二面角教学中值得探讨的一个问题

教材对二面角的平面角是这样定义的:“以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成角叫做二面角的平面角.”对于这个定义,众多的人认为是:当二面角α-l-β给定之后,定义规定的平面角大小是唯一确定的.与顶点在棱上的取法无关,如图1所示.笔者认为:这样的理解是不够深刻的.为什么要取射线OA、OB都垂直于棱?仅仅是为了保证平面角大小的唯一性吗?事实上,取射线OA、OB与棱l成任意定角θ1,θ2,θ1,θ2∈[0,2π],当二面角α-l-β确定之后,由等角定理容易证明,∠AOB的大小也是唯一确定的,如图2所示,…     

对三种空间角的统一认识

<正>二面角的平面角可以转化为两异面直线所成角(或补角),也可转化为线面角(或补角),三种空间角其实质是统一的.具体认识视角如下:(1)二面角α-l-β的平面角:在棱l上取一点O,然后在两个半平面内分别作过棱l上O点垂线OA、OB,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.     

二面角概念教学后的反思

二面角是立体几何中的一个重要内容,二面角的大小是通过二面角的平面角来度量的,以下是笔者一次在引进二面角的平面角的概念时的教学情境.这是一节公开课,内容为二面角,目的是理解有关概念,掌握二面角的初步求法.上课后,在多媒体的展示下,同学们很快理解了二面角的定义,接着开始引进二面角的平面角的概念.请同学们带着问题阅读课本:二面角的平面角指的是什么?为什么这样规定?通过阅读课本,同学们很快理解了.因为从二面角棱a上的任意的点O分别在α与β内作垂直于a的射线OA与OB时,射线OA与OB组成∠AOB大小与O在棱a上的位置无关,所以我们…     

一道立体几何题的两个拓展结果

题目:设α-l-β是锐二面角,点A∈α,点B∈β,直线AB与α、β所成的角分别是θ1和θ2,点A,B到棱l的距离分别是d1和d2,则d1:d2,等于()(A)cosθ1/cosθ2(B)cosθ2/cosθ1(C)sinθ1/sinθ2(D)sinθ2/sinθ1重新审视这道题会得到以下结论命题1设二面角α—l—β的平面角是θ,点A∈α,点B∈β,AB=a,直线AB与α、β所成的角分别是θ2和θ1,点A、B到棱l的距离分别     

二面角的平面角的教学体会

根据本人关于二面角的教学实践体会到,从引入二面角的平面角开始,到以后各阶段的应用习题课,由浅入深地逐步强化以下三个方面的内容,将会有利于克服这一教学难点。一剖析定义,紧扣基本概念教材中给出二面角的平面角的定义:“以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角”。在讲授定义概念课和应用习题课时,结合实例进行剖析,要使学生明确定义包含以下两点: 1.平面角的二边,即两条射线分别在两个面上与棱垂直(不妨简称为“垂边”)。正确作出或判断二“垂边”是作出平面角的关     

公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释

在直角坐标系内单位圆上设A (cosα ,sinα) ,B (cosβ ,sinβ)(其中α ,β∈R) ,则OA———→ =(cosα ,sinα) ,OB———→ =(cosβ ,sinβ) .又　 |OA———→| =|OB———→| =1,OA———→·OB———→ =cosαcosβ +sinαsinβ ,cos(α -β) =cos∠BOA =cos〈OA———→ ,OB———→〉 .而OA———→·OB———→ =|OA———→|·|OB———→|cos〈OA———→ ,OB———→〉=cos〈OA———→,OB———→〉=cos(α-β) ,∴　cos(α -β) =cosαcosβ +sinαsinβ .公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释$山…     

高考复习课堂实录

课题:二面角的求法适用年级:高三年级学期:2006-2007学年度第一学期要点提示以二面角棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做这个二面角的平面角．根．据二面角的定义,二面角有以下求法: 1．作棱的垂面．过棱上任意一点,作出棱的垂直平面,分别与两个面相交于两条射线,此两条射线所成的角即为所求二面角的平面角．若已知二面角的两个面是两个特殊的三角形(如以棱为公共底边的两个等腰三角形或全等三角形)．这时,可以选取棱上的特殊点,如公共底边的中心或公共底边上高的垂足,从特殊点出发根据定义作出二面角的平面角．     

一个计算二面角大小的公式

高中现行立体几何教材仅给出运用定义求二面角大小的一般方法,而未提供公式计算法。本文以向量为工具,得出一个计算二面角大小的有效公式,现介绍如下。公式如图1,从空间一点O引三条射线OA,OB,OC,在OC上任取点C,作CA⊥OC于C交OA于A,作CB⊥OC于C交OB于B,设(?),二面角A-OC-B的大小为α,则有 cosα=(cosθ-cosθ_1cosθ_2)/(sinθ_1sinθ_2)。证明如图1,由CA⊥OC,CB⊥OC知∠ACB为二面角A-OC-B的大小, ∴α=∠ACB=(?)。     

共点三线四角定理及其应用

自二面角棱上一点在两个半平面内各引一条射线，这两条射线间夹角、这两条射线与校的夹角以及二面角间有何关系呢？请看下面一个结论．定理（共点三线四角定理）若PAα平面α与β的交线为。α∩βB，两点证明如图1，过A作AH⊥PC于H，过H在β内作HB交PB于B，连AB．设PH＝a，则Rt△AHP中，AH＝在△AHB和△APB中，由余弦定理则由（1）、（2）两式马上推得．定理得证．为便于记忆，将此定理不妨称之谓“共点三线四角定理”，并默认∠APB为二面角α－lβ的对角，而∠APC与∠BPC为其两个邻角．该定理充分揭示了从二面角棱上一点在…     

未知棱的二面角的一种求法

求二面角的大小是立体几何的一个重点和难点 ,其关键在于作二面角的平面角 ,但在实际解题过程中 ,我们常会遇到未知二面角的棱 ,仅知二面角两个面的一个交点 ,而求二面角的大小的问题 ,通常需先作出二面角的棱 ,再找平面角 ,这就增加了作二面角的平面角的难度 .这里我们介绍一个定理 ,不须作二面角的棱而可直接作出平面角 .定理　如果有两条平行直线分别在二面角图 1的两个半平面内 ,过二面角棱上的一点 ,作它们的垂线 ,则两垂线所成的角即为二面角的平面角 .利用线面平行的判定及性质和二面角平面角的定义即可证明这个结论 .如图 1 :二面角…     

结合高考试题谈二面角及其平面角

二面角及其平面角是立体几何教学中的重点和难点．在立体几何中，两平面的位置关系主要是用它们所成的二面角来刻画的，而将二面角这个空间图形数量化，采用的是构造二面角的平面角的手法，使问题转化为平面几何问题来研究．二面角的平面角所在平面与二面角的棱垂直（线面...     

共线向量定理和共面向量定理的理解与教学

命题1 如果点O为空间任意一点，OP=αOA＋βOB（α，β∈R），其中α＋β=1是A，B，P三点共线的充分不必要条件．     

二面角的平面角的研究

<正>学习立体几何对培养同学们的逻辑思维能力和空间想象力有着不可替代的作用.然而在学习过程中,包括笔者在内的很多同学对二面角的平面角概念有些模糊,除了二面角的平面角唯一性之外,最值性也是它被用来度量二面角的重要原因.本文将使用数形结合的方法探讨二面角的平面角的最值性.我们在已知二面角的棱上取一点,过这一点在两个半平面上各引一条射线,它们的夹角     

再谈四面体的六棱求积公式

文[1],文[2],文[3]都是本刊陆续刊登的已知四面体六条棱的长求四面体体积的计算公式,可见此问题具有一定的研究价值,读完这一连串文章确实获益匪浅.笔者通过研究,借鉴这三篇文章的证明方法,得出已知四面体的六条棱求积的一个新公式.图1引理图引理在四面体SABC中∠CSB=α,∠CSA=β,∠BSA=γ,α1为二面角C SA B的平面角,则cosα1=cosα-cosβ·cosγsinβ·sinγ.证作CH⊥面ASB于H,CD⊥SA于D,连结DH并延长交SB于M,则∠CDM=α1为二面角C SA B的平面角.CD=SD·tanβ,CS=SD·secβ,DM=SD·tanγ,SM=SD·secγ.在△CSM与…     

“无棱”二面角的棱的定位

求二面角大小一直是高考的一个热点,其中“无棱”二面角问题,可以利用面积射影法或空间向量法求解,也可作平面角直接求解．对“无棱”二面角,由于没有给出公共棱,欲作平面角,其关键是先得作公共棱,这历来是同学们解题的难点．本文就二面角的棱的确定问题作些探讨．1找公共点定位特别地,当题目中已经给出二个半平面有一个公共点时,可再另找一个公共点,二点相     

二面角及其平面角

二面角及其平面角江苏省宝应县文教局教研室齐家谈江苏省宝应县西安丰中学乐金科【基本概念】二面角，就是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角的大小是用它的平面角来度量的．以二面角棱上任意一点为端...     

三面角的二面角和棱面角的计算及应用

立体几何中的角有平面角、二面角、三面角等 .在空间中 ,由自一点引出不在同一平面内的三条射线 ,以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形叫做三面角 .其中组成三面角的射线叫做三面角的棱 ;这些射线的公共端点叫做三面角的顶点 ;相邻两棱间的平面部分叫做三面角的面 ;每个面内由两条棱组成的角叫做三面角的面角 ;相邻两个面间的二面角叫做三面角的二面角 ;每条棱和相对的面所在平面所成的角叫做三面角的棱面角 .一个三面角有一个顶点、三条棱、三个面、三个面角、三个二面角和三个棱面角 .在三面角中 ,已知三个面角的大小 ,那么三个二面…     

求二面角的平面角的常用方法

二面角是立体几何三大角中难度最大的问题，学生往往因不能正确地作出平面角而使解题搁浅．本文通过一些典型的例题，概括总结出求二面角的平面角的十种常用方法，旨在共同提高解题能力．1应用三角形的性质利用等腰三角形的性质．当二面角是由共底边的两个等腰三角形所组成时，两等腰三角形的顶点与底边中点的连线垂直底边，所以这两条中线所成的角就是这个二面角的平面角．例1正三棱锥S—ABC的侧面与底面所成的二面角为α，相邻侧面所成的二面角为β，求证：分析在正三棱维S－ABC中，相邻两个侧面均为全等的等腰三角形，且所成的二面角…     

立体几何“二面角的平面角”的教学中：“三垂线定理法”的探讨

立体几何教学中有关二面角的大小的计算问题,是立体几何教学中的重点内容之一,也是难点之一.怎样准确而迅速的作出二面角的平面角,是解决问题的关键,如果只想到利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上任取一点作出二面角的平面角,往往会陷入困境,究其原     

二面角的平面角的基本构造法

空间的角是最基本的几何量之一.二面角的平面角是其中很重要的一类角,空间图形中点、线、面的位置关系常用它进行定量分析.它的构造是解题的关键所在.只有找到题目中二面角的平面角的恰当位置,才能搭起已知与未知之间的桥梁.因此,熟悉和掌握基本图形结构中各种二面角的平面角的构造方法,是同学们求解与二面角相关问题的必经之路.下文从二面角结构的“棱”和“半平面的垂线”入手,例谈三种二面角的平面角的基本构造方法.二面角的平面角的构造要符合准确性、可求性、易求性三原则.