一个有趣的代数式

a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+     

a~3 b~3 c~3-3abc的综合应用

在因式分解当中,有一个很重要的公式：a~3 b~3 c~3-3abc=(a b c)(a~2 b~2 c~2- ab-bc-ca)．在做一些复杂题时,往往能因为它而化难为易,化复杂为简单．它的特殊之处在于两点：①当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc．②当a b c≠0,a~3 b~3 c~3=3abc时,     

应用a~3 b~3 c~3=3abc解题

常见到三数和为零,求三数立方和的问题。这时应用若a b c=0,则a~3 b~3 c~3=3abc解题非常精炼。下举几例。例1 若a b c=0,a~3 b~3 C~3=0,求a~(1991) b~(1991) c~(1991)的值。解∵a b c=0, ∴a~3 b~3 c~3=3abc=0, ∴a、b、c中有一个为零,另两个互为相反     

一元二次方程有根“1”的条件的应用续例

本刊1984年第二期发表了《一元二次方程有根“1”的条件的应用》一文,本文再举数例加以补充说明, 一、利用“若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,则有a+b+c=0”的结论证题。例1、若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,求证:a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3证明:∵ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,∴a+b+c=0, 即有c=-(a+b)。∴a~3+b~3+c~3=a~3+b~3-(a+b)~3=-3a~2b-3ab~2=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc两边同除以abc得a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3。二、利用“若a+b+c=0,则方程ax~2+bx+c=0(a≠0)必有一根为1”的结论证题,     

两道相关的竞赛题

<正>赛题1 (第20届伊朗奥林匹克竞赛试题)已知正数a,b,c满足a~2+b~2+c~2+abc=4,求证:a+b+c≤3.赛题2 (2011年全国高中数学联赛B卷加试题三)设实数a,b,c≥1,且满足abc+2a~2+2b~2+2c~2+ca-cb-4a+4b-c=28,求a+b+c的最大值.这是两道相关的竞赛题.下面给出它们的简洁解法并做了条件与结论的优化.1相关证明     

用 a+b/2≥a~(1/2)证明 a+b+c/3bc~(1/3)

高中代数教材在证明平均值不等式a+b/2≥ab~(1/2)和a+b+c/3≥(abc)~(1/3)时,各自采用了独立的证法。我们为强调基础知识的作用,采用二元平均不等式证明三元平均不等式的方法。设a,b,c∈R~+,求证a~3+b~3+c~3≥3abc.     

三角形不等式研究的等价约化法

本文以三角形不等式 a~2(b+c-a)+b~2(c+a-b)+c~2(a+b-c)≤3abc ①(a,b,c为△ABC三边)的证明及种种等价变形为例,探索等价约化法的规律,并研究相关不     

两道江苏高考附加题别解

本文给出两道2008年江苏高考附加题的别解,供赏析。题1设a,b,c为正实数,求证: 1/a~3+1/b~3+1/c~3+abc≥2 3~(1/2)。别解因为a,b,c为正实数,     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题整式乘法适用年级初中一年级学期 2005～2006学年度第二学期训练目的 1．熟练掌握整式乘法的法则及乘法公式。 2．灵活运用整式乘法公式求值。典型范例由a b c=6,a~2 b~2 c~2=14, a~3 b~3 c~3=36, 求abc的值。分析由已知条件,可知     

一个新的加强的不等式——一道国际竞赛题的推广

第六届IMO第2题,是一道耐人寻味的问题,即证明a~2(b+c-a)+b~2(c+a-b)+c~2(a+b—c)≤3abc.原题还要求a、b、C能构成一个三角形,而事实上条件还可以放宽,即只需a、b、c≥0即可.现在当然还看不出它有何奥妙之处,田延彦把这个不等式转化为一个完全等价的形式:     

一类条件不等式探源

文[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]分别介绍了下列不等式:若a,b>0且a+b=1则3/2<1/(a~3+1)+1/(b~3+1)≤(16)/9(1)若a,b,c>0且a+b+c=1则1/(1+a~2)+1/(1+b~2)+1/(1+c~2)≤(27)/(10)(2)     

问题与解答

一、本期问题 1.若c+b+c=0,a~2+b~2+c~2=0,a~3+b~3+c~3=k,求a~4+b~4+c~4的值;设n为正整数,求a~n+b~n+c~n的值。 2.设x+y+z=0,ax+by+cz=0(其中a、b、c是两两互异的实数),求x~2/yz的值。 3.设n为任意正奇数,m为任意整数,试证明(n+2m)~2-(n+2m)是24的倍数。 4.设正数A、B、C的常用对数分别是a、b、c,且a+b+c=0,证明A~(1/b+1/a)B~(1/a+1/a)C~(1/a+1/b)=1/1000。江苏吴江平望镇五金文具店顾幼元提供 5.已知x+1/y=y+1/z=z+1/x,求证x~2y~2z~2=1。     

一堂课的启示

江苏新海连市新海中学1982年高考中,有一班(49人)获得数学100分以上的有33人,且全班平均分数达到98.2分,这样好的成绩的取得并非偶然,从我在该校听到的一堂数学课,看看他们是如何提高课堂教学质量的情况,供参考。课题:行列式的应用。内容一、复习行列式性质及有关概念。二、应用举例。例1.应用行列式性质分解因式:a~3+b~3+c~3-3abc。(由学生考虑回答a~3+b~3+c~3-3abc是哪个行列式的展开式?) 解:a~3+b~3+C~3-3abc=     

格菲德构图的应用

美国总统格菲德利用一个构图,巧妙地证明了勾股定理。这个构图是这样的:将一个直角梯形划分成三个直角三角形,通过面积关系去证明问题。如图,是三个直角三角形拼成的一个直角梯形,其边长如图所示。∵S梯形=1/2(a+b)(a+b) S_△ABC=1/2ab=S△ADE,S△ABE=1/2c~2 ∴1/2(a+b)(a十b)2×1/2ab+1/2c~2 a~2+b~2=c~2。利用这个构图,我们同样可以巧妙地证明一些代数和三角的有关问题。例1 已知:a、b、c、d∈R~+,且a~2+b~2=1,c~2+d~2=1,     

构造二次函数求最值及配方法

这是美国第七届中学生数学竞赛中的一题:已知a、b、c、d、e是满足a b c d e=8,a~2 b~2 c~2 d~2 e~2=16的实数。试确定e的最大值。解法1 构造二次函数 f(x)=4x~2 2(a b c d)x (a~2 b~2 c~2 d~2) (x a)~2 (x b)~2 (x c)~2 (x d)~2≥0 又二次项系数4>0,所以有判别式△=4(a b c d)~2-16(a~2 b~2 c~2 d~2)≤0 又a b c d=8-e,a~2 b~2 c~2 d~2=16-e~2,故有(8-e)~2-4(16-e~2)≤0。解得0≤e≤16/5,故e的最大值为16/5。解法2 (a-b)~2≥0(?)a~2 b~2≥2ab 同理有a~2 cb~2≥2ac,a~2 d~2≥2ad,b~2     

构造同向不等式的和(积)证明不等式

构造同向不等式的和与同向不等式的积证明不等式,它是由局部到整体,由简单到复杂的证明方法。这种方法是学生易于接受的解题通法。 1 构造同向不等式的和证明不等式例1 已知:a、b、c∈R~-,求证:a~3+b~3+c~3≥3abc 这是课本中的一个定理,用作差比较法证明,其     

计算机自动生成数学命题——以三元均值不等式的加强为例

<正>数学命题是数学研究的重要部分.如果没有好的题目源源不断地“生产”出来,解题研究也难以持续发展.然而,发现一个好的命题并不容易.设a,b,c为正数(下同),求证:a~3+b~3+c~3≥3abc+a (b-c)~2+b (c-a)~2+c (a-b)~2.这是华东师范大学《数学教学》(1985年第三期)上的一题.供题人冷岗松教授在《数学竞赛试题的若干命题策略》中讲述此题的发现经历.他给学生讲解瑞典1983年试题abc≥(-a+b+c)·(a+b-c)(a-b+c)时,一个学生采取“暴力展开”,于是有了发现.     

《“1984”趣题》的习题解答

1 证明∵(1·2·3…1984)~(1/1984)<1/1984 sum from k=1 to 1984 k=1/1984·(1984(1+1984))/2=1985/2, 上式两边1984次方,得 1984!<1985~(1984)·2~(-1984) 2 解∵ 1985能被5整除。又 1984~(1984)=(1985-1)~(1984)=1985~(1984)-C_(1984)~1·1985~(1983)+C_(1984)~2·1985~(198)~2+…-C_(1984)~(1983)·1985+1 ∴ 1984~(1984)除以5所得的余数是1。 3 证明由题设,得 l~2=a~2+b~2+c~2 且l>a l>b,l>c。∴l~(1984)=l~2、l~(1982)=(a~2+b~2+c~2)l~(1982)=a~2l~(1982)+b~2·l~(1982)+c~(2·1982)≥a~2·a~(1982)+b~2b~(1982)+c~2·c~(1982)=a~(1984)+b~(1984)+c~(1984) 4.证(k≥1)     

一个不等式的多种证法及推广

当且仅当a=6=c=1/3时取等号。(以下各种证法中取等号的条件不再赘述) 证2 (均值法)由a~2+b~2+c~2≥(a+b+c)~2/3=1/3 证3 (均值法)以等号成立条件入手。     

严格一道课本习题

教材数列中有这样一道习题:已知a~2,b~2,c~2成等差数列。求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。严格地说,这条命题不真,它忽略了|a|=|b|=|c|时,分式1/(b c)等可能无意义。弥补的办法是加以限制条件:(a b)(b c)(c a)≠0。这时,关于它的证明也严格了。 a~2、b~2、c~2成等差数列(?)b~2-a~2=c~2-b~2 (?)(b-a)(b a)=(c-b)(c b)(其中a b,c d(?)0)(?)(b-a)/(b c)=(c-b)/(b a)①有1/(c a)-1/(b c)=1/(c a)·1/(b c)