具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式

该文利用了左定问题与右定问题的联系,得到了具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题在区间[a,a+kh]上的周期和半周期特征值的描述,阐明了周期特征值之间的不等式关系,并明确给出了区间[a,a+kh]上的周期、半周期特征值和区间[a,a+h]上特征值的一一对应关系.     

一个等式变形解决一类整数问题

我们很熟悉这样的问题:已知非负整数 a、b满足a b ab=1①,求a、b．解决此问题的一般方法是: 在①式两边加上1,得 a b ab 1=1 1．     

构造积的定值求一类函数的最小值

<正>在不等式的习题中,我们经常见到下面的问题:已知a、b∈(0,+∞),a+b=1,求y=1/a+ 2/b的最小值.这个问题有很多解法,其中如下的解法最简练,并且具有一般性:y=(1/a+2/b)(a+6)=     

问题1748的推广及应用

1 问题的提出 <数学通报>2008年第8期刊出的1748号问题是:若a1,a2,a3,a4∈R+,a1+a2+a3+a4=s.     

对应思想在排列组合解题中的应用

数学解题的一个基本思想就是设法将问题化归为熟悉的或已经解决的问题,这在解决排列组合问题中也不例外.当学生积累了一定的常规解法后,需要强化“转化”这一思想方法,以便于探索解题思路、寻求巧妙解法.本文介绍对应转化思想在解题时的应用.以下举例说明.例1　从1,2,3,…,10中每次取出三个互不相邻的数,问有多少种取法?分析　取数问题的基本模式是“从n个不同元素中任取m个”,与本例区别在于“任”取,即对取出的数不加限制.如何实现转化呢?设取出的三数为a1、a2、a3(不妨设a1相似文献   

一道“希望杯”竞赛题的研究

题目（第二十一届“希望杯”高二第2试）已知a,b∈R＋,且ab=2,则b/2＋a2＋a/2＋b2的最小值是.本文从两个角度对问题进行研究,先对问题作一题多解,然后对问题作多方面变式,供大家参考.1.一题多解解法1∵a,b∈R＋,且ab=2,∴b=2/a,∴b/2＋a2＋a/2＋b2=2/a2＋a2＋a/2＋4/a2=2/a（2＋a2）＋a3/2（2＋a2）=4＋a4/2a（2＋a2）,     

用不动点性质解非线性问题

我们常把映射x→y=f（x）中满足a=f（a）的a称为不动点，它是研究映射时一个很重要的性质，由于中学数学中函数、数列等都与映射有关，因而若存在不动点a，可借助a来研究许多数学问题，特别是非线性问题，下面笔者介绍一些用不动点来解非线性问题的方法，可供大家参考．     

N[a,b]类中边界Nevanlinna-Pick插值(I)

用所谓的Hankel向量方法求解N[a,b]函数类中带边界插值数据的Nevanlina-Pick插值(BNP(N[a,b]))问题,并建立BNP(N[a,b])问题与[a,b]上的某种带约束条件的Hausdorff矩量问题之间等价的可解条件以及解之间明确的一一对应关系.这使得当BNP(N[a,b])问题有多解时,能通过带约束条件的矩量问题的可解性准则和解获得BNP(N[a,b])问题的可解性准则和解的参数化描述,而在唯一解的情况下,通过BNP(N[a,b])问题解的存在唯一性准则和唯一解来获得带约束条件的     

不等式的恒成立和恒不成立问题

本文举例说明不等式中的恒成立和恒不成立问题的相应解法,供同学们参考．一、恒成立问题对于恒成立问题,我们有定理1 对于函数f(x),a≥f(x)恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值;a≤f(x)恒成立的充要条件是a≤f(x)的最小值．     

浅议数列“周期”的应用

众所周知,数列是一种特殊的函数,函数的性质在数列中的应用是一个很普通的问题,函数中有周期问题,所以数列中也必然有“周期”问题,有些数列问题,表面上看与“周期”无关,但实际上隐藏着周期性,一旦揭示了其周期性,该问题便迎刃而解,下面举数例说明数列周期的应用.例1在数列{an}中,已知a1=2,a2=5,对所有的非零自然数n,都有an 2=|an 1|-an,求a2006.分析由已知条件可求出a3=3,a4=-2,a5=-1,a6=3,a7=4,a8=1,a9=-3,a10=2,a11=5,…,由此不难发现并严格证明该数列是以9为周期的一个数列,a2006=a222×9 8=a8=1.例2在数列{an}中,已知a1=832,a2=657,a3…     

组合中的限距问题

以自然数为元素的排列组合中“限距”问题 (对相邻元素之差给定限制条件 )其计算方法比之常见的附加条件问题要困难得多 .它既是数学竞赛中绝好题材 ,也是初数研究中很有价值的课题 .本文对限距组合问题的求解作些探索 .组合中限距问题分三类 :即要求相邻二数之差不小于某数或不大于某数或兼而有之 .第一类以 1989年全国高中联赛一道试题为例 :从 1,2 ,… ,14中由小到大取出 (a1 ,a2 ,a3) ,同时满足 a2 - a1 ≥ 3,a3- a2 ≥ 3,符合要求的不同取法有种 .解　对合要求的一组数 (a1 ,a2 ,a3)作变换 (a′1 ,a′2 ,a′3) ,使 a′1 =a1 ,a′2 =a2 …     

一个椭圆最值问题的多角度探究

文 1对如下的问题从解法和推广两方面作了探讨 ,本文对此问题先作一变换 ,然后从解法、推广、引申、推论四个方面对其作进一步探究 .问题 1　曲线 x2a2 y2b2 =1 (a,b∈ R )过点 M(1 ,1 ) ,求 a b的最小值 .问题 1等价于 :已知 1a2 1b2 =1 (a,b∈R ) ,求 a b的最小值 .将点 M(1 ,1 )一般化 ,则得到如下的问题2 .问题 2　已知 a,b,x,y∈ R ,且 ax by= 1 ,求 x12 y12 的最小值 .1　别解解法 1　 (基本不等式法 )∵　 ax by =1 ,∴　 (x12 y12 ) 2= (ax by) (x12 y12 ) 2= (ax by) (x 2 x12 y12 y)= a 2 ax-12 y12 ax-1y bxy…     

S[a,b]类中边界Nevanlinna-Pick插值(Ⅱ)

继续作者最近的研究,用所谓的Hankel向量方法建立S[a,b]函数类中带边界插值数据的Nevanlinna-Pick插值问题与[a,b]上的某种带约束条件的Hausdorff矩量问题之间解集之间明确的一一对应关系.通过N[a,b]函数类与S[a,b]函数类之间的联系,从而由BNP(N[a,b])问题的可解性准则和解的参数化描述获得BNP(S[a,b)问题的可解性准则和解的参数化表示.     

转化思想在多元不等式最值问题中的应用

<正>多元最值问题的解题方式多样灵活,下面将常见的解决多元最值问题的方法整理归纳如下:一、消元法例1已知正实数a,b满足2/(a+2)+1/(a+2b)=1,求a+b的取值范围.解由题意可得,b=(((a+2)/a)-a)/2>0,a>0,2解得0相似文献   

一题三变话“四心”

近年来,随着平面向量的引入,与三角形的“四心”(内心、外心、重心、垂心)有关的几何问题已经成为各种考试考查的热点,求解这类问题的基本策略是利用好以下两个判定向量平行与垂直的基本性质.性质1a⊥b(a,b为非零向量)a·b=0.性质2存在唯一实数λ,使a=λb(b≠0)a∥b(b≠0)a与b(     

一道不等式试题的探究

一、问题提出 已知a,b,c∈R^＋且a＋b＋c=2． （1）求证：√a（2-a）≤9^-4√6;     

一道课本例题的构造法证明

构造法是一种创造性的解题方法,它是根据数学问题的题设和结论特征,构造出新的易解决的问题,从而得到简捷、明快、新颖的解法。本文笔者以高二数学教材上册中的一道例题为例说明构造法证不等式的几种策略。题目已知a,b,m∈R~ ,且a＜b,求证：(a m)/(b m)＞a/b。一、构造函数,利用其单调性分析不等式左边为(a m)/(b m),而右边可写成(a 0)/(b 0),从而构造函数f(x)=(a x)/(b x),研究其单调性可获问题的解决。证法1 构造函数     

整体法解题举例

<正>整体法是将问题视为一个完整的整体,把着眼点放在问题的整体结构上,从整体上把握解题的方法.应用整体法解题,能使不少常规思路难以解决的问题找到简便的解法.例1已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=3,求(a+1)(b+1)(c+1)的值.解由ab+a+b=3,得(a+1)(b+1)=4.同理可得(b+1)(c+1)=4,(c+1)(a+1)=4.     

《数学通报》1624号问题的两个别证及再推广

1 问题的提出 <数学通报>2006年7月号问题1624: 若a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2+…+an=s,求证:1/a13(a2+a3+…an)+1/a23(a1+a3+…+an)+…+1/an3(a1+a2+…+an-1)≥n5/s4(n-1) 在2006年第8期,问题提供人刘俊老师构造n维向量,利用向量性质|m·n|≤|m|·|n|给出了一种证明方法;在<数学通报>2008年第5期罗邦华老师利用一个不等式引理又给出了一种证明方法,并将其结果进行了推广.     

数值问题的算法及其误差

数值问题是指这样一类数学问题 ,它从一组已知数据出发 ,求得一组结果数据 ,这两组数据问题要满足事先确定的一种关系 .也就是说数值问题强调数值结果 ,比如 ,讨论二元一次方程组　　 a11x1+a12 x2 =b1a2 1x1+a2 2 x2 =b2解的存在性和唯一性是一个数学问题 ,而当系数a11,a12 ,a2 1,a2 2 和右端项b1,b2 给定时要求出解x1,x2 的具体值这就是数值问题 .数值问题的求解方法被称为数值计算方法 ,电子计算机发展到今天 ,已成为大型数值计算的主要工具 ,因此必须研究适合于计算机使用的数值计算方法 .具体来说 ,用计算机解决数值问题要经历如下过程…