椭圆的长点与长线

<正>命题已知A、B分别为椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左、右顶点,点M (m,0)(异于椭圆中心和长轴的端点),直线l:x=a~2/m.(1)若过点M的直线交椭圆于C、D两点,直线AC与直线BD交于点P,则点P在定直线l上;(2)若点P直线l上,直线PA、PB分别交椭圆于点C、D,则直线CD过定点M.     

一道全国高中数学联赛试题的进一步研究

2014年全国高中数学联赛试题B卷解析几何试题为:如图1,椭圆Γ:x2/4+y2=1,A(-2,0),B(0,-1)是椭圆Γ上的两点,直线l1:x=-2,l2:y=-1,P(x0,y0)(x0>0,y0>0)是Γ上的一个动点,l3是过点P且与Γ相切的直线,C、D、E分别是直线l1与l2,l2与l3,l3与l1的交点,求证:三条直线AD,BE和CP共点.     

运用特殊化与一般化探究一道高考题

一、探究的起因2011年山东省高考数学卷文科第22题:在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2/3+y2=1,如图1所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆于点G,交直线x=-3于点D(-3,m).     

椭圆与一对特殊直径有关的若干性质

我们把经过椭圆中心的弦称为椭圆的直径.给定椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)(以下的椭圆E均指此椭圆),以A(2/2a,22b)和C(-2/2a,2/2b)为端点的两直径(其所在直线分别为l1:bx-ay=0、l2:bx+ay=0,以下的直线l1、l2均指此两直线)为一对特殊的直径,本文给出E与l1、l2有关的若干性质.性质1给定椭圆E,两条定直径AB、CD所     

大胆类比 谨慎求证

<正>在一次习题课中,我们做了一道解析几何习题,同学们大胆类比探索,热情很高,得出了一些结论,现展示如下:2原题已知椭圆C:x2/4+y2=1的左右顶4点分别是A1、A2,直线l:x=2(2)^(1/2)与x轴交于点D,点P是椭圆上的异于A1、A2的动点,直线A1P、A2P分别交l于E、F两点,求证:|DE|·|DF|恒为定值.证明设E(2(2)(1/2)与x轴交于点D,点P是椭圆上的异于A1、A2的动点,直线A1P、A2P分别交l于E、F两点,求证:|DE|·|DF|恒为定值.证明设E(2(2)^(1/2),e),     

有心圆锥曲线的一道五点共圆问题

<正>笔者探索得出有心圆锥曲线的一个优美性质,现写出来与大家交流、分享.性质如图1,设椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,直线l与椭圆E有且只有一个公共点M,且交y轴于点P,过点M作垂直于l的直线交y轴于点Q,则F1,Q,     

我为高考设计题目

题79已知椭圆x2/8+y2/4=1,过点P(1,1)作直线l与椭圆交于M,N两点.(1)若点P平分线段MN,试求直线l的方程;(2)设与满足(1)中条件的直线l平行的直线与椭圆交于A,B两点,AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点D,求证:CD∥AB.解(1)M(x,y),N(x,y),则有x+     

对2011年山东卷文科压轴题的探究

2011年高考山东卷文科压轴题：在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：x^2/3＋y^2=1.如图1所示,斜率为k（k〉0）且不过原点的直线L交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线0E交椭圆C于点G,交直线X=-3于点D（-3,m）．     

解析几何试题中几何条件代数化的探究

<正>在解析几何的学习中,学生往往面临着两大困难:一是将题目中的几何条件代数化,二是代数运算.例(2018年西城期末理科改编)已知椭圆x~2/4+y~2=1右顶点为A,直线l∶y=kx+3~(1/2),与椭圆C交于M,N两点.若直线x=3上存在点P,使得四边形PAMN是平行四边形,求直线l的方程.     

“圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质”再探

文[1]中给出如下定理:定理1椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),A(a,0),直线l与椭圆交于C,D两点,则AC⊥AD(?)直线l过定点((a(a~2-b~2)/(a~2 b~2)),0).笔者受其启发,给出以下几个定理.定理2点P(x_0,y_0)在椭圆b~2x~2 a~2y~2= a~2b~2(a>b>0)上直线l交椭圆于C,D两点(C,D异于P),则:PC⊥PD(?)直线l过定点     

2012年福建省高考数学试题一对姊妹题的探究

题1(2012年福建理19)椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=12.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆方程.(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道 ,针对圆的特殊几何性质 ,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系 .实际上 ,结合椭圆和双曲线的第一定义 ,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论 .引理 1　平面上 ,两点 F1 、F2 在直线 l的同侧 ,点 F′1 和点 F1 关于直线 l成轴对称 ,点 P在直线 l上 ,则 | PF1 | + | PF2 |≥ | F′1 F2 | (如图 1) .(证明略 )图 1　　　　图 2定理 1　直线上一点到椭圆两焦点的距离的和的最小值( 1)小于长轴长 ,则直线与椭圆相交 ;( 2 )等于长轴长 ,则直线与椭圆相切 ;( 3 )大于长轴长 ,则直线与…     

一道椭圆问题的解法探究

<正>最近在研究直线与椭圆位置关系问题时,发现求弦长的问题解法颇多,与大家分享.题目已知直线l:y=x-1与椭圆C:x²/3+y2/3+y²/2=1交于A,B两点,求弦AB的长度.分析1这是一道弦长问题.可以直接求出A,B两点坐标,然后利用两点间的距离公式.     

例析运用椭圆定义解题

<正>在求解一类已知一个焦点的椭圆问题时,要么束手无策,要么用繁杂的代数法求解,在有限的时间内难以计算出结果,此时若能添焦点,利用定义和几何性质去解决,则能豁然开朗,柳暗花明!例1已知椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A、B两点.若|AF|+|     

巧妙设参，探究拓展——以2022年高考数学新高考Ⅱ卷第16题为例

<正>1真题呈现高考真2题2(2022年高考数学新高考Ⅱ卷·16)已知椭圆■,直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,与x轴、y轴分别交于M,N两点,且■,则直线l的方程为___．此题以椭圆为问题背景,结合直线与椭圆位置关系的设置,综合线段的长度以及长度关系,唯一确定相应的直线方程．     

有心圆锥曲线切线的一个性质

经研究发现,椭圆有如下的一个与切线有关的优美而简捷的性质。性质1若A1,A2为椭圆x2/a2＋b2/y2=1（a〉b〉0）的左、右顶点,P为椭圆上任意一点（不同于A1,A2）,直线PA1,PA2分别交直线l：x=t于点M,N,以点P为切点的切线交直线l于点Q,则Q为MN的中点。     

射影几何背景下的2019年北京高考解析几何试题

<正>1试题呈现(2019年北京卷文科)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q.直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2.求证:直线l经过定点.     

圆锥曲线的一类切线的几何画法

下面是一个关于圆的切线判定的平面几何命题 :如图1所示 ,AB是⊙O的直径 ,EB是⊙O的切线 ,直线EA交⊙O于点D ,A ,点C是线段BE的中点 ,那么 :DC是⊙O的切线 .这个命题不仅给出了圆切线的一个几何画法 .而且可引伸出圆锥曲线的一类切线的几何画法 .本文以命题的形式介绍这种方法 .图 21　椭圆切线的一个几何画法命题 1　如图 2所示 ,AB是椭圆的长轴 ,过B的直线l⊥AB ,点D是椭圆上除长轴两端点外任意一点 ,直线AD交直线l于点E ,点C是线段BE的中点 .则DC是椭圆的切线 .证明　如图 2 ,建立直角坐标系 ,设椭圆图方程是x2a2 + y2b2 =1…     

试题研讨(15)

题　 (华中师大一附中等校 2 0 0 3届高考模拟考试五月卷 )已知圆锥曲线 E的一个焦点为 F( 2 ,0 ) ,相应的准线为直线 x =1 ,且曲线 E过点 ( 2 ,2 ) .( )求圆锥曲线 E的方程 ;( )当过焦点 F的直线 l的倾角α在何范围内取值时 ,曲线 E上有且仅有两个不同的点关于 l对称 .命题溯源　自广东省 1 986年高考题考查了椭圆上存在两点关于直线对称来探求参数范围的问题后 ,各地模拟题相继变形为抛物线 ,双曲线等其他曲线上的类似考题 ,主要考查学生处理直线与圆锥曲线的位置关系的能力和“代点相减”的解题技巧 .评卷分析　学生对第 ( )问都能…     

类比:让学生插上“发现”的翅膀——对两道高三数学试题的探究

波利亚指出:“数学家的创造性工作的结果是论证推理,是一个证明,但证明是由合情推理,是由猜想来发现的.”在中学数学教学中,运用类比思维的领域极广,如通过类比发现(猜想)新的问题以及发现问题的证明方法等,都是大有可为的. 例1 如何用向量判断直线与椭圆的位置关系? 设椭圆短半轴长为b,长轴为AA',直线l与过点A,A'且垂直于AA'的直线分别相交于两点M,M',则(1)→AM·→A'M=b2(=)直线l与椭圆相切;(2)→AM·→A'M＜b2(=)直线l与椭圆相交;(3)→AM·→A'M＞b2(=)直线l与椭圆相离.