一道2018年全国Ⅱ卷立体几何题的解法

<正>我们常常说到创新,如何创新?对于每一位高中数学老师来说,创新解题其实是落实新课标数学核心素养之"数学建模"的具体体现.本文以2018年全国Ⅱ理科数学的第20题立体几何为例来具体展示直线到平面、平面二维到空间三维的类比转化从而实现创新解题,期望读者从中有所启迪.     

略论数学类比推理能力的培养

类比推理时,需要有丰富的知识和联想的能力. 运用类比推理解决问题,其基本过程可用框图表示如下:解题关键是寻找一个合适的类比对象. 按寻找类比对象的角度不同,类比常分为降维类比、结构类比、简化类比等类型. 在解题教学中,应该有计划、有目的地依据教学内容,逐步渗入类比推理方法,使学生由不自觉到自觉地掌握进而运用推理方法.1. 命题从平面到空间推广,探究拓展结论将三维空间的对象降到二维(或一维 )空间中的对象,此种类比方法即为降维类比. 在降维类比的方法中,常常体现在双向联想的结合,即由平面几何问题类比联想到立体几何中去,…     

从三角形到四面体——类比与推广思维的一个尝试

学习了立体几何的基本知识后,不妨研究一下平面几何与立体几何之间的联系.平面几何中的很多性质都可以类比推广到立体几何中去.比如:平面几何中的三角形类比到立体几何中的几何体是四面体(或称三棱锥),因为三角形是平面图形中边数最少的多边形,而四面体则是空间中面数最少的多面体.我们来看一看三角形有哪些性质可以类比到空间中去. 性质1 平面上任意三角形ABC都存在外接圆;外接圆的圆心是三边垂直平分线的交     

n个平面分割空间的块数

一、问题的提出 　　某大学一研究生向我校老师提出这样一个问题:空间n个平面最多可把空间分成几块? 　　1个平面分成2块,2个平面分成4块,3个平面分成8块,4个平面或更多时就很难想象得出了.必须用科学的方法才行.为此,我们确定了由简到繁,由特殊到一般的思路,即先降维,再升维.……     

为什么正多面体只有五种

我们知道,平面上的正多边形,可以有正三角形、正方形、正五边形、正六边形等等.对于任意一个正整数n,都有正n边形存在.平面上的多边形,类比到空间,就是多面体——由若干个平面多边形围成的封闭的空间图形.围成多面体的各个多边形叫多面体的面,两个面的公共边叫多面体的棱,棱和棱的公共点叫多面体的顶点.把多面体的任一面伸展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样     

等差数列与等比数列的类比

<正>新课标、新教材在高中数学选修2-2《推理与证明》一章中介绍了合情推理与演绎推理,归纳、类比是合情推理的常用思维方法.归纳是从几个已知的特殊现象归纳出一般的未知结论,类比是根据两个对象或两类事物间存在着相同或不同的属性,联想到另一类事物也可能具有某种属性的思维方法.由等差数列到等     

试论类比推理在数学解题中的几个误区

类比是根据两个对象或两类事物间存在着的相同或不同属性,联想到另一类事物也可能具有某种属性的思维方法.利用类比联想可以发现新的数学知识,利用类比可寻求到解决数学问题的方法和途径,可培养学生的发散思维、创造思维及合情推理能力.     

关于平面与空间联系和转化的几个问题

处于同构体系中的二维平面与三维空间,不言而喻,相互之间有着密切的联系.例如,在探讨立体几何问题时,我们常常与平面几何进行类比,寻求启迪.不仅如此,平面上的问题与空间中的问题在许多情况下还可以相互沟通、相互转化.这就是说,二维的问题,可以考虑一个适当的空间模型,从而在更为广阔的领域里寻求解决的方法;反之,三维的问题,可以考虑适当的途径,转化到平面上来,变成平面上的问题. 1.投影方法欧拉定理 V+F-E=2 的证明就是几何体通过投影变换转化为一个平面图形来处理的一个实例,它使问题变得更直观,也更容易     

从高考试题看类比思维

类比是根据两个对象或两类事物间存在着的相同或不同属性 ,联想到另一类事物也可能具有某种属性的思维方法 .类比联想可发现新的数学知识 ,类比可寻求到解决数学问题的方法和途径 ;可培养学生的发散思维和创造思维及合情推理能力 ;因而 ,近年来高考出现了类比思维的问题 .这类问题通常以类比思维为轴心 ,与数学思想、数学方法、数学基础知识整合 ,形成开放性的试题 ,考查学生的探究能力 ,创造能力 ,合情推理能力 .其试题新颖 ,背景独特 .1　特殊向一般类比由特殊向一般类比 ,考查学生的发散思维 ,理性思维 ,判断、猜想及探索的能力 ,以及合…     

从内切圆类比到内切球

<正>数学家波利亚曾说过,"类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题".类比,是根据两个对象或两类事物间存在着的一些相同或相似的属性、特征、关系等,推断它们之间也可能具有的其它一些相同或相似的一种推理形式,比如,圆与球类比,三角形与三棱锥类比,椭圆与双曲线类比,等差数列与等比数列类比,在函数与导数、排列组合中也存在类比现象,它们通常以类比思维为轴心,与数学思想方法、数学基础知识整合,考查探究能力、创造能力和合情推理能力.我们知道,在△ABC中,由正弦定理可求     

棱锥外接球问题突破策略

<正>几何体外接球球心的本质特征是到几何体各顶点距离相等的点.平面中,到线段两端点距离相等的点在它的中垂线上;到多边形各顶点距离相等的点为该多边形的外心.类比到空间,可得:外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上;外接球的球心在经过几何体任意一个面的外心且与此平面垂直的直线上.所以如何交出球心是关键,一般是先找出几何体某一     

活跃在高考题中的立体几何类比题评析

类比是根据两类不同事物之间具有类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的思维方法.它的思维过程大致如图所示:观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.类比思想是中学数学学习的逻辑思维方式,它既是一种推理方法(类比推理是一种合情推理),同时也是一种学习方法,尽管由类比推理得出的结论不一定正确,但由于类比在寻找解决数学问题的方法和途径上以及发现科学奥秘方面更优于逻辑推理,特别是它在培养学生的发散思维和创新思维能力方面有其独特的作用,因而近几年来高考数学命题的类比问题已从幕后走到前台,更要注意的是,类比推理作为专门的一节已出现在新课标选修教材中,因而类比问题将是今后广大中学师生及数学爱好者的一个研究方向.……     

类比猜想又一例

<正>在文[1]中沈老师将平面几何中的一个结论"△ABC的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心且重心分中线之比为2∶1(从顶点到中点)."类比猜想得到立体几何中的一个结论:空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线,且四条中轴线交于一点,这点叫此四面体的重心,则空间四面体的重心分顶点与对面三角形的重心的连线之比为3∶1(从顶点到对面三角形的重心).本文再给出由平面几何类比到立体几何     

类比与转化──立体几何两种主要思考方法（一）

类比与转化──立体几何两种主要思考方法（一）康士凯（上海市杨浦区教育学院）一、类比根据两个或两类对象有部分属性相同这个事实，来推断它们的其它属性也可能相同的思考方法一般称为类比．说到最常见的类比，波利亚指出“平面上的一个三角形可与空间的一个四面体作类...     

四面体有内切球吗?

文[1]介绍了空间任意不共面的四点可同在一个球面上,即任意四面体一定有一个外接球.那么,任意四面体一定有内切球吗?这是不久前一个学生问到的问题.本文对此做个回答,也算是对文[1]的补充.与平面几何中角平分线相类比,我们把平分一个二面角的半平面称为这个二面角的分角面.引理     

类比——中学数学有效教学的重要方法

所谓类比,就是由两个对象或者两类事物的某些相同或相似的性质,推断它们其他性质也相同或相似的一种推理方法.它的逻辑形式是[1]: A具有性质a1,a2,…,an,a; B具有性质b1,b2,…,bn;其中ai与bi(i=1,2,…n)相同或相似; 则推断B具有性质b ',b'与a'相同或相似. 类比是一种合情推理方法,由类比获得的结论不一定正确.其正确性必须加以证明或举反例推翻.     

四面体的重心与垂心的性质

1 四面体的重心 由三角形的一个顶点与对边的中点为端点确定的线段称为三角形的中线,三角形的3条中线交于一点(此点称为三角形的重心),且这点是顶点与对边中点连线的3等分点(靠近对边的中点).类比三角形的中线与重心,遵循"点到棱、线到面、共点线到共点面"的类比原则,容易想到"由四面体的一条棱与对棱的中点确定的平面称为四面体的中面"这一新定义.     

三垂线定理的过程教学

提到“过程教学” ,一般认为它是相对于“结论教学”的一种教学过程 ,也有人将“过程教学”看作是一种教学方法或教学模式 ,但我认为“过程教学”应该是在各种教学模式及其教学过程中都具有指导意义的一种教学观点 .现就以“三垂定理”的过程教学为例 ,说明基于上述考虑的四个主要过程 :一、运用类比联想 ,开始新课的发生过程“三垂线”这堂课的导入运用了类比联想 :我们已经学习过直线与平面的垂直关系 ,由线面垂直知道线线垂直 ,即平面内的所有直线与垂线垂直 .但直线与平面相交 ,更多的情况是不垂直 ,自然该直线不可能与平面内的所有直线…     

射影—空间通往平面的桥梁

平面是空间的一个元素.当我们选定一个平面作为认识空间各元素的关系的基础时,这个平面叫这个空间的基平面.于是,一些空间元素间的距离,或者线、面所成的角,可以通过射影的方式,把要求的数据,通过它们在基面上的影象而获得.直接把空间距离或角投射到平面上且不改变大小的射影,我们称为一次射影.1　求空间两点间的距离例1　线段AB、CD夹在两个平行平面α与β之间,ACα,BDβ,AB⊥α,AC=BD=5,AB=12,CD=13.E、F分别分AB、CD为1:2,求线段EF的长.分析　无论对于平面α还是β,E、F都是空间两点,它们好象是分别长在两棵树上的果子,不易…     

概率思维的随机性和创造性

古希腊哲学家亚里斯多德在其著作<记忆与联想>一书中指出:"我们的思想是从与正在寻求的事物相类似的事物、相反事物或者与它相接近的事物开始的,以后,便追寻与它相关联的事物,由此而产生联想".波利亚也指出:"假如你想把它们的相似之处化为明确的概念,那么你就把相似的对象看成是可以类比的.假如你成功地把它变成清楚的概念,那么你就阐明了类比关系."在高中概率中既有形式性类比与迁移,也有实质性类比与迁移.所以,在高中概率知识延伸拓广过程中,常常要借助类比、联想、迁移,用作启发诱导,以寻求思维的变异和思维的发散,特别是概率思维的随机性和创造性.