浅谈三角形的“重心”

一、三角形重心的性质: 1、三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。(部编教材第二册P35页) 2、△ABC的重心G到BC边的中点M的距离GM等于中线AM之长的1/3,从而G到BC的距离GP等于高AD之长的1/3。 3、若G为△ABC的重心,则以G为公共顶点的三个三角形GBC,GCA。GAB的面积相等。各为△ABC的面积的1/3。二、三角形重心的应用:     

四面体“重心”的探求

陈省身说:“数学是什么?数学是根据某些假设用逻辑的推理得到结论”.在直线(一维空间)上,线段的中点是它的两等分点,即是说中点到一个端点的距离是它到另一个端点距离的一倍;在平面(二维空间)里,三角形的重心是三条中线的交点(三条中线交于一点),重心到各顶点的距离是它到对边中点距离的2     

欧拉线的共轭线

概念位于三角形的各边上，且将周长两等分的点叫周界中点，顶点和周界中点的连线叫周界中线，三条周界中线交于一点，这点叫三角形的界心．大家知道欧拉线，即三角形的垂心、重心和外心共线，且重心到垂心的距离等于重心到外心距离的两倍，与此极其相似的是定理三角形的界心、重心和内心共线，且重心到界心的距离等于重心到内心距离的两倍．引理1三角殂一边上的周界中线平行于内心与这边中点的连线证明如图1，△ABC中，三边为a、b、C，AD是BC上的周界中线，M是BC的中点，AE平分LA，I是AABC的内心．引理2三角形的界心到一个顶点的距…     

四面体的重心与垂心的性质

1 四面体的重心 由三角形的一个顶点与对边的中点为端点确定的线段称为三角形的中线,三角形的3条中线交于一点(此点称为三角形的重心),且这点是顶点与对边中点连线的3等分点(靠近对边的中点).类比三角形的中线与重心,遵循"点到棱、线到面、共点线到共点面"的类比原则,容易想到"由四面体的一条棱与对棱的中点确定的平面称为四面体的中面"这一新定义.     

三角形的内心和重心所在直线的一个有趣性质

本文继续探究与欧拉线有关的问题,并给出三个新的有趣结果:(1)当不等边三角形的重心和内心所在直线垂直该三角形的一边时,重心和内心到该边距离之比为4:3;(2)直角三角形中,重心与内心的连线垂直三角形的一边,则该边与其余两边的比为3:4:5;(3)直角三角形的重心与内心的连线与一直角边交于一点,若内心到该交点的距离是内心与重心距离的■倍,则该三角形的三边之比为1:■:2.     

三角形中线的一个性质的妙用

在初中阶段 ,我们学习了许多关于三角形的性质 ,其中三角形中线性质 :在三角形中 ,三条中线交于一点 (这一点通常被称为三角形的重心 ) ,且重心把每一条中线分为从顶点到重心与从重心到中线所在边中点距离之比为 2∶1的两条线段 .这是人所共知的 .图 1然而 ,三角形中线的另一个性质 :(下称“中线模型”)“设ＡＤ为△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线 ,任作ＥＦ使ＥＦ∥ＢＣ ,分别交ＡＢ、ＡＤ、ＡＣ(或其延长线 )于Ｅ、Ｐ、Ｆ ,如图 1,那么 ,ＡＤ穿过ＥＦ的中点Ｐ ,即ＦＰ =ＰＥ .”却很少在课堂上应用 ,也未引起同学们的重视 .这个与中线相关的平分…     

类比猜想又一例

<正>在文[1]中沈老师将平面几何中的一个结论"△ABC的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心且重心分中线之比为2∶1(从顶点到中点)."类比猜想得到立体几何中的一个结论:空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线,且四条中轴线交于一点,这点叫此四面体的重心,则空间四面体的重心分顶点与对面三角形的重心的连线之比为3∶1(从顶点到对面三角形的重心).本文再给出由平面几何类比到立体几何     

一道高中数学竞赛题的初中证法

<正>2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛第二题:在△ABC中,M、N分别为边AB、AC上的点,且满足(BM/MA)+(CN/NA)=1,证明:线段MN过△ABC的重心.分析我们知道,三角形的三条中线相交于一点,这个点称为三角形的重心.并且,重心把中线分成的两部分,从边的中点起到顶点止,两部分的比值为1/2.如图1,取BC的中点D,连结AD与MN的交点就是我们要证明的重心.只要作辅助平行线,应用平行线截线段成比例定理就能证明此题,知识和方法完全是初中课本中的内容.     

三角形的四心性质在竞赛中的应用

<正>三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形的重要概念.重心:中线的交点,重心将中线长度分成2∶1;垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.利用三角形的四心的性质去解题是初中数学竞赛热点.     

与外周界中点三角形有关的不等式

文 [1]给出了三角形的周界中点的定义 :定义 1　如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分为两条等长的折线 ,那么就称这一点为三角形的周界中点 .由于三角形任意两边之和大于第三边 ,因而三角形任一边上的周界中点必为这边的内点 .因此 ,我们不妨称定义 1中的周界中点为该三角形的内周界中点 ,以三个内周界中点为顶点的三角形称为该三角形的内周界中点三角形 .类似地 ,我们可以建立三角形的外周界中点及外周界中点三角形的概念 .定义 2　若将三角形的一条边延长 ,使其延长部分等于另两边之和 ,那么就称这条边与其延长部分构…     

应用凸多边形的重心公式证一类三角不等式

物理学告诉我们 :对于均匀分布的凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,若各顶点的坐标依次是Ａ1 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ａ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ａ3(ｘ3,ｙ3) ,… ,Ａｎ(ｘｎ,ｙｎ) .则这个凸ｎ边形的重心 (几何重心 )Ｇ的坐标是1ｎ∑ｎｉ =1ｘｉ,1ｎ∑ｎｉ=1ｙｉ .而且重心Ｇ位于凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的内部 ,当这个凸ｎ边形存在外接圆时 .重心Ｇ必在外接圆的内部 ,这个外接圆的圆心Ｑ到重心Ｇ的距离小于外接圆的半径Ｒ .即｜ＱＧ｜ <Ｒ.特别地 ,当凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的各顶点Ａ1 ,Ａ2 ,… ,Ａｎ 重合时 ,｜ＱＧ｜=Ｒ ,利用物体的重心公式Ｇ 1ｎ∑ｎｉ =1ｘｉ…     

由重心定理的证明谈a=2b型命题证法

证明a=2b型(或a=1/2b型)命题是平面几何中较常见的一类证明题,证法繁多,涉及定理广泛,但众多的证法通常可分别归属于四条思路,掌握这种思路后,再证明此类命题,便会得心应手,挥洒自如。例如重心定理的证明便可由此找出至少16种证法,下面进行逐一介绍。命题:求证三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。已知:△ABC的三条中线AD、BE、CF相交于点O,求证:AO=2OD(BO=20E、CO=20F) 思路一利用折半法就是把长线段(AO)二等分,再证明其中一份和短线段(OD)相等。证明时,取AO的中点P,证AP=OD或OP。=OD即可,证法如下:     

类比猜想又一例

在文[1]中沈老师将平面几何中的一个结论＂△ABC的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心且重心分中线之比为2∶1（从顶点到中点）.＂类比猜想得到立体几何中的一个结论： 空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线,且四条中轴线交于一点,这点叫此四面体的重心,则空间四面体的重心分顶点与对面三角形的重心的连线之比为3∶1（从顶点到对面三角形的重心）.     

一道课本习题与费马点

<正>一、问题提出:苏科版实验教科书九年级上册第一章第39页《图形与证明二·复习题》第14题如下(图1):三个城市A、B、C分别位于一个等边三角形ABC的三个顶点处,要在这三个城市之间铺设通信电缆,现设计了三种方案:(1)连接AB、BC;(2)连接BC,连接点A与BC的中点D;(3)找出到△ABC三个顶点距离相等的点     

规范五边形的性质和构造

<正>1引言三角形的中线有许多优美的性质,例如平分三角形的面积,三条中线交于一点(这点称为重心)等等.最近,华漫天老师在文[1]中类比三角形中线的性质引入了规范五边形的概念,并证明了规范五边形的重心和三角形的重心有类似的性质.下面介绍华老师的定义和结论.定义A如图1,五边形ABCDE中,边CD称为∠BAE的对边,∠BAE称为边CD的对角.设点F是边CD的中点,     

直角三角形斜边上中线性质的拓展和应用

<正>一、直角三角形斜边上中线的性质和拓展性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图1.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,D为AB的中点,则CD=1/2AB.拓展结论1直角三角形的三个顶点落在以斜边上的中点为圆心,中线长为半径的圆上.拓展结论 2直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形,它们的腰相等,面积也相等,而且它们的顶角互补,底角互余,一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍.二、性质及拓展结论的应用     

聚焦竞赛中的等边三角形

等边(正)三角形以其独有的三边相等,三个内角都等于60°的性质而受到各类竞赛的青睐,除此之外,等边三角形还具有一些其它的特殊性质:三线合一将等边三角形分成含有30°角的直角三角形;重心、外心、内心、垂心四心合一;等边三角形内任一点到三边的距离之和等于重心到三边的距离之和也等     

一个几何命题的应用

命题求证任意三角形的外心到一边的距离等于它的垂心与这边所对顶点距离的一半。这是一道众所周知的几何命题,在证题中,凡遇到具有三角形外心和垂心等条件的一类较复杂的证明题,往往可以应用此命题简捷地给出证明,现列举几例如下: 例1 如图1.已知O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心,求证C、G、H共线,且GH=2GO。证明作CM⊥BC于M,连结AM和AH,则AM为△ABC边BC上的中线;连结OH交AM于     

有限几何与试验设计

<正> 先从一个有趣的智力测验问题谈起. 问题1.园丁打算在草地上种七棵树,并且开辟七条小路,使得每条小路上恰好有三棵树,每棵树恰好在三条小路上.他应该怎样安排小路和树的位置? 解.如图1,六棵树分别种在△ABC的三个顶点A,B,C,三边的中点D,E,F,以及三角形的重心G;七条小路分别取成△ABC的三边,三条中线,以及过三边中点D,E,F的圆周,就能完全满足问题的条件. 这个设计方案还有一个妙处:在六棵树中任意指定     

四面体

四面体又叫三棱锥 ,它是最简单、最基本的多面体 .四面体在立体几何中的地位就象三角形在平面几何中的地位一样 ,在数学竞赛中 ,立体几何以四面体为主要内容 .1　一般四面体由于四面体是三角形在空间的推广 ,因此 ,三角形的许多性质也都可以推广到四面体 :1 )连接四面体对棱中点的线段交于一点 ,且在这里平分这些线段 .2 )连接四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点Ｇ ,且这点将所在线段分成的比为 3∶1 ,Ｇ称为四面体的重心 .3)每个四面体都有外接球 ,球心Ｏ是各条棱的中垂面的交点 ,此点到各顶点距离等于球半径 .4)每个四面体都有内切…