运用重心的性质证题举例

<正>三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,由重心的定义可知它有如下性质:(1)连顶点与重心,其延长线必通过对边的中心;(2)中线必过重心;(2)重心到各边中点的距离等于该边中线的1/3,重心到顶点的距离等于该边中线的2/3;即重心到顶点的距离与重心到对边中点距离之比为2∶1;     

费尔巴哈圆圆心到各边距离之和的一个不等式链

文 [1]给出了非钝角三角形内特殊点到各边距离之和的一个不等式链 :D0 ≥ DG≥ D1≥ DH,经过研究 ,本文得到了非钝角三角形的费尔巴哈圆圆心、重心、垂心到各边距离之和的另一个不等式链 .本文约定非钝角△ ABC的三边长分别为a、b、c,外接圆半径、内切圆半径、半周长、面积分别用 R、r、p、S表示 ,有以下定理定理　在非钝角△ ABC中 ,S为三角形的费尔巴哈圆圆心 ,DS表示圆心 S到各边距离之和 ;G为三角形的重心 ,DG表示重心 G到各边距离之和 ;H为三角形的垂心 ,DH 表示垂心 H到各边距离之和 ;则 DG≥ DS≥ DH,当且仅当是正三角…     

正三角形综合练习(上)

<正>三条边长相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.正三角形每个内角都等于60°.正三角形是特殊的等腰三角形,它有三条对称轴.它的内心、外心、重心、垂心是同一点,叫做正三角形的中心.正三角形的性质极为丰富,因此在几何练习题中经常出现.注意:等腰三角形中有一个内角为60°,这个三角形是正三角形.例1 P为正三角形ABC内任一点,则P点到正三角形三边距离的和等于定值     

浅谈三角形的“重心”

一、三角形重心的性质: 1、三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。(部编教材第二册P35页) 2、△ABC的重心G到BC边的中点M的距离GM等于中线AM之长的1/3,从而G到BC的距离GP等于高AD之长的1/3。 3、若G为△ABC的重心,则以G为公共顶点的三个三角形GBC,GCA。GAB的面积相等。各为△ABC的面积的1/3。二、三角形重心的应用:     

等边三角形性质在证几何题中的应用

等边三角形具有下述基本性质:1.三边相等,2.三内角都等于60’,3.三条高(也是中线)相等且等于江。;4.面积为它了。2。(。表边 艺4长)。 这些性质在平面几何、立体几何的求解与证明中经常用到。当证明角相等,线段相等时,灵活运用它,容易打开思路,便于找出规律。在解决极值间题时,使用旋转的方法很有效。然而旋转60。,实质就是作一个辅助等边三角形,使思考过程由繁变简,由难变易,效果很好,在有关曲边形计算问题中,若把复杂图形视作某些基本图形的组合体,等边三角形常常是重要的奠基石,分解组合后,问题便由隐变显了,思路豁然开朗。因此,等边三角…     

最大内角不等于120°的三角形性质

<正>费马点以三角形各边为边长向形外作等边三角形,则三个等边三角形的外接圆共点.该点称为三角形的费马点.显然,最大内角小于120°的三角形的费马点在形内,最大内角大于120°的三角形的费马点在形外,最大内角等于120°的三角形的费马点是120°角的顶点.本文对最大内角等于120°的三角形不作介绍了     

欧拉线的共轭线

概念位于三角形的各边上，且将周长两等分的点叫周界中点，顶点和周界中点的连线叫周界中线，三条周界中线交于一点，这点叫三角形的界心．大家知道欧拉线，即三角形的垂心、重心和外心共线，且重心到垂心的距离等于重心到外心距离的两倍，与此极其相似的是定理三角形的界心、重心和内心共线，且重心到界心的距离等于重心到内心距离的两倍．引理1三角殂一边上的周界中线平行于内心与这边中点的连线证明如图1，△ABC中，三边为a、b、C，AD是BC上的周界中线，M是BC的中点，AE平分LA，I是AABC的内心．引理2三角形的界心到一个顶点的距…     

新发现的一条类欧拉线

三角形的垂心、重心、外心三点共线 ,且垂心到重心的距离等于重心到外心距离的 2倍 ,这就是著名的欧拉定理 .前不久 ,人们又发现了一条类似的欧拉线 :三角形的界心、重心、内心三点共线 ,且界心到重心的距离等于重心到内心距离的 2倍 [1 ] .笔者在研究中又发现了一条新的类似欧     

三角形的内心和重心所在直线的一个有趣性质

本文继续探究与欧拉线有关的问题,并给出三个新的有趣结果:(1)当不等边三角形的重心和内心所在直线垂直该三角形的一边时,重心和内心到该边距离之比为4:3;(2)直角三角形中,重心与内心的连线垂直三角形的一边,则该边与其余两边的比为3:4:5;(3)直角三角形的重心与内心的连线与一直角边交于一点,若内心到该交点的距离是内心与重心距离的■倍,则该三角形的三边之比为1:■:2.     

数学问题解答

546、试证:一个三角形三边相等的充分与必要条件为:三角形内任一点到三边的距离之和为定值。     

三角形的四心性质在竞赛中的应用

<正>三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形的重要概念.重心:中线的交点,重心将中线长度分成2∶1;垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.利用三角形的四心的性质去解题是初中数学竞赛热点.     

正弦定理的一个推论及其应用

这样,我们可将三角形的任意两边之和与第三边的关系完善为:三角形的任意两边之和大于第三边,而小于或等于第三边与该边所对的半角的正弦之比。     

与等边三角形有关的定值问题

等边三角形是最特殊的三角形,其内部任一点到三边的距离和为定值,这个定值被人们熟悉和重视.其实,与等边三角形有关的定值问题还有很多.现举几例予以说明,仅供大家参考.例1 如图1,点P是等边三角形ABC内任意一点,AB =a,过点P作三边的平行线,分别交直线AB,BC,AC于点D,E,F.求证:PD+ PE+ PF=a.     

Ⅰ.“两边和等于第三边”

“两边之和大于第三边”这是三角形三边关系的必然结果,可现在我们却发现了“两边之和等于第三边”的三角形。不妨先看题: 确定使a,a 1,a 2为钝角三角形的三边的a的取值范围。解要使a,a 1,a 2为三角形的三边,则必有a>0,     

凸n边形内Fermat点问题的初等证明

本文中,凸n边形内Fermat点是指形内到此n边形各顶点距离之和为最小的点。之所以这样相称的原因是因为法国数学家Fermat最先研究了这个问题,不过他只研究了三角形的情形。即指出了:在各顶角均小于120°的三角形中存在着唯一的到各顶点距离之和为最小的点,这一点就是形内对此三角形各边张角均为120°的点。对一般的凸n边形,有相应的命题: 如果一凸n边形内存在一点满足性质:此点至这n边形的各顶点所引的单位矢量之和为0,则这一点是此n边形内唯一的Fermat点。上述结论可以用数学分析的方法加以证明,即借助多元函数的极值理论。但是,似乎还一直未出现过这个一般性问题的初等证明,本文则将对此给出一个简明的初等几何证明。为了利于叙述和证明,这里用另一方式叙述上命题的条件,这要用到关于复数的一些简单知识。先给     

费马点、拿破仑点、重心、垂心与相似形

你了解费马点吗 ?它是这样定义的 :在一个锐角三角形中 ,与三个顶点的距离之和最小的点 ,叫费马点 .分别以△ABC的三边为底边 ,向形外作等边三角形 ,如图 ,连结AC′、BA′、CB′,你会发现神奇的现象 ,这三线交于一点 .这一点就是费马点 .如果A′、B′、C′是等边三角形的中心 ,连结AC′、BA′、CB′,这三线仍然交于一点 .这个点人们称为拿破仑点 .连结A′、B′、C′,△A′B′C′竟然是等边三角形 ,这个等边三角形叫做拿破仑三角形 .10 0多年前 ,德国数学家基佩特 (Ludwigkiepert,1846-193 4) ,发现了一个更有趣的现象 ,费马点、拿…     

如何确定三角形一边的取值范围

<正>问题已知锐角△ABC的三边长分别为3、4、x,试确定x的取值范围.若只是一般三角形,大家很容易想到可根据三角形三边的关系:"三角形的两边之和大于第三边"、"三角形的两边之差小于第三边"得出1相似文献   

正则点、等力点及其他

1　近三年来关于三角形“正则点”的研究自 1 999年文 [1 ]提出三角形“正则点”概念后 ,近三年来围绕“正则点”的文章不断涌现 (见文 [2 ]～ [9]) ,形成了一个小小的热潮 .三角形所在平面内关于其三边的对称点构成正三角形的点称为三角形的“正则点”.关于三角形的“正则点”的主要结果有 :( 1 )正则点的分布1正三角形只有一个正则点 ,即其中心 ;2最大角小于 1 2 0°的非等边三角形 ,内部外部各有一个正则点 ;3最大角等于 1 2 0°的三角形 ,在外部及最长边上各有一个正则点 ;4最大角大于 1 2 0°的三角形 ,其两个正则点都在三角形的外部 .…     

构造三角形 解梯形问题——一道世界团体锦标赛试题的解法探究

对第7届世界团体锦标赛少年组团体赛第17题的解法进行了深入研究,通过构造三角形将梯形问题转化为三角形问题.利用三角形的性质得到了多种解法.一是借助15°角构造其中一角为30°角的直角三角形,再运用勾股定理求解;二是借助15°角和45°角,或120°角构造等边三角形,然后利用三角形的性质求解;三是构造相似三角形,运用勾股定理和相似三角形性质求解.通过“一题多解”,有利于培养学生分析问题和解决问题的能力,有利用于提升学生的数学核心素养.     

费马点性质及其应用

在诸如电力线的建设、道路修建等最优化实际应用中，需要选定最佳点位置，以使该点与其它相关点的距离之和为最小．而平面几伺中三角形的费马点恰好具有这样的属性，因此费马点性质在解决有关“距离和最小”类实际问题中，具有独特的功效．先回顾三角形费马点的定义与性质．定义设△ABC所在平面内有一点P，满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P点为△ABC的费马点（如图1）．容易知道，一个三角形的费马点存在且唯一。性质三角形的费马点，是平面上所有点中到三角形的三个顶点的距离之和为最小的点．这个性质，可用很优美的平面几何…