翻转与折叠变换的应用

<正>数学中平面图形的变换主要包括:平移、旋转、翻转与折叠(以下简称"翻折")等几个方面,它们所蕴含的数学思想、方法丰富,在培养同学们的空间观念、几何直观等方面有很好的作用;特别图形变换中所蕴含的不变原则能指引同学们合理的推理、探索.笔者就图形变换中的翻折问题选取几例,与大家交流.一、翻折变换在生活中的运用例1(2013年青海西宁)在折纸这种传统手工艺术中,蕴含许多数学思想,我们可以通过折纸得到一些特殊图形.把一张正方形     

利用折纸来改善数学教学——从芳贺第一定理谈起

1 .前言提起折纸 ,我们往往会想到用一张四方的纸来折自然界的各种动植物或现实世界中人类的各种创造物等 ,在手工课上 ,学生如果拿到一张纸 ,没有老师的指示 ,他们也会情不自禁地折出一些作品来 ,但利用折纸来改善数学教育 ,对许多中小学数学教师来说可能是一件新鲜事 .在我国 ,折纸中的数学问题作为课题学习或研究性学习的材料 ,已引起部分数学教师及数学教育研究人员的关注 ,部分数学教育工作者在自己的教育科研实践中作了一些尝试 .但这些活动大多以折正多边形及立体为主 ,即主要关注怎样折各种几何图形 ,而对折痕线或折纸过程中所得平…     

一节数学课的改进过程

近日,我校的一位老师要参加市级数学优质课比赛,内容为抛物线及标准方程 (第 1课时),在备课中,我们一起经历了 2次设计与方案修改、2次试讲与行为改进的过程,本文将展现这一过程.1. 教学的设计与讨论1.1　设计方案初稿:①折纸游戏;根据图 1演示折纸 (后改为:阅读游戏规则,动手操作折纸)②观察、发现 1:折线的交点是抛物线③几何画板动态演示折纸过程及抛物线④探究、发现 2:抛物线上的点到定点的距离等于到纸边的距离⑤形成定义: (学生概括,教师补充 )平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的…     

折纸告诉你直角等分问题的数学原理

一、问题的引入 我们知道,一张正方形的纸（如图1）如果按其对角线AD往上翻折,那么右下角∠D就被平分了,即将一个90°的角分成了两个相等的45°角．因此很容易利用折纸的方法得到直角的角平分线．那么,如何用最直接的方法得到直角的三等分线呢？如图2,先将正方形纸片对折,得到折痕MN,再将右底角向上翻折,使得翻折后的顶点落在折痕MN上,如图3．     

深耕“数学实验” 共话“做中学” 引领“深度学习”

教师需大胆将数学实验融入课堂教学,深入探寻实验设计的有效策略,让数学实验有效开展,引导学生在做中学,从而在独立思考、自主操作和深度探究中实现深度学习.文章探讨了“做中学”主张下数学实验的教学前提,并以“用折纸做特殊三角形”的数学实验课为例进行阐述,提出深耕“数学实验”,用“做中学”的理念引领学生“深度学习”,提升数学核心素养.     

矩形折纸中的风采探究

近几年来,折纸成为中考的热点,难点,它不但考查学生灵活运用数学知识的能力,而且也考查了学生看图、识图、动手操作能力.解决这类问题的关键是:把握折纸实质上是以折痕为对称轴的轴对称,充分利用翻折前后的两个图形全等,问题就容易解决了.下面谈谈矩形折纸中的数学问题. 一、折叠出正方形 矩形最基本的折纸,就是用一张长方形纸片折一个正方形. 如图1,可以折出正方形, 二、折叠出菱形 例1已知:如图2所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接AF和CE.     

三角形中的不等关系

平面几何中最基本的图形是什么?三角形。三角形中最基本的关系是什么?边或角的相等关系和不等关系。相等关系比不等关系特殊得多,在中学几何里也就研究得多、事实上,不等关系比相等关系更丰富、处理起来能力要求更高,因此它是数学竞赛的好素材。     

如何证明线段相等

在平面几何中 ,证明两条线段相等是一种最常见的题型 .常用的证明方法有 :利用三角形全等、利用等角对等边、利用特殊四边形 (如平行四边形、等腰梯形等 )的有关性质、利用平行线等分线段定理、利用比例线段等等 .本文仅谈谈如何利用三角形全等和等角对等边证明线段相等的问题 ,供参考 .(一 )利用三角形全等利用三角形全等是证明两条线段相等最常用的手段 .当要证明两条线段相等时 ,可以证明它们所在的三角形全等 .证明三角形全等最主要的方法有SAS、ASA、SSS以及HL .例 1　如图 ,已知AC⊥BD于C ,AC =BC ,BE⊥AD于E ,BE交AC于F …     

直角三角形相似的判定

1　从一般到特殊 ,发现新命题启发学生回顾和小结一般三角形相似的判定方法 (填入下表中 ) :一般三角形直角三角形1 .两角对应相等 ,两三角形相似 ;1′.一锐角对应相等 ,两直角三角形相似 ;2 .两边对应成比例且夹角相等 ,两三角形相似 ;2′.两直角边对应成比例 ,两直角三角形相似 ;3.三边对应成比例 ,两三角形相似 .3′. (暂空 )　　　 T:直角三角形是一般三角形的特殊情形 .两直角三角形已有一直角对应相等 .从一般三角形相似的判定 ,到直角三角形相似的判定 ,一般地 ,可以减少一个条件 .那么 ,直角三角形相似的判定方法应是怎样的呢 ?S1 …     

等腰三角形性质与判定的应用

1.复习提问师:前面我们研究了等腰三角形,请大家回顾,等腰三角形有哪些性质?生:等腰三角形的两条腰相等,两个底角相等,顶角的平分线、底边上的高、中线互相重合.师:判定一个三角形是等腰三角形的方法有哪些?生:有两条边相等或有两个角相等的三角形是等腰三角形.     

例析涉及三角形中线的数学竞赛题

三角形的中线是三角形中的重要线段,有着许多的性质和用法,在各级各类竞赛中时常出现涉及三角形中线的题目.本文从中分类采撷几例.一、运用三角形的中线等分三角形的面积解题我们知道三角形的每一条中线分三角形为面积相等的两个三角形.所以当面积问题中出现线段的中点时,可尝试寻找相应的三角形及中线,运用该性质解题.例年全国初中数学竞赛)点     

把握问题本质,提高关键能力——“折叠与翻折问题”复习课教学设计

1背景分析1.1课题的地位和作用轴对称变换是三大基本图形变换中的一种.折叠与翻折问题是中考常见的题型,主要考查轴对称的基本性质、特殊四边形的性质、勾股定理、相似三角形的性质等知识.本课例基于图形的翻折,从运动变化的视角让图形动起来,在运动或变换中研究、学习、揭示图形的性质.这样,一方面,加深了对问题本质的认识,形成系统化的数学知识体系;另一方面,促进学生思维,进而有效地培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等关键能力.     

对整数边长的倍角三角形问题再探

《中学生数学》2011年9月下刊登了魏祥勤、魏秀英二位老师的一文《探究一类边长都是特殊整数的倍角三角形问题》,文章通过角平分线性质及勾股定理的应用,得到了几个结论,受二位老师的启发,本人以角平分线性及相似三角形性加以新的探讨,并补充第三种分类情形.     

折纸游戏中的数学

折纸游戏是能带给我们许多美好回忆的童年游戏之一.也许我们当时在游戏时只是记住了一些折法,而对折法中蕴涵的一些数学知识未必知晓.其实,对于不同年龄阶段的学生,我们都可以通过折纸游戏设计出一些相关的数学问题,让学生在玩中学习,这样不但可以提高学生的动手能力,还可以培养学生学习数学的兴趣.     

等腰三角形与等边三角形

<正>我们在学习了全等三角形和对称知识的基础上,进一步学习了等腰三角形的概念、性质及其判定定理,我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形,等边三角形的性质与判定可以根据等腰三角形的性质与判定类比得出.先将等腰三角形与等边三角形的基础知识进行简单的梳理:等腰三角形定义:有两边相等的三角形.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成"等边对等角").     

中考中的折纸问题

<正>折纸问题有利于考查学生的动手操作能力、逻辑思维能力、逻辑推理能力,空间想象能力,这类问题已成为近几年中考的热点问题.略举几例如下,供参考.一、折正方形纸片例1(2012年贵州省遵义市中考题)把一张正方形纸片如图1(1)、图1(2)对折两次后,再如图1(3)挖去一个三角形小孔,则展开后图形是().     

利用面积法求有关线段的长

面积法就是通过面积的相互转化或面积与边、角关系的互相转化,而使问题得到解决的方法.对三角形而言,就是指利用三角形的面积自身相等的性质,或根据等高(底)的两个三角形的面积之比等于对应底边(对应高)的比的性质等进行解题的一种方法.利用面积法解题具有便捷、快速的特点,它是中学数学中一种常见的解题方法.现举例如下.一、利用三角形的面积自身相等的性质求线段的长问题1:已知等腰△ABC中,AB=AC=10,底边BC上     

折纸与尺规作图

1折纸概述折纸是古代中国和日本的一种艺术形式．在折纸创作时，折纸能手是从一张正方形的纸开始的。     

证明相似三角形的若干途径

一般相似三角形的判定方法有 :1.定义判定法 .此方法因证明过程中所需的条件太严格 ,即三个角相等 ,三边对应成比例 ,故一般不用它来判定 .又由于三角形具有稳定性 ,所以在实际解题中常使用削弱条件的几个判定定理 :2 .两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似 ;3.两角对应相等的两三角形相似 ;4 .三边对应成比例的两三角形相似 ;5.平行于三角形的一边的直线截其他两边 ,截得的三角形与原三角形相似 ;对特殊的三角形———直角三角形 ,除满足以上五种判定方法外 ,还有其自身的判定方法 ,即 :6 .斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形…     

从芳贺第一定理看折纸数理学的教育价值

一、前言折纸是一种常见的活动,在我们的印象中、折纸是幼儿园或者是小学低年级儿童玩的"把戏".近年来随着研究与探索的不断深入,折纸过程中隐藏的数理已形成了一门可以称之为折纸数理学的学问,中外有很多的数学教育科研人员及数学教师将之导入到自己的数学教学活动中.