一个新的Smarandache函数及其均值

对任意正整数n≥3,我们定义算术函数C(n)为最大的正整数m≤n-2使得n |Cnm=n!/m!·(n-m)!.即就是C(n)=max{m:m≤n-2,n|Cnm},并规定C(1)=C(2)=1.本文的主要目的是利用初等及解析方法研究这一函数的均值分布问题,并给出几个有趣的均值公式及渐近式.     

二项式系数奇偶性的判定准则

判定准则Cnm(m≤n)的奇偶性取决于m和n-m的二进制表达式中是否存在位于同一数位上的两个数码都是1,如果存在,Cmn是偶数,否则Cnm就是奇数.证m=0时,Cnm=C0n=1总是奇数,判定准则显然成立.m=1时,Cnm=C1n=n,若n是奇数,则n-m=n-1是偶数,其二进制表达式的末位是0;若n是偶数,则n-m=n-1是奇数,其二进制表达式的末位是1,判定准则亦成立.可见,m=0或1时,判定准则对任意正整数n都成立.由于Cnm=Cnn-m,因此下面只需在m≥2且n-m≥2的前提下证明判定准则.以下对n使用数学归纳法证明判定准则.n=1时,m=0或1,前面已经证明判定准则成立.假设判定准则对n-1(≥1…     

一道习题的多种精彩解法

新课程理念指导我们在数学学习中,勇于实践探索,善于合作交流．在解决问题的过程中,我们能体验到数学的美妙和战胜困难后的愉悦．下面这道习题就给我们美的享受．习题已知函数f(x)=(1 x2)~(1/2)当a≠b时,比较|f(a)-f(b)|与|a—b|的大小．解法1 (1 x2)~(1/2)与|a-b|和平面上两点     

苏教版高中数学新教材习题水平研究——以“幂函数、指数函数和对数函数”为例

教科书中的习题是教材内容的精华所在,对数学教学起着不可忽视的作用.本文对苏教版数学新教材中“幂函数、指数函数和对数函数”章节的习题进行分析,得出结论:(1)思维含量与综合素养较为欠缺;(2)重视解题,缺乏拓展;(3)践行课标要求,符合学生实际;(4)层次渐进,缺乏背景.针对以上结论,本研究对教材编写与教师使用提出几点建议:(1)提高思维含量,重视综合素养;(2)适当丰富题型,培养开放思维;(3)创设实际背景,适应时代发展;(4)重视习题的认知水平;(5)重视习题的层次性.     

两个和式的求法

文[1]给出了以下问题及其答案:问题有一个楼梯共有n级,如果规定每一步只能走1级或者2级,那么要登上第n级楼梯共有多少种不同的走法?答案:当n为奇数时,走法有C1n 12 C3n 23 C5n2 5 … Cnn n2种,当n为偶数时,走法有C02n C2n2 2 C4n 42 … Cnn n2种.下面我们来求出这两个和式的结果.对一切k∈N*,记Ak=C1k C3k 1 C5k 2 … C22kk--11,则A1=1,A2=3,A3=8,….记Bk=C0k C2k 1 C4k 2 … C22kk--12 C22kk,则B1=2,B2=5,B3=13,….显然,原问题的答案分别为An2 1和B2n.定理1Ak Bk=Ak 1.(用Cnm Cnm 1=Cnm 11可证)定理2Ak 2=3Ak 1-Ak.证明3A…     

精准的习题是提高初中生运算能力的保证

1引言初中生的数学运算能力是一项非常重要的能力,该运算能力的高低决定着学生求学之路能走多深、能走多远.笔者在实践中,深刻体会到:选取恰当的数学习题用于训练,是提高初中生运算能力的关键之举,精准的习题是提高初中生运算能力的保证.下面列举了六种有效提高初中生运算能力的数学习题的类型:(1)涉及去括号的习题;(2)涉及添括号的习题;(3)涉及整式乘法的习题;(4)涉及乘法公式的习题;(5)涉及去分母的习题;(6)涉及去绝对值的习题.这些类型的习题将帮助初中生在浩瀚的题海里不至于漫无目标,争取花费较少的时间,获取高质量的效果.只有运用科学的训练方法,注意加强练习,注重积累、提升,初中生的数学运算能力才能不断提高.     

精准的习题是提高初中生运算能力的保证

1引言初中生的数学运算能力是一项非常重要的能力,该运算能力的高低决定着学生求学之路能走多深、能走多远.笔者在实践中,深刻体会到:选取恰当的数学习题用于训练,是提高初中生运算能力的关键之举,精准的习题是提高初中生运算能力的保证.下面列举了六种有效提高初中生运算能力的数学习题的类型:(1)涉及去括号的习题;(2)涉及添括号的习题;(3)涉及整式乘法的习题;(4)涉及乘法公式的习题;(5)涉及去分母的习题;(6)涉及去绝对值的习题.这些类型的习题将帮助初中生在浩瀚的题海里不至于漫无目标,争取花费较少的时间,获取高质量的效果.只有运用科学的训练方法,注意加强练习,注重积累、提升,初中生的数学运算能力才能不断提高.     

“±1”的妙用一例

"±1"是数学中最简洁、和谐的数.有些繁难、抽象的数学问题看似与"±1"毫无关系,一旦用上"±1",我们会有神奇的发现.请看义务教育苏科版数学七年级上册的一道习题(第74页):桌上放着3只杯口都朝上茶杯,每次翻过来2只,能否经过若干次翻转把它们翻成杯口全部朝下?     

要学好课本的典型习题

数学课本中的典型习题 ,具有较强的代表性、可塑性和迁移性 ,另一方面 ,也是我们智能的生长点 ,是高考、竞赛的依据 .故在学习中 ,要重视对课本习题的研究 .为此 ,本文以一道课本习题为例 ,研究其解法、推广、引申及应用 ,说明对课本中典型习题要进行探究式的学习 ,供同学们参考 .题目　在椭圆 ｘ24 5 ｙ22 0 =1上求一点Ｐ ,使它与两个焦点Ｆ1和Ｆ2 的连线互相垂直 (现行高中平面解析几何必修本 (老教材 )全一册Ｐ112第 10题 ) .1　研究解法解法 1　设点Ｐ为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,因为两焦点为Ｆ1(- 5 ,0 ) ,Ｆ2 (5 ,0 ) ,∠Ｆ1ＰＦ2 =90° ,故ｋ…     

穿针引线 联珠合璧——对一道课本习题的探究

苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-1数学第29页习题2.2(1)中第7题(探究·拓展): (操作题)准备一张圆形纸片,在圆内任取不同于圆心的一点F,将纸片折起,使圆周过点F(如图1),然后将纸片展开,就得到一条折痕l.这样继续折下去,得到若干折痕.     

课本一道习题的解析与变式探究

<正>数学老师在课堂上讲解例题时,经常引导我们尝试多种解法,还会对题目进行变式探究与拓展.耳濡目染,我也慢慢地养成了这种习惯,并发现它是我学好数学的秘密武器.下面我就以课本的一道习题为例,与大家分享我的秘密武器.习题(人教版必修5P.25B组3)研究一下,是否存在一个三角形具有以下性质:(1)三边是连续的三个自然数;(2)最大角是最小角的2倍.     

一道向量习题的推广及应用

平面向量是高中数学试验教科书中新增的一章教材 .以向量为背景 ,一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵 .在数学教学中引导学生积极探索向量在中学数学中各方面的应用 ,不仅可深入了解数学教科书中新增内容和传统内容的内部联系 ,构建合理的数学知识结构 ;而且有利于拓展学生的想象力 ,激发创新活力 .本文就笔者的教学实践与体会 ,以一道向量习题的推广及应用作初步探讨 .1　问题及推广　在全日制普通高级中学数学试验修订本 (必修 ) (以下简称“课本”)第一册 (下 )Ｐ1 0 3习题 5 2第6题中有下面的题目 :化简ＡＢ ＢＣ ＣＡ .其…     

104解析几何中的两圆问题——探索性习题训练案例

主持人按　“我们必须适当拓展中小学数学习题的观念,构建基础性训练与探索性训练相结合的习题体系.这里,十分重要的是,要鼓励广大教师提供精彩的习题训练案例及其相应的知识能力标准”.这是顾泠沅先生在《有效地改进学生的学习》一文中提出的一个十分重要的方向性呼吁.本栏正是发表与积累“精彩的习题训练案例”的好园地.本期,我们把两位老师的稿件充实修改后率先发表,就是给读者发出了这么一个新信息.一个典型的例习题,对教学来说,决不只是“(应)怎么去解?”,更重要的是“(可、该)怎样去想?”的问题.对一个例题作多角度分析,给学生的发展带来的好处是无容置疑的.只是它也必将给教师本人的素质以及他的钻研精神,提出了更多更高的要求了.读者如果愿意,如果敢于接受这样的挑战,望与我们一起协作,共同努力,以逐渐地(在本栏)积累起一大批精彩的例习题训练案例.上课伊始,教师发下如下的一张纸片:问题1　我们知道,相交两圆　○.O1:x2+y2-2x+4y+4=01与○.O2:x2+y2-10x-2y+1=02的公共弦所在直线的方程,可由1-2(消去二次项)得到.那么,对于两个不相交且非同心的圆的方程,也这么地处理,得到的是怎样的图形呢?问题2　已知...     

组合数公式的特殊运用

组合数公式Cnm=n(n-1)…(n-m+1)/m!不仅在解决组合问题中可以运用,在解其他题时,如果使用它有时也可以使解题化繁为简. 例题 求数列{n(n+1)(n+2)(n+3)}(n∈N*)的前n项和Sn. 分析 用常规方法虽然也可以解出,但过程比较冗长,如果用组合数公式解答就比较简单.     

课本习题的价值在探索中升华--改造我们的数学教学方法

孤立地、片面地解决一个课本习题 ,在数学教学中毫无疑问是低效的教学方法 ,我们必须坚决反对 .相反 ,运用运动变化的观点、普遍联系的观点、辩证唯物的观点去分析、观察、探索一个数学问题 ,寻求课本习题的内在变化规律及习题之间的联系 ,是提高教学效率的一种有效途径 ,我们要坚决拥护 .题目不在做得多 ,开发其价值就行 .如何开发课本习题的价值 ?本文提供四种基本方法 :1 )多题一组 ,构造问题链 ;2 )一题多探 ,推而广之 ;3)一题多解 ,比较解法 ;4)一题多改 ,突而破之 .1　多题一组 ,编拟问题链 ,形成“合力” :加强题与题之间的横向联合…     

例析一类“取值与自变量无关”的中考题

<正>课本习题是我们学习的重要素材,需要我们多去研读,不就题论题,以进一步提升解题的质量.本文以义务教育教科书七年级《数学》下册(上海科学技术出版社)一道课本习题为例,浅谈解题的思考角度,并展开应用.1.题目呈现及解法(课本86页B组复习题)如果x~2+ax-6     

当凌绝顶一览众山——一道课本习题的溯源过程及应用

《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(必修)P75页习题3.1A组第3题:例题 当x＞0时,求证:√1+x＜1+x/2.本题在高中的不同阶段有不同的解法,由于本题出现在必修五《不等式》的习题中,教师一般会向学生介绍综合法或分析法证明该不等式.     

C_n~(m-1),C_n~m,C_n~(m+1)何时成等差数列

职高数学课本中有这样一道习题; 已知C_n~(m-1)=C_n~m=C_n~(m+1),求n和m. 这个习题的答案是n=34,m=14和n=34,m=4 0.此题可演变出一个不定方程 2C_n~m=C_n~(m-1)+C_n~(m-1) (1)这个方程的解是怎样的呢?C_n~(m-1),C_n~(m+1)什么时候成为一个等差数列呢?让我们来研究一下这两个问题,作为复习上面习题的引伸. 探求方程(1)的解,即求n和m的值。(1)经过变形,可以写成一个关于m的二次方程     

一堂数列复习课问题选择的设计思想

在文[1]中笔者曾谈了复习课中例题选择的三个原则,自该文后,笔者仍一直在思考、研究复习课中数学问题的选择问题.反思自己上的复习课,笔者认为一堂数列复习课中选择的数学问题虽没有创新之处,但在平平凡凡的习题教学中问题选择的设计思想值得回顾、总结.下面,笔者就将本课的数学问题的设计思想整理成文,请各位专家和同行批评指正.1在客观题中实现数学重点、热点基础知识的大容量复习在通常的复习课模式中,一般常是先复习基础知识,然后再进行习题的讲评与练习,以此来巩固基础知识.这种课给学生的感觉是“炒冷饭”,在基础知识复习阶段根本提不起他们学习的兴趣和动力,通常要到习题的讲评与练习时他们才会慢慢的真正进入课堂学习,浪费了不少宝贵的学习时间.因此,笔者没有采用这种教学方式,而是将基础知识的复习融入数学客观问题中.例如,本课一开始,笔者就让学生解决下面的数学问题.1.(1)已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,a12=·(2)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中第100项是·(3)数列1,1+12,1+21+3,…,1+2+1…+n的前n项和为·(4)若数列{an}为等差数列,则数列bn=a1+a2+…+an...     

三项展开式问题的五种解决策略

<正>我们学习了二项式定理,但是在各种考试或练习中经常会遇到有关三项式的习题,下面提供三项式展开的五种处理策略,供大家参考.一、因式分解法例1求(x2+2x-3)5展开式中含x2的项的系数.解析首先对因式进行分解,(x2+2x-3)5=[(x+3)(x-1)]5=(x+3)5(x-1)5,所以要得到x2的项的系数,可分为三种情况:(1)(x+3)5中x2项的系数与(x-1)5中常数项的乘积;(2)(x+3)5中x项的系数与(x-1)5中x项的系数的乘积;(3)(x+3)5中的常数项