求阴影部分面积的十二种方法

面积问题是中学数学的重要内容之一 ,每年全国各省市中考数学试题中 ,都有求阴影部分面积的试题 .因此 ,重视和加强阴影部分面积的解法技巧的教学是十分必要的 .为了帮助同学们学习 ,本文小结了计算阴影部分面积的几种常用方法 .1　直接法运用规则图形 (如圆、扇形、弓形、正方形、矩形、菱形、平行四边形、三角形、梯形等 )的面积计算公式计算出阴影部分的面积 ,这种计算面积的方法叫做直接法 .这是求图形面积的基本方法 ,其他图形的面积问题常转化成规则图形来解决 .例 1　如图 1 ,已知△ ABC内接于⊙ O,且 AB=BC=CA =6cm,求图中阴影…     

巧求圆中阴影部分的面积

<正>圆中阴影部分面积的计算是历年来中考关注的热点.这类题目灵活多变,解决此类问题时往往要用到割补、图形的平移、旋转等图形变换,现结合例题进行讲解.割补法例1如图1,在半径为2,圆心角为90°的扇形内,以BC为直径作半圆,交弦AB于点D,连接CD,则阴影部分的面积为_.分析已知BC为直径,则∠CDB=90°,在等腰直角三角形ABC中,CD垂直平分AB,CD=DB,D为AB的中点,阴影部分的面积可以看做是扇形ACB     

例谈阴影部分面积的求值技巧

求阴影部分面积,通常是根据图形的特点,将其分解、转化为规则图形求解.本文介绍在转化过程中的几种常用方法.1直接法当已知图形是读者所熟悉的基本图形时,先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小,然后直接代入公式进行计算.图1例1如图1,在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于点P,则图中阴影部分的面积为A.32πB.43πC.43πD.π3解析依题设,有EN=PE=AB=1,EC=21BC=23.在Rt△ECN中,NC=EN2-EC2=1-43=21.从而有∠NEC=30°,同理:∠MEB=30°,所以∠MEN=180°-2×30°=120°,因此S扇形MEN=1203π6.012=π3.故选D.2和差法当图形比较复杂时,可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉图形的面积的和或差来计算.例2如图2,AB和AC是⊙O的切线,B、C为切点,∠BAC=60°,⊙O的半径为1,则阴影部分的面积是图2A.3-32πB.3-3πC.23-3πD.23-π解析连结OB、OC,则S阴影=S四边形ABOC-S扇形OBC,由于∠BOC=180°-60°=120°,所以S扇形OBC=1326...     

中考数学试题中阴影部分面积的解题策略

<正>在数学学业水平考试试题中,有关图形阴影部分面积的计算往往不会只是简单地求某个单一图形或者规则图形的面积,而是将三角形、正方形、矩形、扇形、圆等多种图形进行组合,求组合后形成不规则图形阴影部分的面积.[1]这种不规则图形面积的计算,有时找不到突破口,但是通过适当的几何变换和图形的割补,这类图形的面积是可以分类解决的.1直接法不需要经过变换,直接利用基本图形面积的和差即可计算不规则图形阴影部分面积.     

正方形与圆组成的阴影部分面积求法

图1问题1(人教版新课标九年级上P114习题24.4复习巩固3)如图1,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,求图中阴影部分的面积.解如图1,过正方形对角线交点O作OO1⊥AB,垂足为O1,连AO.S弓AO=S扇AO1O-S△AO1O=14π·(a2)2-12·(a2)2=πa216-a28.S阴=8S弓AO=8×(πa216-a28)=πa22-a2.图2问题2如图2,正方形的边长为a,以正方形ABCD的四个顶点为圆心,a2为半径画弧,求图中阴影部分图形的面积.解S阴=S正-4S扇EAF=S正-S圆=a2-π(a2)2=4-π4·a2.     

一个结论的妙用

结论两个面积相等的图形有部分重合,则每一个图形不重合部分的面积相等.应用图1例1(2007年遵义市中考题)如图1所示是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形ABC沿BC方向平移得到△DEF.如果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为cm2.简析根据模型,两个三角形是全等的,     

让精彩转起来

<正>我们知道图形旋转,不会改变图形的大小和形状,对应点到旋转中心的距离相等.其实,由符合某些特定条件的图形,它们在旋转后所形成的阴影部分的面积也不发生改变.例1如图1,正三角形ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心,∠DOE=120°且点B在扇形内,将扇形ODE绕点O无论怎样旋转,△ABC与扇形重叠部分的面积总等     

移静止图形 求阴影面积

有关求阴影面积的题型,往往题目不大,而由于复合图形较复杂,所求面积的阴影图形不规则,解起来麻烦.若将图形的某个部位进行平移、旋转、翻折、搬迁等移动,会使阴影图形直观、规则,数量关系明显,解题思路柳暗花明.     

剪切·粘贴·替换

求不规则图形的面积,同学们往往束手无策.如果学会剪切、粘贴、替换,解决这类问题就会得心应手.下面举例说明. 例1 如图1,矩形ABCD 中,AB=1,BC=2,以B为圆心,BC为半径画弧,交AD于F,交BA的延长线于E,求图中阴影部分的面积. 分析先剪切梯形BCDF,得到扇形BFE,再剪切三角形ABF,剩余图形就是阴影部分.即S阴影=S扇形BFE-S△ABF.     

求阴影部分面积的几种常用方法

一、和差法仔细观察图形,明确该图形是由哪些简单而规则的图形组合而成,利用这些基本图形的和与差求出阴影部分的面积.例1如图1,在Rt△ABC中,已知∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=A′     

剪切 组合 替换

面对中考试题中求不规则图形面积问题 ,很多同学感到束手无策 .如果学会运用剪切、组合、替换等方法 ,那么解决这类问题就会得心应手 .图 1例 1　如图 1,已知矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =1ｃｍ ,ＢＣ =2ｃｍ ,以Ｂ为圆心 ,ＢＣ为半径作 14 圆弧交ＡＤ于Ｆ、交ＢＡ延长线于Ｅ ,求扇形ＢＣＥ被矩形所截剩余部分的面积 . (甘肃 )分析　剪切梯形ＢＣＤＦ ,得到扇形ＢＦＥ .在扇形ＢＦＥ中 ,剪切 (减去 )三角形ＢＦＡ ,所剩图形为所求 .即Ｓ阴影 =Ｓ扇形ＢＦＥ-Ｓ△ＢＦＡ.注　通过剪切 ,问题转化为求规则图形的面积 .图 2例 2　如图 2 ,阴影部分为一…     

把几何问题转化为函数问题

<正>建立适当的平面直角坐标系,把几何计算问题转化为函数问题来解,可以充分利用数形结合的优势,起到优化解题途径,达到快捷解题的目的.例1将边长为2、3、5的三个正方形按图1方式排列,则图中阴影部分的面积为__.     

阴影部分的面积一样大吗?

<正>《中学生数学》初中版2015年第9期刊登了胡怀志老师提供的一道课外练习题(初一年级第3题):计算下面两个阴影部分的面积,并比较大小.若图1、图2中阴影部分的面积分别为S_1、S_2,从图中可直观地看出,图1中的阴影部分是图2中阴影部分的一部分,因此S_1相似文献   

从课例出发谈“旋转变换”方法在几何学习中的作用

在同一平面内,把一图形绕定点沿着某一方向转动一个角度,叫做图形的旋转变换．图形旋转有两个重要元素：旋转中心0和旋转角．在旋转过程中图形的形状大小不发生改变,只是位置改变．我们在运用图形旋转变换时,要始终把握图形运动的旋转中心与旋转角这两个要素．旋转角、旋转中心往往为添加辅助线、构造中心对称图形提供了参考条件;图形旋转的不变性也是寻找全等形的依据．本文结合实际的教学实践,从几个方面来阐述旋转变换思想方法在几何学习的作用．     

用整体代换构造圆或半圆求面积

有一类关于求阴影部分面积的几何题,我们可以根据题意,把整个图形看成阴影部分、基础图形,如三角形、正方形、菱形等,以及圆或半圆.利用整体代换,求阴影部分的面积。可以起到事半功倍的效果.现举例说明如下:     

对称思想在解题中的应用

对称思想在数学问题中是广泛存在的.近几年的高考中都占有一定的比例.如果能发现或挖掘问题中的对称特征,为解题会带来意想不到的效果. 一、抓住图形的对称特征 例1 在平面直角坐标系中,一个圆心在(a,b)的圆包含原点,设此圆在第一象限及第三象限的面积之和为S1,在第二象限及第四象限的面积之和为S2,求S1-S2的值. 分析如图1,S1=SOAPC SOBD,S2=SODQA SOBMC.由于圆的半径未知及组成S1、S2的四个部分的面积都不便用式子计算,要想用代数计算求S1-S。是很困难的.但是,注意挖掘图     

旋转中心与相似

<正>旋转的定义:把一个平面图形E绕着平面内某一点O转动一个角度,得到另一个图形F,这样的图形变换叫做旋转变换.其中,点O叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角.旋转的性质之一,旋转前、后的图形全相等,即对应边、对应角相等.提到旋转大家想到的一定是全等,其实旋转中也有相似,下面以三角形旋转为例,谈一谈旋转中的相似.△ABC以A为旋转中心,逆时针旋转α度,连接BD,CE.如图1,当α为任意角度时,     

旋转变换综合问题的解决策略探析

旋转变换是新课程标明确规定的重要内容之一,由于它有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识,故在各地中考中,出现了将旋转变换融人到几何图形的证明和计算中的综合试题,使问题充满着动感,富于变换,本文试就旋转变换思想在中考数学试题中的应用加以说明. 一、旋转变换知识归纳 1.定义:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度形成新的图形,这样的图形运动叫做图形的旋转,这个定点叫做旋转中心,图形转动的角叫做旋转角.旋转变换分为全等变换和相似变换.     

用等距平行线把平面封闭图形涂成阴影的线段条数及总长度

1 用平行线把平面封闭图形涂成阴影 在画图时,通常要把平面上的封闭图形涂成阴影(比如求阴影部分的面积时):用一组间距相等的平行线(即这组平行线中每两条相邻平行线 图1 用平行线涂阴影间的距离都相等)涂满这个封闭图形,如图1     

图形变换的性质及其教育价值

一、引言义务教育课程改革对几何课程体系作了较大调整,平面几何内容加大,其中"图形的变化"单独列出,并作为"图形与几何"的一个重要组成部分呈现.此外,图形变换(平移、对称、旋转)中的对称变换与旋转变换更是独立成章,并且,几何内容的编排更是有意突出让学生以图形变换的思想去探索三角形、平行四边形、圆等图