乎彼此不管,总是这样吗?试看下例: 解方程:①(2x~2-5x 2)(x-2)~0=0; ②(tgx 1)(arcsinx-π/3)=0, 解①由原方程得2x~2-5x 2=0或(x-2)~0=0。由第一个方程得x=1/2、2,第二个方程     

妙用“0·x=0”解题

我们知道:不论x取何实数时,都有0·x=0恒成立,所以要使ax=b(x为变量,a,b为常数)对于任意实数x恒成立,必须有a=0,且b=0.在一些定值、定点、轨迹和求值等问题     

品味美奂美仑的数学

“美是真理的光辉”,黑格尔说:“我赞美数学的优美和力量:它有战术上的技巧与灵活,又有战略上的雄才远虑.而且,奇迹的奇迹,它的一些美妙的概念是支配物理世界的基本结构.”数学的美是内在的美,隐蔽的美,深邃的美,美在数学思想内部.数学美是客观规律的反映.要领悟数学美必须透过“抽象、枯燥”的符号、公式及定理等洞察其内部的数学思想.比如:爱因斯坦创立的相对论可谓内容丰富之极,但如果用式子表示的话,却极其简单:E=mc2,P=mv(E为能量,P为动量,m为质量,c为真空中的光速),并非所人有都能意识到这其中的美.其实,这两个公式代表了爱因斯坦对…     

0被“双规”以后的话题

高中数学新教材 [1 ]第一册 (下 )第五章“平面向量”在给出定义“长度为 0的向量叫做零向量 ,记作 0”后 ,先后对它作了下面两个“规定”(本文简称“双规”) :“0与任一向量平行”(第 95页 )以及“零向量与任一向量的数量积为 0”(第 1 1 6页 ) ,并且接着在给出“a⊥b a·b=0”的前面明确指出“a、b都是非零向量”(第 1 1 7页 ) .这也就是说 ,新教材把平面向量集内的零元——— 0与其他元素的关系只归入共线而回避垂直 :当a·b=0时当且仅当a、b都不是零向量时 ,有a⊥b ;若a或b中有零向量时 ,未说a⊥b是否成立 .两向量的共线和垂直是两向量…     

用“a-a=0”解题

a-a=0虽说是一个极其简单的恒等变形,但对一些具有某种特殊结构和数量关系的题,巧用这个变形,往往能收到意想不到的效果。下面举例加以说明。例1 夕!9自g:.二孚2,,'.'曰凡弓~ 解丫、,~1 .2'4订异下丫甲个;一r-万十二六-下十.".十 1气~二1州卜工一1,十劣- 诚 加二ad十汾一ab一崛十的 减 ~(动 记)十(a一e)(己     

初学一元二次方程需弄清的几个问题

一元二次方程是初中数学的重要内容之一 ,它的应用十分广泛 ,而初学它时 ,对教科书中没有特别指明的问题 ,许多同学往往感到不好把握 .以下对此作简单介绍 ,供同学们学习中参考 .一、二次项系数不为零 (即a≠ 0 )是一元二次方程定义的组成部分 ,学习时必须牢牢掌握它 .在一般形式ax2 +bx +c=0中 ,如果a =0 ,那么 ,方程就变为bx +c=0 ,这就不是一元二次方程了 .因此 ,在研究含有字母系数的一元二次方程时 ,必须认认真真地考虑二次项系数不等于零 (即a≠ 0 )的这个条件 .否则 ,这会在解题中出现错误 .例如 :例 1　若关于y的方程 (m +2 )ym2 -m…     

重视“0”的作用

<正>在数学中,"0"不仅表示没有,而且有着丰富的内涵,七年级许多题型中,"0"就初露锋芒,重视了它,不仅能使问题迎刃而解,还可帮助理解相关的数学概念.一、帮助理解非负数例已知|x+2|+(y-3)2=0,求xy的值.分析大于或等于零的数称为非负数.某数的绝对值、平方均为非负数.若几个非负数的和为零,则每一项皆为零.故本题每一项等于0即可求出x、y的值.     

再谈平方的美妙算法

"哪里有数,哪里就有美"(普洛支那斯)."数学的美表现在数学的内容结构上和方法上,它包含简单性、统一性、对称性等具体内容."①笔者在《平方的美妙算法》(以下称"文1")中所介绍的方法恰好体现了这一美学原则.作为"文1"的延续和完善,笔者再推出这类平方数的另一种美妙的算法,它同样具有上述数学美的特征.     

数字“0”的产生及其中的数学文化

0在中国古代有“金元数字”之称,在印度0被看作永恒的神,玛雅文化背景下将0比作死神,可见在现代生活中毫不起眼的0在古代却被如此地看重.这里以时间顺序捋清了0的产生过程,从数学文化的角度,分析了0的产生中所蕴含的数学史、数学美,凸显了辩证思维以及哥伦布鸡蛋的思想.     

妙用＂0·x=0＂解题

我们知道：不论z取何实数时,都有0·x=0恒成立,所以要使ax=b（x为变量,a,b为常数）对于任意实数x恒成立,必须有a=0,且b=0．在一些定值、定点、轨迹和求值等问题中,如果恰当地运用这一结论,会给解题带来意想不到的“惊喜”．下面结合实例来谈谈“0·x=0”在解题中的应用．     

以a+b+c=0为条件的求值题解析

在初中数学各种竞赛题中经常会见到以a+b+c=0为条件的求值题.笔者现举几例加以解析,以期使读者了解此类题的解题思路.     

函数y=x2与y=ax的图象交点个数探究

北师大版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第3.6节"指数函数、幂函数、对数函数增长的比较",借助"列表法"与"图象法"得到了函数y=x2与y=2x的图象在第一象限内有两个交点,那么函数y=x2与yax(a＞0且a≠1)的图象在第一象限内是否一定有两个交点?如果不是,交点情况又如何?本文拟对此作一探究.     

x~0=1是有条件的

文[1]的例6及其"正解"如下:题目函数y=(m-1)xm-1+(m-3)x+1,当m为何值时,它是一次函数.解当m-1=0且m-3≠0时,为一次函数.解得m=1;当m-1=0且m-3≠0时,为一次函数.解得m=±1;当m-1=1且(m-1)+(m-3)≠0时,为一次函数.解得m=-2.所以当m=±1或m=-2时,它是一次函数.评论这个"正解"不对!当m=1时,y=(1-1)x1-1+(1-3)x+1,即y=0x0-2x+1,即y=-2x+1(x≠0).它不是一次函数!它的图像不是一条直     

主元思想在解题中的应用

化归与转化的思想方法是中学数学的重要思想方法之一,也是高考数学中重点考查的思想方法.而主元思想就是通过转换变量来达到化归与转化的目的.所谓"主元思想",是指在解决含有两个或两个以上字母的问题时,选择其中一个字母作为研究的主要对象,视为"主元",而将其余各字母视作参数或常量来指导解题的一种思想方法.1主元思想在不等式问题中的运用例1对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g（x）=3x;-ax+3a-5<0,求实数x的取值范围.     

“a=a·1”在解数学赛题中的运用

在解答数学竞赛题时，若能注意到a=a·1，将会收到意想不到的效果．现采撷几道赛题说明如下．     

证明“线段a=b+c”的基本思路

<正>在初中几何中,三条线段长分别为a,b,c,求证"a=b+c"的证明题是常见问题,尤其对于线段都不在同一直线的情形.本文针对这种情况给出三种基本思路,下面结合一道考试题进行说明.问题如图1,∠B=∠C=90°,AE平分∠DAB,DE平分∠ADC.求证:AD=AB+CD.由于线段AD、AB和CD相互分离,不在同一直线上,因此需要想方设法进行转化,有三种思路.一、将a一分为二此方法将较长线段AD分割成两部分,使