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(a1,a2,…,an是正数,n∈且≥2)解证有关不等式问题,常常无法直接解决,而是先将解证的不等式进行适当的变形,凑出均值不等式的条件,再用均值不等式解决.这时,恰当的变形便成为解题的关键.下面介绍七种常用的变形技巧.1补项例1已知X>-1,且x≠0,n∈N,求证:(1+x)n>1+nx.证明例2设x1,x2,…,xn。都是正数,证明:2拆项例3已知a、b∈R ,且a≠b,求证:证明a5+b5例5已知a、b、c∈R ,且a+b+c=1,求证:证明例8已知a+b+c—1,$证:rt‘+b‘+C‘MM.证明”.”1一(a+b+c)‘一a‘+b’+c’+Zab+Zbc+… 相似文献
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浅谈柯西不等式的证明及应用 总被引:4,自引:1,他引:3
柯西(Cauchy)不等式(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)(ai,bi∈R,i=1,2…,n),当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn时等号成立.现将它的证明介绍如下:证明1(构造法):构设二次函数f(x)=(a1x b1)2 (a2x b2)2 … (anx bn)2=(a12 a22 … an2)x2 2(a1b1 a2b2 …anbn)x (b12 b22 … bn2),∵a12 a22 … an2>0,f(x)≥0恒成立,∴△=4(a1b1 a2b2 … anbn)2-4(a12 a22 … an2).(b12 b22 … bn2)≤0,即(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2),当且仅当aix bi=0(i=1,2,…,n),即a1b1=a2b2=…=anbn时等号成立.证明2(数学归纳… 相似文献
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若ai,bi∈R ,i=1 ,2 ,… ,n(n≥ 2 )则 (a21 +a22 +… +a2 n) (b21 +b22 +… +b2 n)≥ (a1 b1 +a2 b2 +… +anbn) 2证明 :若ai=0 ,命题显然成立若ai 不全为零 ,则设f(x) =(a21 +a22 +… +a2 n)x2 +2 (a1 b1 +a2 b2+… +anbn)x+(b1 +b2 +… +bn)=(a1 x+b1 ) 2 +(a2 x+b2 ) 2 +…+(anx+bn) 2 ≥ 0由于二次项系数a21 +a22 +… +a2 n>0所以Δ≤ 0即 4(a1 b1 +a2 b2 +… +anbn) 2 - 4 (a21 +a22 +…b2 n)(b21 +b22 +… +b2 n)≤0故 (a21 +a22 +… +a2 n) (b21 +b22 +… +b2 n)≥ (a1 b1 +a2 b2 +… +anbn) 2这是著名的柯西 (Cauchy)不等式 .下面… 相似文献
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一、原题再现 2014年高考数学北京(理)卷第20题:对于数对序列P:(a,b1),(a1,b2),…,(an,bn),记T1(P)=a1+b1,T1(P)=b1+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak)(2≤k≤n),其中max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数。 相似文献
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一个不等式的推广及应用 总被引:1,自引:0,他引:1
第 6 4届普特南数学竞赛 ( 2 0 0 3年 ) A2题为 [1 ] :设 a1 ,a2 ,… ,an 和 b1 ,b2 ,… ,bn 都是非负实数 ,则 ( a1 a2 … an) 1 n ( b1 b2 … bn) 1 n≤ [( a1 b1 ) ( a2 b2 )… ( an bn) ]1 n ( 1 )此不等式显然等价于 ( a1 b1 ) ( a2 b2 )… ( an bn)≥ [( a1 a2 … an) 1 n ( b1 b2 … bn) 1 n]n ( 2 )当且仅当 a1 b1=a2b2=… =anbn或 b1 ,b2 ,… ,bn 全为 0时取等号 .最近文 [2 ]给出了此不等式的一些应用 .本文首先给出 ( 2 )的一个推广 ,然后给出推广结果的一些应用 .定理 设 aij>0 ( i=1 ,2 ,… ,n;j=1 ,2 ,… ,… 相似文献
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学习过线性代数,就会知道:如果以实数为元素的矩阵的第一列的代数余因式顺次为A1,A2,…,Ak,那么,对于任意实数组a1,a2,…,ak成立等式:现在略加扩展,设a1、a2、…、ak表示向量组,而把(1)式作为这个向量组线性组合的行列式表示法的定义。例如从下面的命题中,可以看出定义(1)的作用。命题1设a1、a2、…、ak与b2,…,bk都是向量,令证令x一alal+aZaZ+…+a。a。则x·bZ一人(。1·b。)十八(a·bZ)+…+A*(。。·bZ)一同样X·句—…S·由一0命题2设a;,a。,…,a。是线性独立实向县组。。。(。)。。。。。… 相似文献
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定理1 设ai,bi〉0(i=1,2,…,n),若a1≥a2≥…≥an且b1≥b2≥…bn或a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn,n≥2,r,t〉0,rn-t〉0,s=∑ni=1ai,则 相似文献
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2011年高考湖北理科压轴题(第21题):
(Ⅰ)已知函数f(x)=lnx—x+1,x∈(0,+∞),求函数f(x)的最大值;
(Ⅱ)设ak,bk(k=1,2,…,n)均为正数,证明:
(1)若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,则a1^b1a^b2^2≤1; 相似文献
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设a1,n2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+62^2+…+b1^2)≥(a1b1+a1b2+…+anbn)^2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 相似文献
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瓦西列夫不等式的加强 总被引:2,自引:0,他引:2
本刊曾刊登了瓦西列夫提出的如下优美的不等式:设a,b,C〉0,a+b+c=1,则,^2a+b/b+c+b^2+c/c+a+c^2+a/+a+b≥2①笔者经过探索,得到了①的一个加强结果: 相似文献
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在某文稿中,作者讲述如何用向量来解题,有一个例子是用向量证明柯西不等式——对任意实数。a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn,n∈N*,有(a1+b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(612+b22+…+bn2),当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时等号成立.文稿给出的证明简要如下: 相似文献
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贵刊文[1]介绍了俄罗斯杂志《中学数学》刊登的一组不等式,其中之一是下面的瓦西列夫不等式:
设a,b,c〉0,且a+b+c=1,则
a^2+b/b+c+b^2+c/c+a+c^2+a/a+b≥2 (1) 相似文献
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排序不等式是说 ,对任意两组实数 a1≤ a2 ≤…≤ an和 b1≤ b2 ≤…≤ bn,以及 1,2 ,… ,n的任意一个排列 i1,i2 ,… ,in,均有 ni=1aibn-i 1≤ nj=1ajbij≤ ni=1aibi,上式取等号当且仅当 a1=a2 =… =an 或者 b1= b2 =… =bn.这个不等式的证明是简单的 ,它基于一个极其初等的不等式 :当实数 a1≤ a2 ,b1≤ b2 时 ,a1b2 a2 b1≤a1b1 a2 b2 .以面积作媒介 ,这个不等式有直观的几何解释 .在处理初等不等式方面的问题时 ,排序不等式是个基本的工具 .从理论上说 ,许多重要的不等式 (例如Cauchy不等式 ,常用的一些均值不等式 )均可由它直接… 相似文献