“亚黄金双曲线”的若干性质

1引言文中给出了亚黄金双曲线的定义和6个性质,见本文性质1到性质6.文[2]给出了黄金双曲线的18个性质.笔者在教学之余通过探究,通过类比和联想,又得出了亚黄金双曲线的7个性质.为了以下性质探究的方便,在不影响亚黄金双曲线性质的条件下,做两点假设:第一,以双曲线的中心为原点,两焦点所在直线为x轴建立直角坐标系;第     

黄金椭圆（双曲线）的性质再探

本刊文[1]、[2]将短半轴长与长半轴长(或虚半轴长与实半轴长)的比ba=ω=5-12的椭圆(或双曲线)叫做黄金椭圆(或双曲线).并给出了它们的若干性质,读后很受启发,笔者进一步分析探索,又得到了几个性质,现说明如下.性质1　经过黄金椭圆C1:x2a2 y2b2=1(a>b>0)或黄金双曲线C2:x2a2-y2b     

同轴椭圆与双曲线的两个性质

<正>如果椭圆的长轴、短轴分别与双曲线的实轴、虚轴(或虚轴、实轴)重合,则称这样椭圆与双曲线是同轴曲线.同轴椭圆与双曲线方程的形式类似,应该有内在的联系,本文进行初步探讨.题目如图1,已知椭圆D:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,双曲线C:x2=1,双曲线C:x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1(或y2=1(或y²/b2/b²-x2-x²/a2/a²=1),其中a>b>0.     

双曲线的几个有趣性质

笔者对双曲线作了研究,得到了几个有趣的结论,现论述如下,与同行共享. 性质1 设E,F是双曲线x2/a2-y2b2=1(a＞0.b)>0)的左右焦点,双曲线的半焦距为c,P是直线x=＞±c2/a上的动点,∠EPF=θ,双曲线离心率是e,则θ为锐角且cscθ≥e(当且仅当点P到双曲线实轴的距离为eb时取等号).     

双曲线的通径不一定是最短的焦点弦

设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,c=a2+b2),取其右焦点F(c,0),过点F的直线与双曲线交于不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).若P1,P2同在双曲线右支上,则当P1P2垂直于实轴时,|P1P2|取最小值2b2a(即通径长)(证明见《中学数学》2005年第7期P16);若P1,P2分别在双曲线左、右支上,则当P1P2垂直于虚轴时,|P1P2|取最小值2a(即实轴长).证明如下:证明令直线P1P2的方程为y=kx+m(|k|相似文献   

“黄金双曲线”的几个有趣性质

<正>近年来,有许多数学刊物上对于黄金椭圆的一些有趣性质进行了讨论.由于椭圆和双曲线都是有心圆锥曲线,于是本文通过类比,给出如下定义:对于双曲线方程x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0),c为半焦距的长,若满足a c=ω(ω=     

椭圆与双曲线

1　本单元重、难点分析重点 :1)椭圆的两种定义 ,两种标准方程 ,几何性质 (包括 :范围、长轴、短轴、顶点、对称性、焦点、离心率、准线 ) .2 )双曲线的两种定义 ,两种标准方程 ,几何性质(包括 :范围、实轴、虚轴、顶点、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线 ) ,等轴双曲线 .3)直线与椭圆或双曲线相交所成弦的中点轨迹问题 .4 )待定系数法、运动变化的思想 ,数形结合的思想的应用 .难点 :曲线方程的探求过程 ,利用定义解题 ,几何性质及应用 ,已知方程画曲线 ,讨论对称性和曲线中参数的范围 ,与渐近线有关的双曲线问题的讨论等 .典型的方法与…     

二次曲线的定点弦

文 [1 ]给出了二次曲线的垂轴弦的定义及三个性质 ,经笔者探究 ,发现二次曲线的定点弦也有耐人寻味的性质 .这些性质同样也深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征 .性质 1　椭圆、双曲线 x2a2 ± y2b2 =1 (a >0 ,b>0 )的过定点 (m ,0 ) (m≠ 0 ,且m≠±a)的一条弦的两端点和其焦点轴上的两顶点的连线的交点的轨迹是直线x=a2m.证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线同理可证 .不妨设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,设P1 (x1 ,y1 ) ,P2 (x2 ,y2 ) .(如图 )A1 ( -a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,则直线P1 A1 :y =y1 x1 +a(x +a) ,P2 A2 :y=y2x2 -a(x-…     

圆锥曲线的一个性质

笔者在圆锥曲线性质的探索过程中发现一个性质,现呈现如下结论1 如图1,过双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的右准线x=a2/c与x轴的交点P作双曲线C的割线交于A,B两点,如双曲线离心率为e,焦准距为p,右焦点为F,∠AFB =θ,直线AB的斜率为k(k＞0),则k=ecosθ/2.     

黄金华贵白银亦美——白银椭圆和白银双曲线的一个新颖性质

美国科尔曼称比值2-1为白银比. 本文类比黄金椭圆和黄金双曲线的定义,给出白银椭圆和白银双曲线的定义. 　　定义1[1] 离心率为2-1的椭圆称为白银分割椭圆,简称白银椭圆. 　　定义2 实轴长与焦距长之比为2-1的双曲线称为白银分割双曲线,简称白银双曲线.(显然,白银双曲线的离心率为2+1.)……     

椭圆及双曲线平行弦的又一组性质

文[1]给出了双曲线平行弦的两个性质,文[2]将其推广到圆与椭圆,笔者进一步研究,得出了椭圆与双曲线的又一组性质.性质1如图1,若P是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上任意一点(非长轴端点),连结OP,过椭圆的焦点F作直线MN,使MN∥OP,且交椭圆于M,N两     

从三角形的视角求双曲线的离心率

<正>双曲线的离心率是焦距与实轴长的比值,但有时这比值不能(或不易)直接求出,此时我们常常利用几何图形来求双曲线的离心率.事实上,双曲线中蕴藏着与圆锥曲线的定义、几何特征量及对称中心有关的三角形,我们将它们分别称为焦点三角、特征三角形和中心三角形.在此,我们尝试从这三类三角形的视角来求双曲线的离心率.(本文以焦点在x轴的标准双曲线方程x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1(a>0,b>0)为例)     

费尔马问题在圆锥曲线中的拓广

对费尔马问题有一组有趣的等比关系式. 性质1 如图1,OX轴上方是圆x2+y2=a2的上半部分,OX轴下方是正方形ABCD,边长等于圆的直径2a.在半圆上任取一点P(端点A、B除外),连结PC、PD分别交AB于点E、F.则|AF|·|BE|=|EF|2.     

两个性质的完善与启示

文[2]在文[1]的基础上推出了如下两个性质:性质1过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的顶点A的弦AQ交于y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则|OP|2=1/2|AR|·|AQ|.性质2 MN是过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的焦点F的弦,过双曲线中心O的半弦OP∥MN,则|OP|2=a2|MN|.这两个性质只有当A和Q(或M和N)分别在双曲线的左、右分支上才成立,我们来看一个特例:过双曲线x2-y2=1的左顶点A且倾斜角为60°的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则由文[2]性质1和性质2的证明过程知|OP|2=a2b2b2cos2α-a2sin2α=1·11·cos260°-1·sin…     

对一道课本习题的探讨所得

高中平面解析几何必修课本的几种版本的总复习题都有这样的一道题 :证明 :等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项 .教参给其提供了两种解法 ,这里再介绍两种解法 .解法 1　设等轴双曲线方程为 x2 - y2 =a2 ,则离心率 e =2 ,P( x,y)为其上任一点 ,F1、F2 为左右焦点 ,O为坐标原点 ,| PF1| =r1,| PF2 | =r2 ,由双曲线的焦半径知 :r1.r2 =| a ex| .| a - ex|　 =| a2 - ex2 | =| a2 - 2 x2 |　 =| x2 - y2 - 2 x2 | =| - x2 - y2 |　 =x2 y2 =| OP| 2 .图 1解法 2　如图 1 ,由高中解几课本 P6例 2 (或叫三…     

关联椭圆、双曲线的几个有趣性质

给定椭圆E1:x2/a2+y/2b2=1(b>a>0)和双曲线E2:x2/a2-y2/b2=1(b>a>0),O为E1(或E2)的中心,则关联椭圆E1与双曲线E2有如下几个有趣的性质.性质1设A、B是双曲线E2上满足∠AOB=90°的两点(A、B均不在两直线y=±x上,以下同),A在y轴、x轴上的射影分别为A1、A2,B在y轴、x轴上的射影分别为B1、B2,OA、OB分别交椭圆E于点C、D,则     

二次曲线的垂轴弦

如果曲线Γ的一条弦垂直于其对称轴 ,我们将该弦称之为曲线Γ的垂轴弦 .经笔者探究 ,发现二次曲线的垂轴弦有着耐人寻味的性质 .这些性质深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征 .图 1性质 1　 P1是椭圆 x2a2 y2b2 =1上不与顶点重合的任一点 ,P1P2 是垂直于 x轴的垂轴弦 ,A1( - a,0 ) ,A2 ( a,0 )是长轴上的两个端点 ,则 P1A1与 P2 A2 交点 P的轨迹方程是　 x2a2 - y2b2 =1 (除双曲线的顶点外 ) .证明　如图 1 ,设 P1( m,n) ( n≠ 0 ) ,则P2 ( m,- n) .直线 A1P1:　 y =na m( x a) 1直线 A2 P2 :　 y =na - m( x - a) 2由 1、2解…     

探秘数学问题1888

1 问题与解答《数学通报》2010年12月第1888号数学问题如下:设A(非顶点)为双曲线上任一点,则过A点切线作法如下:在双曲线实轴上找一点B,使B与A在虚轴同侧,B到虚轴距离是A到虚轴距离的2倍,以B为圆心,以A到虚轴距离平方2倍,减去实半轴长平方的算术平方根为半径作圆,与过A的实轴的垂线交于点C,过C作圆的切线交实轴于D,则直线AD就是该双曲线的切线,给予证明.     

对可变换椭圆与双曲线的张角与最值点的性质探究

作下列变换可使椭圆x2/a2+y2+b2=1变换成双曲线x2/a2-y2/b2=1.如图,设A1、A2是椭圆x2/2+y2/b2=1长轴的两个端点,P1P2是与A1A2垂直的弦,则直线A1 P1、A2P2的交点轨迹是双曲线x2/a2-y2/b2=1.反之亦然.有关这种变换的实质在文[1]中已作了探讨.本文探究这两条可变换曲线的张角和最值点的性质.……     

考点24 双曲线

1.(全国卷,6)已知双曲线x62-y32=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为().(A)356(B)566(C)56(D)652.(全国卷,9)已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1·MF2=0,则点M到x轴的距离为().(A)34(B)35(C)233(D)33.(福建卷,10)已知F1、F2是双曲线x2a2-yb22=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是().(A)4+23(B)3-1(C)32+1(D)3+14.(上海卷,5)若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是.5.(山东卷,14)设双…