说说三角形的周长和面积平分线

<正>三角形的周积平分线(一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,这条直线本文称为周积平分线),一定经过此三角形的内心.证明如图1,设GH为△ABC的一条周积平分线,P为△ABC的内心,令△ABC的内切圆半径为r.不失一般性,设△ABC的三边长为a,b,c,三边两两互不相等,记1/2(a+b+c)=p,令G、H两点分别在边AB、AC上.     

再探旁心三角形的性质

三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点称为三角形的旁心.旁心是三角形的旁切圆的圆心,一个三角形有三个旁心,连接三角形的三个旁心而成的三角形称为旁心三角形.在文[1]的基础上,笔者经过探讨,得到:定理如图1所示,△DEF是△ABC的旁心三角形,三边长分别为d,e、f,且△ABC的三边长分别为a,b、c,△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R、r,则有def=4R/r·abc.     

三角形外角平分线三角形面积的性质

如图1,△ABC是一任意三角形,△DEF图1是它的外角平分线三角形,记△ABC的三边长为a、b、c,半周长为p,面积为S0,外接圆半径为R,内切圆半径为r,旁切圆半径为ra、rb、rc,△DEF的面积为S.经过探讨,笔者现已得到:定理S=2pR.证明因(p-a)(p-b)(p-c)=r2p,ab bc ca=p2 4Rr r2,得p-1a p-1b     

对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...     

一个三角形不等式的证明

文[1]中给出100个优美的几何不等式,其中l63是:a2≥(ωb+ωc)2(c+a)(a+b)/4(b+c)s≥4(s-b)(s-c) 本文给出它的一个证明.符号均与文[1]同(a,b,c为△ABC三边,ωa,ωb,ωc分别为角A、B、C的平分线,S为半周长,R,r为外接和内切圆半径).     

两个几何不等式的证明

文[1]中,胡如松先生提出了如下猜想,现予以证明.设△DEF为△ABC内接三角形(如图).并设△ABC的三内角为A,B,C;三边BC=a,CA=b,AB=c;EF=a0,FD=b0,DE=c0.分别设△ABC,△DEF,△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积依次为R,R0,R1,R2,R3;r,r0,r1,r2,r3;P,P0,P1,P2,     

切点三角形的一个新不等式链

三角形的内切圆与各边相切于三点所构成的三角形称为切点三角形.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R、r和s,ΔDEF外接     

三角形的一个有趣性质

设△ABC三边为a、b、c,三角为α、β、r,则以Sinα、sinβ、sinr为边的三角形存在,且这个三角形的三角仍为α、β、r。证明:在△ABC中,由正弦定理知: a/sinα=b/sinβ=c/sinr=2R(R为△ABC外接圆半径) (1)由(1)得:Sinα=a/2R,sinβ=b/2R,sinr=c/2R。     

一个角平分线不等式

引理1 若a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,则 1/wa+1/wb+1/wc=2/√3(1/a+1/b+1/c) △ABC为正三角形时取到等号.     

用三角法妙证欧拉不等式

本文先给出欧拉不等式:若三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则R≥2r.现给出一种三角证法.证明　设△ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S,外接圆半径为R,内切圆半径为r.由正弦定理得　a=2RsinA　b=2RsinB　c=2RsinC∴S=12absinC=2R2sinAsinBsinC=12r(a b c)=Rr(sinA sinB sinC)∴2Rr=sinA sinB sinCsinAsinBsinC(1)又∵sinA sinB sinC33≥sinAsinBsinC∴1sinAsinBsinC≥27(sinA sinB sinC)3(2)在△ABC中,∠A、∠B、∠C中至少有2个锐角,不妨设∠C为锐角,∵sinA sinB sinC sinπ3=2sinA B2cosA-B2 2sinC π32cosC-…     

一类三角形几何不等式的统一证法

我们知道 ,任何三角形都有一个内切圆 ,切点把三边分成两段 .根据切线长定理 ,可将三边分拆换元 ,即在△ABC中 ,a ,b ,c分别为其三边长 ,可设a =y +z ,b =x +z ,c =x + y (其中 ,x ,y ,z∈R+ )( 1)如此便可简捷地证明一些三角形不等式 .下面我们举例说明 :1　分拆换元后 ,运用算术—几何平均值不等式一些结构较复杂 ,直接运用均值不等式有困难的三角形几何不等式 ,依据 ( 1)式分拆换元后 ,却能容易利用算术—几何平均值不等式 .例 1　在△ABC中 ,a ,b,c分别为其边长 ,求证 :① (《数学通讯》 2 0 0 1.12 .数学问题 132 4 )a +bb +c -a+ b…     

一个三角形不等式的加强

文[1]提出并证明了如下: 定理△DEF是△ABC的外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,△BCD,△ACE,△ABF的内切圆半径分别为rA,rB,rC,则 (a/rA)+(b/rB)+(c/rC)≥6(√3).(1) 笔者要指出的是,不等式(1)可以加强为:     

关于三角形旁切圆半径的一个有趣性质

文[1]曾老师给出了三角形中关于角平分线的一个优美不等式,即定理1 a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,那么有1/(wa4)+1/(wb4)+1/(wc4)≥1/(a4+b4+c4) (1)文[2]安老师把不等式(1)加强为定理2 a,b,c是△ABC的三边,ma,mb,mc为△ABC的中线,那么有1/(ma4)+1/(mb4)+1/(mc4)≥16/(a4+b4+c4) (2)经笔者探究发现三角形旁切圆半径也有以上有趣性质.     

一道三角函数题的多解探究

<正>题目在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边长,且满足btanB=ctanC.(1)判断△ABC的形状,并说明理由;(2)若BD是边AC的中线,且BD=3^(1/2),求△ABC面积的最大值.这道题(1)的结论是b=c,△ABC为等腰三角形,本文主要探究(2)的解法.1通法通解立足基础分析面积公式S=1/2bcsinA是我们处理三角形面积问题的基本公式,用m表示可变量,计算出sinA,最终将面积表达为关于m的函数,研究该函数的最大值即可.     

垂足三角形的性质初探

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.如图,锐角△ABC,AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB,垂足分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为△、R、r和s,△DEF外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R1、r1和s1.设△AEF,△BDF,△CDE的面积分别为△A,△B,△C,外接圆半径、内切圆半径分别为RA,RB,RC、rA,rB,rC.     

形如(a~2)/(b~2)=c/d平几题的一种证法

大家都知道,相似三角形的面积之比等于相似比的平方.由此,对于证明形如a2/b2=c/d的平几题,我们可用凑相似三角形的方法分两步来处理:1°.找两个相似三角形△ABC和△A’B’C’,使a、b是它们的对应边,则有a2/b2=S△ABC/S△A’B’C’;     

三角形内切圆半径的一个性质

本文给出关于三角形的内切圆半径的一个新性质 .定理　若 D、E是△ ABC的 BC边上的图 1任意二内点 ,r1、r2 、r3 、r4、r5分别是△ ABD、△ ACE、△ ADE、△ ABE、△ ACD的内切圆半径 ,则　 r1r2=r3 - r4r3 - r5.为了证明该定理 ,我们首先给出一个引理 .引理 [1]　若 P为△ ABC的边 BC上的任一内点 ,h为边 BC上的高 ,r、r1、r2 分别为△ ABC、△ ABP、△ ACP的内切圆半径 ,则r =r1+ r2 - 2 r1r2h .(证明略 )下面给出本文定理的证明 .证明　如图 1 ,不妨设△ ABC的内切圆半径为 r,BC边上的高为 h,则由引理可得 :r =r1+ r5-…     

初中数学竞赛试题选讲(续完)

三、正弦定理和余弦定理的应用关于三角形边与角的等量及不等量的关系,三角形的形状以及几何量的计算等方面题,常用正弦定理、余弦定理及面积公式S=(1/2)absinC求解。例10 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且c为最大边如果accosA bccosB<4S,其中S为△ABC的面积,求证△ABC是锐角三角形, 因c是最大边,故∠C是最大角,所以只要能证明∠C是锐角,命题即得证,而为此又只要证明cosC>0即可。这就使我们想到从余弦定理入手解题。由余弦定理及三角形面积公式,题设不等     

一个三角形不等式猜想的否定

文[1]中,褚小光先生建立了一个涉及三角形中线和旁切圆半径的不等式:　　　　∑1m2a r2a≤92s2.(1)并且提出了如下猜想:　　　　∑1m2a r2a≥6∑a2.(2)其中a、b、c为△ABC的三边,ma、mb、mc,ra、rb、rc分别为三边上的中线和旁切圆半径,s为半周长.本文否定这一猜想,并得到定理　在非钝角三角形ABC中,有　　　　∑1m2a r2a≤6∑a2.(3)证明　根据三角形中线公式ma=122b2 2c2-a2,旁切圆半径公式ra=△s-a以及海伦公式△=s(s-a)(s-b)(s-c)(△为△ABC的面积),(3)式等价于　　　　∑a2 b2 c2m2a r2a-6≤0　∑(a2 b2 c2)-2(m2a r2a)m2a r2a≤0　…     

边长为等差数列的三角形的一组性质

98年高考试题 (理工 )第 2 0题为 :在△ ABC中 ,a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,设a c=2 b,A - C =π3,求 sin B的值 .此题的条件中出现有 a c=2 b,即三边成等差数列 .本文介绍三边成等差数列的三角形的一系列性质 .在△ ABC中 ,若 a c=2 b,则有(1 ) sin A - 2 sin B sin