一个等价的萊布尼茲定理

§1.设函数f(x),g(x)在区间ι上高阶可微,则下列恆等式成立: f′g十fg′=(fg)′, f″g十fg″=(fg)″-2(f′g′), f′″g+fg″′=(fg)″′-3(f′g′)′, f″″g+fg″″=(fg)″″-4(f′g′)″+2(f″g″),它们之间有关系 f~(n)g+fg~(n)=(f~(n-1)g+fg~(n-1))′--(f~(n-1)g′+f′g~(n-1))。§2.现在我们规定 f~(n)g+fg~(n)=A_0(fg~(n)+A_1(f′g′)~(n-2)+…++A_[n/2]~(f~([n/2])g~([n/2]))(n-2([n/2])),其中高斯记号[n/2]表示不超过n/2的最大正整数。由于未定系数A_0,A_1,…,A_[n/2]的数值函数f(x),g(x)无关,不妨选取 f(x)=e~(ax),g(x)=e~(bx),就有 f~(n)g+fg~(n)=(a~n+b~n)e~((a+b)x),以及 (f~(ι)g~(ι))~((n-2ι))=(a+b)~(n-2ι)(ab)~ιe~((a+b)x)(ι=1,2,…,[n/2])。代入规定的等式中,两边约去公因子e~((a+b)x)以后,立刻得到     

具有共振的边值问题解的存在性

利用Mawhin的重合度理论,研究具有共振的n-阶m-点边值问题x~((n))(t)=f(t,x(t),x′(t),…,x~((n-1))(t)),t∈(0,1)x(0)=x(η),x′(0)=x″(0)=…=x~((n-2))(0)=0,x~((n-1))(1)=α_ix~((n-1))(ξ_i)解的存在性,其中n≥2,m≥3,f:[0,1]×R~n→R将有界集映为有界集,且当x(t)∈C~(n-1)[0,1]时,f(t,x(t),x′(t),…,x~((n-1))(t))∈L~1[0,1],0<ξ_1<ξ_2<…<ξ_(m-2)<1,0<η<1,α_i∈R.在这里并不要求f具有连续性.     

积分中值定理中ξ值的渐近性

本文给出当b→a时积分的第一中值定理integral from a to b f(x)dx=f(ξ)(b—a)的中值ξ的性态。即当f’(a)≠0时有而当f′(a)=f″(a)=…=f~(n-1)(a)=0,F~(n)(a)≠0时有积分第一中值定理推广形式integral from a to b f(x)g(x)dx=f(ξ) integral from a to b g(x)dx的中值ξ也具有类似的性态。     

正項級数判斂的一个方法

定理.設所考虑的級数有下面的形式: sum from n=0 to ∞ a_n=sum from n=0 to ∞ f(n),a>0,(A)其中f(n)是当x=n时,由某一函数f(x)所确定的值。假設1)当x>c时(c为常数),f(x)連續且有直到m阶的有限导数。2) (?) f(x)=(?) f′(x)=…=(?) f~(m-1)(x)=0。可用对函数f(x)逐次微分的方法来判別級数(A)是收斂或发散的。即,如果对m次导数f(m)(x),存在一冪函数x~(a m)(a>0)使得 lim x~(a m)f~(m)(x)=K (0≤|K|≤ ∞)。(B)那末1) 当a>1,|K|< ∞时,級数(A)收斂;2) 当a≤1,|K|>0时,級数(A)发散。证.对f(x)和1/x~(a m)之比应用洛毕达法则m次,并注意(B)式: 因此也有     

Fixpoints of Iterates and Quasinormal Families

Let A, B be two sets and f:A→B a map. The iterates f~n: A_n→B,n=1,2,…aredefined inductively by A_1=A, f~1=f and A_1=f~(-1)(A_(n-1)∩B), f~n=f~(n-1)(f) for n≥2.Note that A_2=f~(-1)(A_1∩B)A=A_1 and thus A_n A_(n-1) A for n≥2. A point x∈A is called a periodic point of period n of f if x∈A_n and f~n(x)=x, butf_j(x)≠x for any j less than n. A periodic point of period 1 is called a fixpoint. Then a periodic     

ON SIMULTANEOUS APPROXIMATION TO A DIFFERENTIABLE FUNCTION AND ITS DERIVATIVE BY INVERSE PAL-TYPE INTERPOLATION POLYNOMIALS

Let ξn-1<ξn-2 <ξn-2 <… < ξ1 be the zeros of the the (n -1)-th Legendre polynomial Pn-1(x) and - 1 = xn < xn-1 <… < x1 = 1 the zeros of the polynomial W n(x) =- n(n - 1) Pn-1(t)dt = (1 -x2)P'n-1(x). By the theory of the inverse Pal-Type interpolation, for a function f(x) ∈ C[-1 1], there exists a unique polynomial Rn(x) of degree 2n - 2 (if n is even) satisfying conditions Rn(f,ξk) = f(∈ek)(1≤ k≤ n - 1) ;R'n(f,xk) = f'(xk)(1≤ k≤ n). This paper discusses the simultaneous approximation to a differentiable function f by inverse Pal-Type interpolation polynomial {Rn(f,x)} (n is even) and the main result of this paper is that if f ∈ C'[1,1], r≥2, n≥ + 2> and n is even thenholds uniformly for all x ∈ [- 1,1], where h(x) = 1 +     

On simultaneous approximation by lagrange interpolating polynomials

This paper considers to replace △_m(x)=(1-x~2)~2(1/2)/n +1/n~2 in the following result for simultaneousLagrange interpolating approximation with (1-x~2)~2(1/2)/n: Let f∈C_(-1.1)~0 and r=[(q+2)/2],then|f~(k)(x)-P_~(k)(f,x)|=O(1)△_(n)~(a-k)(x)ω(f~(a),△(x))(‖L_n-‖+‖L_n‖),0≤k≤q,where P_n( f ,x)is the Lagrange interpolating polynomial of degree n+ 2r-1 of f on the nodes X_nU Y_n(see the definition of the text), and thus give a problem raised in [XiZh] a complete answer.     

从(x±1)(x~2±x+1)=x~3±1谈起

乘法公式中有 (x+1)(x~2-x+1)=x~3+1,(x-1)(x~2+x+1)=x~3-1。等式两边互换,就得到因式分解 x~3+1=(x+1)(x~2-x+1),x~3-1=(x-1)(x~2+x+1)。进而有 x~4+1=(x+1)(x~3-x~2+x-1),x~4-1=(x-1)(x~3+x~2+x+1)。推广这些公式,可以得到定理1 (1)对任意正整数n,有 x~n-1=(x-1)(x~(n-1)+x~(n-2)+…+x+1)     

几何级数及其某些应用

在几何级数1/(1-x)=1+x+x~2+…+x~(n-1)+…(-1相似文献   

一类共振条件下的高阶p-Laplacian算子多点边值问题

主要讨论了下列n阶带p-Laplacian算子多点边值问题在共振条件下解的存在性.(Φp(x(n-1)))′+f(t,x,x′,…,x(n-2))=0,0相似文献   

多项式函数奇偶性定理的证明和应用

在解题中,我们往往不自觉地应用了下面关于多项式函数奇偶性的定理: 定理多项式函数f(x)为奇函数(或偶函数)的充要条件是f(x)只含奇次项(或偶次项)。这个定理由于教材上未作介绍,而在解决这方面的问题时又经常用到,为此,笔者将此定理的证明写出,供参考。证明充分性是显然的。下证必要性。若f(x)为奇函数,即有f(x)=-f(-x)。我们写出多项式函数的一般形式,就有a_n(-x)~n+a_(n-1)(-x)~(n-1)+…+a_1(-x)+a。=a_nx~n-a_(n-1)x~(n-1)-…-a_1x-a (1) 若n为偶数,则有 2a_nx~n+2a_(n-2)a(n-2)+…+2a_2x~2+2a_o=0从而 a_n=0,a_(m-2)=0,…,a_2=0,a_0=0。     

On the Approximation of Combination of Linear Operators

Let f(x)∈C_(2π).For Valle-Poussin integrals V_n(f,x)=(2n)!! 1(2n-1)!! 2πintegral grom -πto π(f(x 1)cos~(2n)t/2 dt), Z.Ditzian and G.Freud considered the approximation of their combination writingV_(n,1)(f,x)=2V_(2n-1)(f,x)-V_(n-1)(f,x),V_(n,2)(f,x)=8/3V_(4n-1)(f,x)-2V_(2n-1)(f,x) 1/3V_(n-1)(f,x), they proved that V_(n,1)(f,x)-f(x)=O(ω_4(f,1/n~(1/2))), V_(n,2)(f,x)-f(x)=O(ω_6(f,1/n(1/2))) In this paper, using the asymptotic expansions of linear operators with many terms,we generalize the above result to the case of eombination of m terms, where mis an arbtirary positive integer.     

奇异(k,n-k)多点边值问题的正解

应用不动点指数理论,在与相应线性算子本征值有关的条件下,得到了高阶(k, n-k)多点边值问题(-1)n-kφ(n)(x)=h(x)f(φ(x)),0相似文献   

线性微分算子确定的函数类的N宽度的强渐近值

首先我们引入在本文中使用的记号.设有线性微分形式 L(D)f=[D~n P_1(x)D~(n-1) P_2(x)D~(n-2) … P_n(x)]f,P_i(x)∈C~(n-i)[0,1],i=1, 2…. D=(d/dx)由它确定一个函数类 D_(n,p)(L)={f:f~(n-1)(x)在[0,1]上绝对连续,||L(D)f||p≤1}.记L~p[0,1]空间单位球为     

Edrei 和 Fuchs 亏量椭圆定理的推广

设 f 是由以下不可约方程所定义的 n 值代数体函数:ψ(z,f)≡A_0(z)f~n+A_1(z)f~(n-1)+…+A_(n-1)(z)f+A_n(z)=0,(1)这里,A_0(z),A_1(z),…,A_n(z)是没有公共零点的整函数,设 f_1,f_2,…,f_n 是 f 的 n 个分支,称     

退缩椭圆型方程的边值问题

<正> 在 R~n 的有界凸区域Ω上考虑椭圆型方程Lu≡sum from i,j=1 to n (a_(ij)(x)u_(xi)_(xj)+sum from i=1 to n b_i(x)u_i+c(x)u=f(x),(1)设对 x∈(?)及所有的实数组(ξ_1,ξ_2,…,ξ_n)sum from i,j=1 to n a_(ij)(x)ξ_iξ_j≥λ(x)sum from i=1 to n ξ_i~2≥0,a_(ji)(x)∈C(?),即算子 L(u)可能退缩而为退缩椭圆型算子。记(?)的边界为∑,∑上满足 sum from ij=1 to n a_(ij)n_in_j=0的点集为∑_0,(n_1,…,n_n)表示∑上的内单位法向量,∑_3=∑\∑_0,设其 n-1维测度非零,则对方程(1)可提如下的边值问题:     

微积分中的两个问题

由于f(x)在(-∞,+∞)上是可微的,且,f~1(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)(x≠0),所以对任意的x,在区间[0,x]或[x,0]上,f(x)都满足拉格朗日中值定理的条件,因此,在0与x之间至少存在一点ξ,使得:     

国外试题选登

<正> (苏)(1)求极限(2)设x>0时,f(x)=(1+x)~(1/(?)),证明当x→0~+时,f(x)-e+Ax+Bx~2+o(x~2),并求A、B两常数. (3)证明不等式(sinx)~(-2)≤x~(-2)+1-(4/(π~2))x∈(0,(π/2)).     

关于一个积分不等式的一些注记

Given two positive constantsαandβ,we prove that the integral inequality∫_0~1 f~(α+β)(x)dx≥∫_0~1 f~α(x)x~βdx holds for all non-negative valued continuous functions f satisfying∫_x~1 f(t)dt≥∫_x~1 tdt for x∈[0,1]if and only ifα+β≥1.This solves an open problem proposed recently by Ngo,Thang,Dat,and Tuan.     

线性微分方程整函数解的Julia集的径向分布

研究了线性微分方程f~((n))+A_(n-2)f~((n-2))+…+A_0(z)f=0整函数解的Julia集的径向分布,其中n≥2,A_j(z)(j=0,1,…,n-2)是具有有限下级的整函数,得到了这类方程线性无关解的乘积的Julia集的径向分布的下界.