改进三角方程的教学

現行高中三角课本中,“三角方程”一章的教材在个別地方不够簡洁;沒有圆滿地解决增根和遺根問題。本文提出个人对这一章教材的一些看法。第一課 基本三角方程。 課本在推导解三角方程的四个公式吋,不够簡洁,作者认为应作如下推导: 按照課本介紹三角方程的定义,說明三角方程的解法及其解的意义。接着指出:为了求出三角方程的未知数的一切值,先在某个函放的一     

统一三角方程解的不同形式的一种方法

对于三角方程,由于采用不同的解法,往往有不同形式的答案。在三角方程的教学中,学生对不同形式的答案的正确性持怀疑态度,有必要向学生介绍统一这些不同形式解的方法。七九年三月版教参中介绍了取有限个值说明解的统一的方法,学生并不满足。本文介绍一种三角方程解的不同形式的统一方法,     

函数的周期性在解三角方程中的应用

三角方程是中学三角課的内容之一。它是研究三角函数的性貭的一个方面,即从自变量(角)的值来研究三角函数式的值。三角方程解的一个最重要的特性是,如果三角方程有解,那末它的解是无限多个。其所以如此,是由于三角函数的周期性所致,因此,从函数的周期性来研究方程的解,可以突出三角方程的特性,加深对三角方程的认識。尤其是对三角方程变形时所产生的增根与遺根的检驗及不同形式的根的等效性等問題,利用函数的周期性来讲解既簡单又明确。一、方程的周期在用三角函数的周期性来研究三角方程前,我們先引用方程的周期的概念。定义。当方程f_1(x)=f_2(z)化为形如 F(x)=0     

一道方程题显露三角方程常见解法

解方程ｃｏｓ３ｘ＋ｓｉｎ３ｘ＝１在例题教学中，笔者对此题进行了研究，发现此题不仅有多种解法，而且这些解法正好显露了解三角方程的一些常见方法，对解三角方程的复习是难得的一道好题．本文整理出来以飨读者．一、配方法把原方程左边配方成若干个平方和，而右边为零...     

从角的终边所在位置看三角方程的解

一、引言 众所周知,三角方程的解往往是一个集合或几个集合的并集的形式,且它可用不同的形式表示出来。譬如,最简单的三角方程cosx=0的解,其解集可表示为     

在三角方程解的通值教学上的一些经验

数学教学大纲指示:“不必强记反三角函数的通值公式.”“要求出方程的一切解(不强求把一切解的通值再加综合).”在教反三角函数时,是从图象和单位圆使学生了解反三角函数的多值性,并根据图象和单位圆得出通值,不归纳成公式.在这一基础上,本学期又研究了数学教学大纲和柏拉斯基著的中学数学教学法;在教三角方程这一单元时,学生写出三角方程的一切解是依靠单位圆,做到不强记通值公式.因为解三角方程写出通值之前,先要求得基本三角方程;因此只就解基本三角方程为例,介绍写出解的通值的这一点做法.     

“三角方程”的教材教法

(一)教材的概略分析 1.內容的特点。三角方程这一单元,可以说是三角函数的解析理论的综合題材,也是中学三角课中的重要內容。从三角函数的定义、性质、图象、恆等式以至反三角函数等,无一不与三角方程有关,它们都是研究三角方程的基础。如果学生对前面所学的知识和技能有较好的理解与正确地掌握,则学习这一单元的知识和技能,应该说不是十分困难的。可是我们也不得不考虑到,由于三角方程是一种超越方程,在一般情况下,它不能用初等方法来解。在中学主要也只研究个別的或几种可以用初等方法求解的极特殊形式的三角方程。因此,对它的研究,一般仅能从具体出发,根据不同的具体的三角方程指出具体的解法;当然,在可能情况下,这里并不排斥进行某些归类,或根据已有的经验指出一些可循的线索,以便对初学者有所帮助。正由于超越方程与它们解法(假定那是可以用初等方法作到的)的多样性     

最简三角方程教学的三部曲

最简三角方程教学的困难在于:对方程f(x)=a(f代表正弦、余弦、正切、余切之一,下同)的求解公式的推导,学生好象明白而往往不尽明白:对其求解公式学生容易记混记错;对方程f〔(?)(x)〕=a常常因周期处理不当而造成增解和失解。为了克服上述困难,帮助学生深刻理解最简三角方程的求解公式和熟练地掌握解三角方程的技巧,我们对最简三角方程的教学采取了下面三部曲: 一、方程f(x)=f(a) 为了减缓最简三角方程教学的难度,我们专门用了一个课时,首先介绍同名等值型三角方程f(x)==f(a)的求解公式,具体做法是: 1.复习三角函数的定义、周期(可结合三角函数图象进行复习)。 2.已知f(x)=f(a),让学生求x、a所满足的关系。给出下表,学生根据函数的图象,在表中填写适     

谈多元三角方程的解法

一般地,对于多元三角方程,其解是不能完全确定的。正是源于此,许多同学对解多元三角方程深感无从下手。事实上,只要我们把握住它的特征,采用一定的方法,是可以找到解题途径的,并且预见到解题的进程。本文试图从多种角度给出解这类方程的方法,供同行们教学时参考。一、利用非负数的性质就是设法通过配方,     

关于三角方程的教学

本文拟谈三个问题:1.对统编教材高中数学第一册“简单的三角方程”这一单元内容安排的分析;2.在用不同方法解三角方程时,可能得出不同形式的答案,如何判别它们是等价的;3.有关增根、失根的问题。 1.课本首先总结了最基本的三角方程:sin x=a;cos x=a;tg x=a的解集。当a为具体数值时,这些方程的解集,已经在第二章“任意角的三角函数”中,通过已知三角函数值求角的问题解决了,并且也给出了一般解,只是朱用反三角函数表示。在这     

用αsinx＋bcosx＝c有解的条件探求高考试题

用aｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ有解的条件探求高考试题杜楚琼，陈建军（湖南邵东八中）高中《代数》上册第２３６页中指出：形如ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ的三角方程（ａ、ｂ不同时为零）有解的条件是我们不妨把△＝ａ２＋ｂ２－ｃ２称为上述三角方程的判别式．那么ａ２?..     

三角方程解集相等的判定

如所周知,同一个三角方程,用不同的方法去解,其解集的表达形式往往不同。对于这种情况,学生常感到迷惑不解。他们根据以往解方程的经验相信,只要解法正确,即使解法千差万别,答案总是相同的,唯一的。为什么解三角方程,竟会出现不同形式的答案?难道一个方程的解会有两个或两个以上的答案吗? 其实,答案的不同只是表现在形式上,答案在实质上是唯一的。这里,形式的相异性掩盖了实质的唯一性。为了给学生讲清这一点,已有不少文章对之进     

同解方程的教学意见(续)

Ⅳ三角方程教学大纲在代数部分指出“……到了高中三年级,关于方程同解的知识才能达到系统化.”但是查一查高三代数内容似乎没有恰当机会使之系统化,而在三角部分大纲又规定“学习三角方程的时候,……(1)要求出方程的一切解;(2)在方程变形的时候不应当忽视增根和遗根的可能性的问题.”因此我建议把这两个要求结合起来,放在三角方程一节中去实现.为此,系统的复习与在复习的基础上发展一步就很有必要.     

反三角函数的主值与三角方程的解

新大纲规定了反三角函数和三角方程这两个课题。它是进一步学习高等数学和工程技术不可缺少的工具。但是,反三角函数概念的建立和三角方程的解的检验却是两个难点,学生不容易掌握。在这里,就几个有关的问题,谈谈自己的体会。     

谈反三角方程的解

众所周知含有未知数的等式叫做方程,含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程,同样地,我们把含有未知数的反三角函数的方程叫做反三角方程,解方程就是要求出适合方程中未知数的一切值或指出它无解;本文就一些简单反三角方程的解谈一些看法;一、最简单反三角方程即方程ａｒｃｓｉｎｘ＝ａ,ａｒｃｃｏｓｘ＝ｂ,ａｒｃｔｇｘ＝ｃ和ａｒｃｃｔｇｘ＝ｄ,其中ｘ为未知数,它们也是最基本的反三角方程;根据反三角函数的定义可知,当ａ∈－π２,π２或［－９０°,９０°］,ｂ∈［０,π］或［０°,１８０°］,ｃ∈－π２,π２或（－…     

三角方程有解的判别式及其应用

先证明结论“关于x的三角方程a sinx+bcosx=c有解的充要条件是a²+b²≥c²”,再结合实例介绍这个结论的应用.     

数学问题解答

此式成立无疑。故本题得证。 534 已知三角方程msinα+cosα=mn(0≤α≤π/3)有解,试求实数m,n的取值范围。     

一类三角方程有解条件的应用

在高中《代数》上册第297页上给出了三角方程asinx＋bcosx＝c（*）有解的充要条件即a2＋b2≥c2，并且进一步可知：方程（*）在［0，2π）内有两个不同解的充要条件是a2＋b2＞c2；方程（*）在[0，2π）内有两个相同解的充要条件是a2＋b2＝c2。对数学中直接或借助三角代换出现了与三角方程asinx＋kosx＝c有关的问题，运用其有解的条件处理往往能简化运算，收到事半功倍之效．1求值或征明等式例1已知cosa＋cosβ－cos（a十β）＝，求锐角a、β．解化条件式为关于a的方程有解，即的值域从而锐角同理可得例2已知求证：a2＋b2＝1证设1），则a2＋b2…     

揭示同一“源头”沟通不等关系

利用最简不等关系式 |sin x|≤ 1,可以给出中学数学中若干不等关系基本定理的统一证明 .这些基本定理是 :(1)三角方程asin x bcos x =c有解的充要条件 ;(2 )实系数一元二次方程有实数解的充要条件 ;(3)二次函数值恒大于零 (或恒小于零 )的充要条件 ;(4)二元基本不等式 ;(5 )二     

“αsinx＋bcosx＝c”型三角方程的别解

“αｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ”。型三角方程的别解２７７７００山东苍山职业中学李玉国对于“αｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓ＝ｃ”型的三角方程，教材及几乎所有的教学参考书上都是采取这样的解法：先在方程的两边同时除以其实这种类型的方程也可以利用倍角公式及，将方程化为齐...