a~2+b~2≥2ab的一点引伸

众所周知,不等式a~2+b~2≥2ab是一个应用广泛的重要不等式,由此容易推出以下两个不等式: a~2+b~2+c~2≥ab+bc+ca; a~2+b~2+c~2+d~2≥ab+bc+cd+da。进一步推广可得更一般的如下: 定理当a_1∈R (i=1,2,…,n)时,     

对一道选择题的深入思考

<正>老师在复习不等式时出了这样一道题,我立即进行了一下秒杀,但是老师也将了我一军,使我明白了学习数学要学会深入思考,才能获得更多的智慧.题目1已知a,b,c均为正数,ab=1,且a~2+b~2+c~2=4,则ab+bc+ac的最大值为( ).(A)1+22~(1/2)(B)3~(1/2)     

关于一个猜想的论证和深化

华东师大《数学教学》1989年第四期《由不等式a~2 b~2≥2ab想到的》一文命题19中提出如下的猜想: 命题如果a、b、c为正数,求证: 1°a~5 b~5 c~5≥a~3bc ab~2c abc~2; 2°a~     

华罗庚留给读者的两个不等式之初等证明

在文[1]中,华罗庚留给读者证明的两个不等式为:6(|ad-bc|)~(1/2)≤2(a~2+c~2)~(1/2)+(a~2+c~2+3(b~2+d~2)-2 3~(1/2)(ab+cd))~(1/2) +(a~2+c~2+3(b~2+d~2)+2 3~(1/2)(ab+cd))①16|ad-bc|~3≤(a~2+c~2){[a~2+c~2+3(~2+d~2)]~2-12(ab+cd)~2}②在文[2]中,该文作者通过构造引理:设x≥u≥0,则16(x-u)~(3/2)≤(1+3x)~2-12u证明了上述两个不等式.但遗憾的是,证明过程相当长,且需要     

一个代数恒等式及其应用

在证明三元重要不等式“若a,b,c> 0,那么a~3+b~3+c~3≥3abc”过程中,得到一个非常有用的代数恒等式:a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca),结合实例介绍其应用.     

一元二次方程有根“1”的条件的应用续例

本刊1984年第二期发表了《一元二次方程有根“1”的条件的应用》一文,本文再举数例加以补充说明, 一、利用“若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,则有a+b+c=0”的结论证题。例1、若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,求证:a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3证明:∵ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,∴a+b+c=0, 即有c=-(a+b)。∴a~3+b~3+c~3=a~3+b~3-(a+b)~3=-3a~2b-3ab~2=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc两边同除以abc得a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3。二、利用“若a+b+c=0,则方程ax~2+bx+c=0(a≠0)必有一根为1”的结论证题,     

加权Weitzenbck不等式的两个证明

设△ABC的三边与面积分别为a,b,c与△,则 a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)△, (1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。不等式(1)称为不等式。众所周知,它有以下加权推广(见[1]): 定理设△ABC的边长与面积分别为a,b,c,△,又x,y,z中至少有两个正数,且yz zx xy>0,则 xa~2 yb~2 zc~2≥4(yz zx xy△)~(1/2), (2)等号当且仅当a~2:b~2:c~2=(y z);(z x):(x y)时成立。关于不等式(1)的证明,已经有了很多证法。不等式(2)的证明却较少见,[1]中采用了解析法,但未完整地给出等号成立的确定过程。[2]中采用配方法证明了,对任意实数x,y,z有:     

一道课本习题的一个姊妹不等式及其应用

现行全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)P_(17)有这样一道不等式:对任意的实数a,b,c,d,都有(a~2+b~2)(c~2+d~2)≥(ac+bd)~2.等号当且仅当ad=bc时成立.通过对称性,我们容易联想到它的如下一个姊妹不等式.定理设a,b,x,y∈R,则有(a~2-b~2)(x~2-y~2)≤(ax-by)~2,当且仅当ay=bx时等号成立.     

一类条件不等式探源

文[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]分别介绍了下列不等式:若a,b>0且a+b=1则3/2<1/(a~3+1)+1/(b~3+1)≤(16)/9(1)若a,b,c>0且a+b+c=1则1/(1+a~2)+1/(1+b~2)+1/(1+c~2)≤(27)/(10)(2)     

一个有趣的代数式

a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+     

巧用一道课本习题解高考题

高中代数下册(必修)P.15第(6)题:ad≠bc,求证(x~2 b~2)(c~2 d~2)>(ac bd)~2,这是柯西不等式的一个特例,若ad=bc,则结论上可取“=”。 运用这个习题,可解答一批高考题,别具风格。 例1(90,全国)若实数(x,y)满足(x-2)~2 y~2=3,那么y/x的最大值是( ).     

注意椭圆参数方程{x=acosθ y=bsinθ}中参数θ的意义

题目 A、B为椭圆b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)上的两点,O为中心,OA⊥OB;求1/OA+1/OB的南的最大值和最小值。错解化椭圆的普通方程为参数方程x=acosθ y=bsinθ (θ为参数) 设A、B两点的坐标分别(acosθ_1,bs nθ_1),(cosθ_2,bsinθ_2)。由OA⊥OB得θ_2+θ_1±π/2,则B点坐标为(±asinθ_1,bcosθ_1)。可证 1/(OA)~2+1/(OB)~2=(a~2+b~2)/a~2b~2。则有 (1/OA)+(1/OP)~2=(a~2+b~2)/(a~2b~2)+2/(OA·OB) =(a~2+b~2)/(a~2b~2)+2/(a~2b~2+(a~2-b~2)/2))~2sn~2θ_1     

a~3 b~3 c~3-3abc的综合应用

在因式分解当中,有一个很重要的公式：a~3 b~3 c~3-3abc=(a b c)(a~2 b~2 c~2- ab-bc-ca)．在做一些复杂题时,往往能因为它而化难为易,化复杂为简单．它的特殊之处在于两点：①当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc．②当a b c≠0,a~3 b~3 c~3=3abc时,     

严格一道课本习题

教材数列中有这样一道习题:已知a~2,b~2,c~2成等差数列。求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。严格地说,这条命题不真,它忽略了|a|=|b|=|c|时,分式1/(b c)等可能无意义。弥补的办法是加以限制条件:(a b)(b c)(c a)≠0。这时,关于它的证明也严格了。 a~2、b~2、c~2成等差数列(?)b~2-a~2=c~2-b~2 (?)(b-a)(b a)=(c-b)(c b)(其中a b,c d(?)0)(?)(b-a)/(b c)=(c-b)/(b a)①有1/(c a)-1/(b c)=1/(c a)·1/(b c)     

柯西不等式在几何上求极值的应用几例

高中课本代数下册习题十五,第6题“已知ad≠bc,求证 (a~2+b~2)(c~2+d~2)>(ac+bd)~2. 这是二维的柯西(Cauchy 1789—1857法)不等式当“>”成立时的情况,其完整的是     

高中代数的一个命题的推广及其应用

高中代数第二册112页第2题为; 设a≠b,比较代数式(a~4+b~4)·(a~2+b~2)与(a~2+b~2)~2的大小。运用比较法,作差,很容易得出结论:(a~4+b~4)·(a~2+b~2)>(a~2+b~2)~2,若将此不等式条件限制为a、b∈R~+,则又可得不等式:(a~4+b~4)/(a~2+b~2)>(a~2+b~2)/(a~2+b~2),由这个整齐、和谐的不等式,     

如何求代数式的值

本文以全国各地初中数学竞赛题为例,阐明一些求代数式值的基本方法。一、根据条件和结论之间的联系求值例 1 设a-b=2 ~3(1/2),b-c=2-3~(1/2),求a~2 b~2 c~2-ab-bc-ac的值(85年全国初中联赛)。分析:由题设a-b=2 ~3(1/3),b-c=2-3~(3);可得a-c=4.由上可得a~2 b~2-2ab=7 4~(1/2);b~2 c~2-2bc=7-4~3(1/2) ;a~2 c~2-2ac=16. 上述三式相加得a~2 b~2 c~2-ab-bc-ac=15. 紧紧抓住题设与结论之间的内在联系进行转化是求有条件的代数式的值的基本方法。也是解数学题的基本思维方法之一。     

一道北大强基题的解法探究

<正>1试题呈现(2021年北京大学强基计划试题第3题)若实数a,b,c,d满足ab+bc+cd+da=2,则a2+2b2+3c2+4d2的最小值为____.2解法探究思路一将条件式变形,目标式的项两两结合搭配,然后"配凑"系数,运用柯西不等式,再运用二元均值不等式求得结论.     

由两数差的平方公式引伸出来的一些重要不等式——中学数学课外活动资料

初中学生即知(a-b)~2=a~2-2ab b~2,且(a-b)~2≥0(a、b为实数),从而得出 ab≤(a~2 b~2)/2很多重要的不等式,都可由(A)得出。 在(A)中令a=x~(1/2)(x>0),b=y~(1/2)(y>0),得     

函数y=（ax＋b）／（cx＋d）与函数y=k／x同形问题

大家知道函数y=(ax b)/(cx d)(c≠0，bc—ad≠0)的图象可由函数y=k/x(k≠0)经过平移而得到(称为同形)．根据函数y=k/x(k≠0)的表达式，我们能很快地知道该函数的图象及性质，那么是否可以根据函数y=(ax b)/(cx d)(c≠0，bc-ad≠0)的表达式也能判断函数的图象和性质呢?答案是肯定的，以下给出函数y=(ax b)/(cx d)(c≠0，bc-ad≠0)图象和性质的判断方法．