FD-PINN:频域物理信息神经网络

物理信息神经网络(physics-informed neural network, PINN)是将模型方程编码到神经网络中,使网络在逼近定解条件或观测数据的同时最小化方程残差,实现偏微分方程求解.该方法虽然具有无需网格划分、易于融合观测数据等优势,但目前仍存在训练成本高、求解精度低等局限性.文章提出频域物理信息神经网络(frequency domain physics-informed neural network, FD-PINN),通过从周期性空间维度对偏微分方程进行离散傅里叶变换,偏微分方程被退化为用于约束FD-PINN的频域中维度更低的微分方程组,该方程组内各方程不仅具有更少的自变量,并且求解难度更低.因此,与使用原始偏微分方程作为约束的经典PINN相比, FD-PINN实现了输入样本数目和优化难度的降低,能够在降低训练成本的同时提升求解精度.热传导方程、速度势方程和Burgers方程的求解结果表明, FD-PINN普遍将求解误差降低1～2个数量级,同时也将训练效率提升6～20倍.     

基于神经算子与类物理信息神经网络智能求解新进展

深度学习通过多层神经网络对数据进行学习,不仅能揭示潜藏信息,还能很好地解决复杂非线性问题.偏微分方程(PDE)是描述自然界中许多物理现象的基本数学模型.两者的碰撞与融合,产生了基于深度学习的PDE智能求解方法,它具有高效、灵活和通用等优点.文章聚焦PDE智能求解方法,以是否求解单一问题为判定依据,把求解方法分为两类:神经算子方法和类物理信息神经网络(PINN)方法,其中神经算子方法用于求解一类具有相同数学特征的PDE问题,类PINN方法用于求解单一问题.对于神经算子方法,从数据驱动和物理约束两个方面展开介绍,分析研究现状并指出现有方法的不足.对于类PINN方法,首先介绍了基础PINN的3种改进方法 (基于数据优化、基于模型优化和基于领域知识优化),然后详细介绍了基于物理驱动的两类解决方案:基于传统PDE离散方程的智能求解方案和无网格的非离散求解方案.最后总结技术路线,探讨现有研究存在的不足,给出可行的研究方案.最后,简要介绍智能求解程序发展现状,并对未来研究方向给出建议.     

基于物理信息的神经网络求解曲面上对流扩散方程

引入基于物理信息的神经网络PINNs(Physics-informed Neural Networks)并将其用于求解曲面对流扩散方程。区别于传统的神经网络模型,PINNs在建立模型过程中引入了自动微分技术,并将物理信息即偏微分方程信息编译其中,通过定义损失函数得到关于该模型中神经网络参数即权重和偏置的优化目标,随后利用已有的优化算法进行求解。显而易见,PINNs通过添加额外的物理信息约束放宽了对于数据量的要求,对于一个确定性模型显示出更好的鲁棒性。本文基于曲面微分算子与欧氏空间下标准微分算子的解析关系,引入两种曲面微分算子处理技术,即非本征技术和嵌入技术,并结合PINNs针对定义在高维复杂曲面上的对流扩散方程进行求解,多个数值算例证明了该方法的有效性、鲁棒性以及其在求解此类问题的潜力。     

基于物理信息神经网络的薄壁结构屈曲分析

基于物理信息神经网络(PINN)建立了一种求解薄壁结构屈曲非线性控制方程组的方法.薄壁结构的非线性控制方程可由挠度和应力函数表示成复杂的4阶非线性偏微分方程组,使用物理信息神经网络(PINN)解法可以克服传统数值方法对求解域网格的依赖性.文中建立的神经网络模型根据基于加权的均方误差的损失函数更新网络参数,并用弧长法迭代的思想进行外层迭代控制以应对屈曲问题的迭代特性.将弧长法,硬边界条件,基于预训练的权重调整策略,以及自适应激活函数策略融合进网络优化的过程中使得PINN能够更为高效地求解线性与非线性屈曲问题.文章对两种典型的薄壁结构进行了屈曲模态和带有缺陷的非线性后屈曲问题求解,并将神经网络获得的解和有限元结果进行了对比.结果分析表明,物理信息神经网络方法能够在不需要标签数据的前提下对薄壁结构的屈曲问题进行有效分析,并且给予的额外标签数据能够提高此方法的求解效率.该方法虽较成熟的有限元解法收敛速度较慢,但不需要对求解域进行人为的前处理,有一定工程应用可行性.     

基于龙格库塔法的多输出物理信息神经网络模型

物理信息神经网络(physics-informed neural networks, PINN)由于嵌入了物理先验知识,可以在少量训练数据的情况下获得自动满足物理约束的代理模型,受到了智能科学计算领域的广泛关注.但是, PINN的离散时间模型(PINN-RK)无法同时近似多个物理量相互耦合的偏微分方程系统,限制了其处理复杂多物理场的能力.为了打破这一限制,文章提出了一种基于龙格库塔法的多输出物理信息神经网络(multi-output physics-informed neural networks based on the Runge-Kutta method, MO-PINN-RK), MO-PINN-RK模型在离散时间模型的基础上采用了并行输出的神经网络结构,通过将神经网络划分为多个子网络,建立了多个神经网络输出层.采用不同输出层近似不同物理量的方式, MO-PINN-RK模型不仅可以同时表征多个物理量,而且还能够实现求解偏微分方程系统的目的.另外, MO-PINN-RK克服了PINN离散时间模型仅适用于一维空间的局限性,将其应用范围扩展到了更为普遍的多维空间.为了验证MO-PIN...     

物理驱动深度学习波动数值模拟方法及应用

近年来,物理先验融合数据的深度学习方法求解以偏微分方程为理论基础的正反演问题已成为交叉学科热点.针对地震工程波动数值模拟,本文阐明了物理驱动深度学习方法 PINN的数学概念及实现方式,以无源项一维波动为例,开展了相关理论模型构建,并与解析解及有限差分方法进行对比,分析了PINN方法与其他数值算法模拟波场的相对范数误差,验证了物理驱动深度学习方法求解波动问题的可行性.采用物理驱动深度学习方法并结合谱元法形成的稀疏初始波场数据,开展了二维波动数值模拟,实现了自由边界条件及起伏地表等典型工况的模拟,并给出了时序波场分布特性.更换不同的初始条件,测试了神经网络的泛化精度,提出可显著提高网络训练效率的迁移学习方法.通过与谱元法的结果对比,验证了本文方法模拟均质场地、空间不均匀及复杂地形场地波动问题的可靠性.结果表明,物理驱动深度学习方法具备无网格、精细化模拟等优势,并可实现自由地表及侧边界波场透射等数值模拟条件.     

基于物理信息的深度学习求解矩形薄板力学正反问题

建立基于物理信息的神经网络框架,利用深度学习求解矩形薄板力学正反问题.力学正问题为已知矩形薄板的基本参数、边界条件和受力情况,求薄板各点挠度;反问题为已知薄板部分点的挠度、基本参数和受力情况等,识别边界条件.基于物理信息的神经网络模型中,损失函数除基于数据驱动模型的挠度数据拟合部分以外,还引入薄板弯曲基本方程和应力应变...     

弹塑性接触问题神经网络计算模型

利用神经网络优化计算原理,引入LPNN(Lagrange Programming Neural Network)模型求解弹塑性摩擦接触问题,提高了神经网络计算精度。通过采用非线性函数作为神经元的传递函数,使神经网络的非线性问题同力学的非线性问题得到统一。最后对两个简单的弹塑性接触问题进行了数值仿真,验证了算法可行有效。     

基于特征正交分解的一类瞬态非线性热传导问题的新型快速分析方法

提出了一种基于特征正交分解(POD)和有限元法的瞬态非线性热传导问题的模型降阶快速分析方法, 建立了导热系数随温度变化的一类瞬态非线性热传导问题有限元格式的POD降阶模型. 在隐式时间推进方法的基础上有效结合单元预转换方法和多级线性化方法发展了一种加速求解瞬态非线性热传导降阶模型的新型计算方法,并通过二维和三维算例验证了该方法的准确性和高效性. 研究结果表明: (1)降阶模型解的均方根误差在经过初始时段轻微的脉动后稳定于0.01%以下, 而其计算效率比有限元全阶模型提高2$\sim $3个数量级, 并且自由度数量(DOFs)愈大提高的幅度也愈加显著; (2)新型算法解决了常规算法在计算非线性降阶模型时加速性能差的问题, 即使是在DOFs比较小的时候也能够明显提高计算效率; (3)常数边界条件下得到的POD模态可以用来建立相同求解域在各种复杂时变边界条件下的瞬态非线性热传导降阶模型, 并对其传热过程和温度场进行快速准确的分析与预测, 具有很好的工程应用价值.      

瞬态热传导问题的精细积分数值流形方法研究

数值流形方法(NMM)因其特有的双覆盖系统(数学覆盖和物理覆盖)在域离散方面具有独特的优势,而精细时间积分法则具有精度高、无条件稳定、无振荡以及计算结果不依赖于时间步长等特点。发展了用于研究二维瞬态热传导问题的精细积分NMM。结合待求问题的控制方程和边界条件,并基于修正变分原理导出了NMM的总体方程,给出了求解此类时间相依方程的精细时间积分及空间积分策略,选取了两个典型算例对方法的有效性进行了验证,结果表明本文方法可以高效高精度地求解瞬态热传导问题。     

Physics-informed deep learning for incompressible laminar flows

Physics-informed deep learning has drawn tremendous interest in recent years to solve computational physics problems, whose basic concept is to embed physical laws to constrain/inform neural networks, with the need of less data for training a reliable model. This can be achieved by incorporating the residual of physics equations into the loss function. Through minimizing the loss function, the network could approximate the solution. In this paper, we propose a mixed-variable scheme of physics-informed neural network(PINN) for fluid dynamics and apply it to simulate steady and transient laminar flows at low Reynolds numbers. A parametric study indicates that the mixed-variable scheme can improve the PINN trainability and the solution accuracy. The predicted velocity and pressure fields by the proposed PINN approach are also compared with the reference numerical solutions. Simulation results demonstrate great potential of the proposed PINN for fluid flow simulation with a high accuracy.     

求解浅水波方程的并行物理信息神经网络算法

双曲守恒律方程是一类比较特殊的偏微分方程,其数值求解方法的研究一直是一个热点问题,一个显著特性是即使初始条件是光滑的,其解也可能会发展成间断。浅水波方程作为非线性双曲守恒律方程,由于间断解的存在,其精确求解存在很大困难。针对浅水波方程数值求解问题,本文基于PINN(Physics informed neural networks)反问题网络结构构造新的网络,构造的网络结构包括两个并行的神经网络,其中一个网络与已知状态数据(熵稳定格式加密求出)相关,另一个网络与方程本身相关。利用已知速度数据结合浅水波方程本身求解未知水深,最终通过一些数值算例验证网络的可行性。结果表明,新的网络结构可用于浅水波方程求解,利用速度数据可以较为精确地推算出水深。     

Nonlocal thermoelastic analysis of a functionally graded material microbeam

In extreme heat transfer environments, functionally graded materials(FGMs)have aroused great concern due to the excellent thermal shock resistance. With the development of micro-scale devices, the size-dependent effect has become an important issue. However, the classical continuum mechanical model fails on the micro-scale due to the influence of the size-dependent effect. Meanwhile, for thermoelastic behaviors limited to small-scale problems, Fourier's heat conduction law cannot explain the thermal wave effect. In order to capture the size-dependent effect and the thermal wave effect, the nonlocal generalized thermoelastic theory for the formulation of an FGM microbeam is adopted in the present work. For numerical validation, the transient responses for a simply supported FGM microbeam heated by the ramp-type heating are considered.The governing equations are formulated and solved by employing the Laplace transform techniques. In the numerical results, the effects of the ramp-heating time parameter, the nonlocal parameter, and the power-law index on the considered physical quantities are presented and discussed in detail.     

A high order control volume finite element procedure for transient heat conduction analysis of functionally graded materials

A robust unstructured control-volume finite element method is presented for the solution of two-dimensional transient heat conduction in functionally graded materials (FGMs) with isotropic properties. The material properties at a point in the domain vary exponentially to spatial coordinates. A triangular mesh is chosen for spatial discretization and a fully implicit scheme is adapted for time discretization. Several problems are investigated and the results are successfully validated by using analytical and other numerical solutions available in the literature.     

功能梯度材料瞬态热传导问题的降维精细积分法

针对功能梯度材料(FGMs)的二维瞬态热传导问题,提出了一种有效的降维精细积分法。通过空间坐标的分步离散,将原二维问题的精细积分转化为一系列一维问题的精细积分,解决了直接精细积分算法所面临的传递矩阵 规模过大的问题,从而大幅度降低了计算量和存储量。算例表明了本文方法的有效性。     

一种求解瞬态热传导方程的无条件稳定方法

瞬态热传导问题普遍存在于航空航天、土木和冶金等领域中, 对这类问题精确、高效的数值求解方法一直备受关注. 为此, 本文提出了一种无条件稳定的单步时间积分方法. 在所提出的方法中, 拉格朗日插值函数被用来近似真实的温度场及其一次导数场, 之后, 加权残量法被用来建立二者之间的关系. 通过对算法参数的巧妙设计, 本文提出的方法具有二阶精度和L型数值耗散, 其中, L型耗散使得本文方法能够快速过滤掉虚假的高频振荡. 多数现有时间积分方法仅对线性系统具有无条件稳定性, 对非线性系统则是条件稳定的. 为此, 本文改进了Hughes针对一阶非线性热传导问题提出的时间积分方法稳定性评估理论, 并将改进的理论用于方法的参数设计中. 理论分析的结果表明本文方法对线性和非线性热传导系统均是无条件稳定的. 即使对于著名的Crank-Nicolson方法失稳的非线性热传导问题, 本文方法仍能给出稳定且精确的预测. 数值测试结果显示, 所提出的方法相较于当前流行的方法具有明显的精度、耗散和稳定性优势.      

基于神经网络的差分方程快速求解方法

近年来, 人工神经网络(artificial?neural?networks, ANN), 尤其是深度神经网络(deep?neural?networks, DNN)由于其在异构平台上的高计算效率与对高维复杂系统的拟合能力而成为一种在数值计算领域具有广阔前景的新方法. 在偏微分方程数值求解中, 大规模线性方程组的求解通常是耗时最长的步骤之一, 因此, 采用神经网络方法求解线性方程组成为了一种值得期待的新思路. 但是, 深度神经网络的直接预测仍在数值精度方面仍有明显的不足, 成为其在数值计算领域广泛应用的瓶颈之一. 为打破这一限制, 本文提出了一种结合残差网络结构与校正迭代方法的求解算法. 其中, 残差网络结构解决了深度网络模型的网络退化与梯度消失等问题, 将网络的损失降低至经典网络模型的1/5000; 修正迭代的方法采用同一网络模型对预测解的反复校正, 将预测解的残差下降至迭代前的10?5倍. 为验证该方法的有效性与通用性, 本文将该方法与有限差分法结合, 对热传导方程与伯格方程进行了求解. 数值结果表明, 本文所提出的算法对于规模大于1000的方程组具有10倍以上的加速效果, 且数值误差低于二阶差分格式的离散误差.      

Fuzzy finite difference method for heat conduction analysis with uncertain parameters

A new numerical technique named as fuzzy finite difference method is proposed to solve the heat conduction problems with fuzzy uncertainties in both the phys- ical parameters and initial/boundary conditions. In virtue of the level-cut method, the difference discrete equations with fuzzy parameters are equivalently transformed into groups of interval equations. New stability analysis theory suited to fuzzy difference schemes is developed. Based on the parameter perturbation method, the interval ranges of the uncertain temperature field can be approximately predicted. Subsequently, fuzzy solutions to the original difference equations are obtained by the fuzzy resolution theorem. Two numerical examples are given to demonstrate the feasibility and efficiency of the presented method for solving both steady-state and transient heat conduction problems.     

Transient free convection with mass transfer MHD micropolar fluid in a porous plate by the network method

The transient problem of coupled heat and mass transfer of a micropolar fluid in magneto‐hydrodynamic free convection from a vertical infinite porous plate with an exponentially decaying heat generating considering the viscous dissipation and ohmic heating effects is studied. Joule heating must be considered when the viscous dissipation and the Prandtl number are large. The non‐dimensional equations for the conservation of mass, momentum, energy and concentration are solved by means a numerical technique based on electric analogy (network simulation method). This method provides the numerical response of the system by running the network in circuit resolution software with the solution to both transient and steady‐state problems at the same time, and its programming does not require manipulation of the sophisticated mathematical software that is inherent in other numerical methods. The effects of the material parameters, viscous dissipation, internal generation and Joule heating on velocity, angular momentum and temperature fields across the boundary layer are investigated. In addition, the skin‐friction coefficient, couple stress coefficient, Nusselt number and Sherwood number are shown in tabular form. The numerical results for velocity and temperature distributions of micropolar fluids are compared with the corresponding flow problems for a Newtonian fluid. Copyright © 2007 John Wiley & Sons, Ltd.