2002年第二期初中数学问题解答

一.当ｘ2=3ｘ-9时,试求ｘ3的值.解:∵ｘ2=3ｘ-9,∴ｘ3=ｘ2·ｘ=(3ｘ-9)ｘ=3ｘ2-9ｘ=3(3ｘ-9)-9ｘ=9ｘ-27-9ｘ=-27.因此,当ｘ2=3ｘ-9时,ｘ3=-27.二.设ｘ+ｙ+ｚ=ａ,则ｘ2+ｙ2+ｚ2≥ａ23.证明:∵ｘ+ｙ+ｚ=ａ,∵(ｘ+ｙ+ｚ)2=ａ2.也即ｘ2+ｙ2+ｚ2+2(ｘｙ+ｙｚ+ｘｚ)=ａ2.∴ｘ2+ｙ2+ｚ2=ａ2-2(ｘｙ+ｙｚ+ｘｚ).　①又∵(ｘ-ｙ)2≥0,　(ｙ-ｚ)2≥0,　(ｚ-ｘ)2≥0,∴(ｘ-ｙ)2+(ｙ-ｚ)2+(ｚ-ｘ)2≥0.同理得2(ｘ2+ｙ2+ｚ2)≥2ｘｙ+2ｙｚ+2ｘｚ.　②①+②得3(ｘ2+ｙ2+ｚ2)≥ａ2.因此ｘ2+ｙ2+ｚ2≥ａ23.三.若ａ,ｂ为整数,|ａ|≠|ｂ|,则ａｂ+ｂａ不可能是…     

巧用均值换元法 妙解因式分解题

本文以部分初中数学竞赛题为例,介绍均值换元法在因式分解中的应用.一.用ｔ=ａ+ｂ2换元例1　分解因式:(ｘｙ-1)2+(ｘ+ｙ-2ｘｙ)·(ｘ+ｙ-2).(1998年长春市初二数学竞赛题)分析:本题通常可以先去括号再化简整理进行分解因式,然而运算繁,不简捷,但巧取后面两多项式的平均项换元,就大不相同了.解:设ｔ=12〔(ｘ+ｙ-2ｘｙ)+(ｘ+ｙ-2)〕=ｘ+ｙ-ｘｙ-1,则ｘ+ｙ=ｔ+ｘｙ+1,所以原式=(ｘｙ-1)2+(ｔ+ｘｙ+1-2ｘｙ)(ｔ+ｘｙ+1-2)=(ｘｙ-1)2+〔ｔ-(ｘｙ-1)〕〔ｔ+(ｘｙ-1)〕=(ｘｙ-1)2+ｔ2-(ｘｙ-1)2=ｔ2=(ｘ+ｙ-ｘｙ-1)2=(ｘ-1)2(ｙ-1)2.二.用ｔ=ａ+ｂ+…     

用“若a+b=0,则ab≤0”解竞赛题

如果两实数ａ ,ｂ满足ａ +ｂ =0 ,则ａｂ≤0 .应用这个结论解答一些竞赛题十分简捷 .现举例说明 .例 1　ｘ ,ｙ ,ｚ均为实数 ,解方程组ｘ + ｙ =2ｘｙ -ｚ2 =1①②(1987年上海市初中数学竞赛 )解　由①得　 (ｘ -1) + (ｙ -1) =0 .∴ (ｘ -1) (ｙ -1) =ｘｙ-(ｘ + ｙ) + 1≤0 ③①、②代入③得　 (ｘ -1) (ｙ -1) =ｚ2 ≤ 0 ,∴　ｚ =0 ,　ｘ -1=ｙ -1=0 .故方程组的解是　ｘ =1,ｙ =1,ｚ =0 .例 2　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足ａ +ｂ +ｃ =0 ,ａｂｃ=8.求ｃ的取值范围 .(第一届“希望杯”初二数学竞赛 )解　由已知 (ａ + 12 ｃ) + (ｂ + 12 ｃ)…     

2003年第一期初中数学问题解答

一、求方程ｘ2 - 3ｘ + ｐ =0的整数根 ,其中ｐ为质数 .解 :令△ =( - 3) 2 - 4ｐ≥ 0 ,则 4ｐ≤ 9.∴ ｐ≤ 2 14 .∵ ｐ为质数 ,∴ｐ =2 .∴ｘ2 - 3ｘ + 2 =0 .解得ｘ1 =1,ｘ2 =2 .二、实数ｘ与ｙ,使得ｘ + ｙ,ｘ -ｙ ,ｘｙ ,ｘｙ 四个数中的三个有相同的数值 .求出所有具有这样性质的数对(ｘ ,ｙ) .解 :由于 ｘｙ 有意义 ,所以ｙ≠ 0 ,从而ｘ + ｙ≠ｘ -ｙ .因此 ,ｘｙ =ｘｙ ,即ｘｙ2 -ｘ =0 .所以ｘ =0或ｙ =± 1.( 1)若ｘ =0 ,则由ｘｙ =ｘ +ｙ或ｘｙ =ｘ -ｙ得 ｙ =0 ,这样与 ｙ≠ 0矛盾 .( 2 )若 ｙ =1,则由ｘｙ =ｘ + ｙ得ｘ =ｘ + …     

巧换元解不等式

在高三复习阶段 ,我遇到了这样一道题目 :设ａ ,ｂ,ｃ为三角形的三边 ,求证 :ａｂ +ｃ-ａ+ ｂａ +ｃ-ｂ+ ｃａ +ｂ -ｃ≥ 3.解答如下 :证明　令ｂ +ｃ -ａ =ｘ ,ａ +ｃ -ｂ =ｙ ,ａ+ｂ -ｃ =ｚ .则ａ =ｙ +ｚ2 ,　ｂ =ｘ +ｚ2 ,　ｃ =ｘ + ｙ2 .∴　 ａｂ +ｃ -ａ+ ｂａ +ｃ -ｂ+ ｃａ +ｂ -ｃ　 =ｙ +ｚ2ｘ + ｘ +ｚ2ｙ + ｘ + ｙ2ｚ　 =12 (ｙｘ+ ｚｘ+ ｘｙ+ ｚｙ+ ｘｚ+ ｙｚ)　≥ 12 ·66ｙｘ·ｚｘ·ｘｙ·ｚｙ·ｘｚ·ｙｚ　 =3.(证毕 )总结　对于给出的条件或待求的结论比较繁琐时 ,可首先考虑将其中的一个整体进行换元 ,从而达到解…     

分组分解法的基本思路

人教版初中《代数》第二册第八章介绍了因式分解的提取公因式法,运用公式法,分组分解法以及ｘ2+(ｐ+ｑ)ｘ+ｐｑ型式子的因式分解,其中的分组分解法是这几种方法中的重点和难点.本文介绍分组分解因式的几种基本思路,以帮助读者学好这部分的内容.一.直接分组1.按公因式分组例1　分解因式:ｘ2-ｘｙ+ｘｚ-ｙｚ.(2001年河北省中考试题)分析:多项式中第1,2项有公因式ｘ,第3,4项有公因式ｚ,可把它们各分为一组.解:原式=(ｘ2-ｘｙ)+(ｘｚ-ｙｚ)=ｘ(ｘ-ｙ)+ｚ(ｘ-ｙ)=(ｘ-ｙ)(ｘ+ｚ).2.按公式分组例2　分解因式:ｘ2-ｙ2+ｙ-14.(2000年北京市大兴县中…     

一个不等式的推广

文 [1]提出了一个对称不等式 :已知ｘ ,ｙ∈Ｒ+,且ｘ + ｙ =1,则　　　 2 <(1ｘ -ｘ) (1ｙ - ｙ)≤ 94 (1)这个不等式自然使人想到三个变量的情形 .本文用微分法证明 (1)的一个推广 :已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ+,且ｘ + ｙ +ｚ =1,则(1ｘ -ｘ) (1ｙ - ｙ) (1ｚ-ｚ)≥ (83) 3(2 )证　由对称性 ,不妨设ｘ≤ｙ≤ｚ ,则 0 <ｘ + ｙ≤23,13≤ｚ <1,0 <ｘｙ≤ 19.由ｘ + ｙ +ｚ =1得ｚ =1-ｘ - ｙ ,代入 (2 ) ,整理得2 7(1-ｘ2 ) (1- ｙ2 ) (2 -ｘ - ｙ) (ｘ + ｙ)≥ 5 12ｘｙ·(1-ｘ - ｙ) ,两边取对数 ,欲证之式等价于ｆ(ｘ ,ｙ) =ｌｎ2 7-ｌｎ5 12 +ｌ…     

评第41届IMO第2题

20 0 0年第 4 2届ＩＭＯ的第 2题是 :设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａｂｃ =1.求证 :(ａ - 1 1ｂ) (ｂ - 1 1ｃ) (ｃ - 1 1ａ)≤ 1( 1)此题是一道陈题的变形 .事实上 ,由ａｂｃ =1,不妨设ａ =ｘｙ ,ｂ =ｙｚ ,ｃ=ｚｘ (ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ )代入 ( 1)式 ,得( ｘｙ - 1 ｚｙ) ( ｙｚ - 1 ｘｚ) ( ｚｘ - 1 ｙｘ)≤ 1 (ｘ ｚ - ｙ) (ｘ ｙ -ｚ) ( ｙ ｚ -ｘ)≤ｘｙｚ . ( 2 )( 2 )式是 1983年瑞士国际数学竞赛题之一 .关于它的证明较多 .其中最简单的莫过于如下证法 :由　ｘ2 ≥ｘ2 - ( ｙ -ｚ) 2=(ｘ ｙ -ｚ) (ｚ ｘ - ｙ) ,ｙ2 ≥ ( ｙ ｚ -ｘ) (…     

关于不等式证明的解题体会

不等式的证明之所以较难 ,首先是因为它往往与复数、三角函数等内容联系在一起 ,并且在解题过程中需要有较高的恒等变换技巧 .有时一个较简单的不等式经过这样或那样的变形 ,往往会变成一个不知如何下手的较难的题目 .这时该怎么办呢 ?一句话就是又将其变回去 .那么这就需要有敏锐的眼光 ,洞察出出题者的意图 .例 1　已知 ,ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ+,ｘ + ｙ +ｚ =1,求证 :ｘｙ + ｙｚ +ｘｚ - 2ｘｙｚ≤ 72 7.证明 1　由于左边式子次数不一致 ,故先变为一致 .即　 (ｘｙ + ｙｚ +ｘｚ) (ｘ + ｙ +ｚ) - 2ｘｙｚ =∑ｘ2 ｙ+ｘｙｚ .又因为　 1=(ｘ +…     

恒等式与解方程(组)

利用配方法不难推证下列三元恒等式 :3 (ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) =(ａ +ｂ+ｃ) 2 +(ａ -ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 .巧用这一恒等式 ,可以妙解一类方程 (组 )竞赛题 .1.巧查一道错题例 1　设ｘ ,ｙ ,ｚ是三个实数 ,且有1ｘ +1ｙ+1ｚ=21ｘ2 +1ｙ2 +1ｚ2 =1,则 1ｘｙ+1ｙｚ+1ｚｘ的值是 (　　 ) .(Ａ) 1　 (Ｂ) 2　 (Ｃ) 32 　 (Ｄ) 3(1991年南昌市数学竞赛试题 )解一　利用 (ａ +ｂ +ｃ) 2 =(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) +2 (ａｂ+ｂｃ+ｃａ) ,容易误得 (Ｃ) 32 .∵　 2 2 =(1ｘ +1ｙ+1ｚ) 2=1ｘ2 +1ｙ2 +1ｚ2 +2 (1ｘｙ+1ｙｚ+1ｚｘ)=1+2 (1ｘｙ+1ｙｚ+1…     

转化问题的几种策略

有些数学问题,若按常规方法解则繁琐难解.但是,只要改变考虑问题的角度或方法,将问题转化,就会得到简单巧妙的解法.下面举例说明.一.特殊值引路有些问题比较抽象或思路不明显,通过特殊值引路,就可找到解决问题的方法.例1　分解因式6ｘ2+(33-10)ｘｙ-53ｙ2+7ｘ+(23-5)ｙ+2.解:设6ｘ2+(33-10)ｘｙ-53ｙ2+7ｘ+(23-5)ｙ+2=(ａ1ｘ+ｂ1ｙ+ｃ1)(ａ2ｘ+ｂ2ｙ+ｃ2).令上式中ｙ=0,得:　6ｘ2+7ｘ+2=(ａ1ｘ+ｃ1)(ａ2ｘ+ｃ2).即(2ｘ+1)(3ｘ+2)=(ａ1ｘ+ｃ1)(ａ2ｘ+ｃ2),比较两边知ａ1=2,ａ2=3,ｃ1=1,ｃ2=2.再令ｘ=0,可得:　-53ｙ2+(23-5)ｙ+2=(ｂ1ｙ+ｃ1)(…     

一个复数设置问题的探究

问题　应用复数知识求函数 ｙ =ｘ2 + 9+ｘ2 - 2ｘ + 5的最小值 .在一次课堂练习中 ,笔者提出以上问题 ,第一步同学们都能将此函数式化为ｙ =ｘ2 + 9+ (ｘ - 1) 2 + 4 ,转化为利用复数的模的性质来求解 .但在第二步设复数具体解的时候 ,所设复数可以说五花八门 ,而所得结果不外乎两种 ,简录四种如下 :(以下ｘ均为实数 )1)设复数ｚ1=ｘ + 3ｉ,ｚ2 =ｘ - 1+ 2ｉ,则原函数可化为 ｙ =|ｚ1| + |ｚ2 |≥ |ｚ1-ｚ2 | =| 1+ｉ| =2 .2 )设ｚ1=ｘ + 3ｉ,ｚ2 =1-ｘ - 2ｉ,则原函数可化为 ｙ =|ｚ1+ |ｚ2 |≥ |ｚ1+ｚ2 | =| 1+ｉ| =2 .3)设ｚ1=ｘ + 3ｉ…     

课外练习

初一年级1.若 |ｘ +ｙ -9|与 (2ｘ -ｙ + 3 ) 2 的值互为相反数 ,试确定 |ｘ -ｙ| 2 0 0 3的个位数 .(江苏如东县掘港钲北街 2 74号 (2 2 64 0 0 )　章　枚 )2 .解方程 :ｘ1× 2 + ｘ2× 3 +… + ｘ2 0 0 1× 2 0 0 2 =2 0 0 1.(安徽岳西县城关中学 ( 2 4 6 6 0 0 )　李庆社 )3 .已知ｘｙｚ≠ 0 ,ｘ + ｙ +ｚ =0 .求ｘ(1ｙ+ 1ｚ) + ｙ(1ｚ+ 1ｘ) +ｚ(1ｙ+ 1ｘ)的值 .(陕西千阳县崔家头中学 (72 110 4)常宝兴 )初二年级1.计算 2 -12 + 3 -26+ 4-312 +… +10 0 -99990 0 .(山东肥城市仪阳中学 (2 7160 2 )　宿传安 )2 .解方程组　4ｘ21+ 4ｘ2 …     

关于“魔八方”的解的唯一性的证明

《数学通报》(2 0 0 0年第 4期 )在《“魔八方”与斐波那契数列的联系》一文中找到了魔术与斐波那契数列的联系 ,指出不定方程ｘ2 ｘｙ-ｙ2 1 =0 (1 )存在正整数解 (1 ,2 ) ,(3,5) ,(8,1 3) ,(2 1 ,34) ,…… ,将这些解去掉括号后恰好是斐波那契数列 .文中提出一个问题 :方程 (1 )是否还有其他非斐波那契解呢 ?本文对此给出解答 .由于 (2ｘ -ｙ) 2 (2ｘ-ｙ) (ｙ-ｘ) - (ｙ-ｘ) 2 1 =ｘ2 ｘｙ-ｙ2 1 =(ｘ ｙ) 2 (ｘ ｙ) (ｘ 2ｙ) - (ｘ 2ｙ) 2 1 ,可见 ,如果 (ｘ ,ｙ)是方程(1 )的解 ,则 (2ｘ-ｙ ,ｙ -ｘ)与 (ｘ ｙ,ｘ 2ｙ)也是方程…     

破常规巧解三元一次方程组

解三元一次方程组 ,最基本最常用的方法是 :代入法和加减法 .我在学习这部分内容时 ,发现课本上有两道题 ,可破常规巧解 .解方程组ｘ∶ｙ=3∶2 ,ｙ∶ｚ =5∶4,ｘ +ｙ +ｚ=6 6 .(义教《代数》第一册 (下 )Ｐ3 1Ｂ组 1 ( 1 ) )解析　原方程组中前两个方程只含两个未知数 ,可用“双代入法” ,即把这两方程中的两个未知数都用第三个未知数表示 ,然后代入到第三个方程中去求解 .解　原方程组可化为2ｘ -3 ｙ=04ｙ -5ｚ =0ｘ +ｙ +ｚ=6 6①②③由①得　ｘ =32 ｙ ④由②得　ｚ=45ｙ ⑤把④、⑤分别代入③得32 ｙ +45ｙ +ｙ=6 6 ,解得　ｙ =2 0 .把…     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (意大利 1995年数学奥林匹克 )求出所有正整数ｘ ,ｙ ,使得ｘ2 615=2 ｙ ( 1)解　对于非负整数ｋ ,2 2ｋ 1=4 ｋ·2≡ ( - 1) ｋ·2≡ 2或 3(ｍｏｄ 5) ,又∵ｘ2 ≡ 0或 1或 4 (ｍｏｄ 5) ,∴ ｙ必须是偶数 .令 ｙ =2ｚ ,代入 ( 1)得( 2 ｚ-ｘ) ( 2 ｚ ｘ) =615=3× 5× 4 1∴　　　 2 ｚ ｘ =6152 ｚ-ｘ =1( 2 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =2 0 52 ｚ-ｘ =3 ( 3)　　或　　　 2 ｚ ｘ =12 32 ｚ-ｘ =5( 4 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =4 12 ｚ-ｘ =15( 5)显然 ,方程组 ( 2 ) ,( 3) ,( 5)无正整数解 .由方程组 ( 4 )得 :2 ｚ=64,∴ｚ =6,ｘ =59,…     

对《W. Janous 猜测的推广》的质疑

Ｗ .Ｊａｎｏｕｓ猜测 :设ｘ ,ｙ,ｚ>0 ,则ｙ2 -ｘ2ｚ +ｘ +ｚ2 -ｙ2ｘ +ｙ +ｘ2 -ｚ2ｙ +ｚ >0 ( )文 [1 ]用排序不等式给出猜测的一个证明 ,并对项数推广得到设ｘ1 >0 (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,记Ｓ =ｘ1 +ｘ2 +… +ｘｎ,则ｘ22 -ｘ21 Ｓ-ｘ2 +ｘ23-ｘ22Ｓ-ｘ3+… +ｘ21 -ｘ2 ｎＳ-ｘ1 ≥ 0这个推广的证明是错误的 .Ｗ .Ｊａｎｏｕｓ猜测隐含条件 :左边关于ｘ ,ｙ ,ｚ对称 (这需要验证 ) ,而上述推广不具有对称性 ,不能设ｘ1 ≥ｘ2 ≥…≥ｘｎ>0 .例如 :当ｎ=4时 ,ｘ1 =1 ,ｘ2 =2 ,ｘ3=3 ,ｘ4= 4与ｘ1 =3 ,ｘ2 =1 ,ｘ3=2 ,ｘ4=4所对应的结果是…     

名校基础知识自测

初一年级北师大二附中 ( 1 0 0 0 88)　韦　蔷一、选择题1 .下列方程中是二元一次方程的是 (　　 ) .(Ａ) 2ｘ =3ｙ -1　　　 (Ｂ) 1ｘ=ｙ -2(Ｃ)ｘｙ =1 (Ｄ) 5ｍ + 7ｍ -3 =02 .方程 2ｘ + ｙ =5的正整数解的个数是(　　 ) .(Ａ) 1个　 (Ｂ) 2个　 (Ｃ) 3个　 (Ｄ) 4个3 .如果 ｘ =4ｙ =3 是方程组 ｍｘ +ｎｙ =5ｎｘ +ｍｙ =2 的解 ,则ｍ、ｎ的值是 (　　 ) .(Ａ) ｍ =2ｎ =1 (Ｂ) ｍ =2ｎ =-1(Ｃ) ｍ =-2ｎ =1 (Ｄ) ｍ =-2ｎ =-14.已知 2ｘ2ａ - 1 + ｙ3ｂ + 2 =4是二元一次方程 ,则ａ、ｂ的值为 (　　 ) .(Ａ)ａ =1ｂ =13(Ｂ) ａ =1ｂ …     

复数

选择题1.若ａ ,ｂ∈Ｒ ,则ａ =0是ａ +ｂｉ为纯虚数的(　　 )(Ａ)充分不必要条件 .(Ｂ)必要不充分条件 .(Ｃ)充要条件 .(Ｄ)既不充分又不必要条件 .2 .实数ｘ ,ｙ满足 (1+ｉ)ｘ + (1-ｉ) ｙ =2 ,则ｘｙ的值是 (　　 )(Ａ) 1.　 (Ｂ) 2 .　 (Ｃ) - 2 .　 (Ｄ) - 1.3.复数ｉ- 1ｉ6的虚部为 (　　 )(Ａ) 8.　 (Ｂ) - 8.　 (Ｃ) 6 4 .　 (Ｄ) 0 .4 .复数ｚ满足 |ｚ| 2 =ｚ2 ,则ｚ一定是 (　　 )(Ａ)零 .　　　　　　 (Ｂ)任意实数 .(Ｃ)任意虚数 . (Ｄ)任意复数 .5 .已知复数ｚ满足ｚｚ =ｚ +ｚ ,则ｚ在复平面内对应点的轨迹是 (　　 )(Ａ)直线 …     

二次曲线定比分点弦的存在定理

文 [1 ][2 ]分别给出了求二次曲线定比分点弦所在直线方程的消去法和较为简洁的解方程方法 ,本文就二次曲线定比分点弦存在区域作一探讨 ,以使这类问题进一步完善 .设定 :Ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 +2Ｄｘ+2Ｅｙ+Ｆ ,　φ(ｘ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 ,ｆ1 (ｘ,ｙ)=Ａｘ+Ｂｙ +Ｄ ,　ｆ2 (ｘ ,ｙ) =Ｂｘ+Ｃｙ +Ｅ ,Ｉ2 =Ａ　ＢＢ　Ｃ ,Ｉ3=Ａ　Ｂ　ＤＢ　Ｃ　ＥＤ　Ｅ　Ｆ.定理　过Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线交二次曲线Ｆ(ｘ ,ｙ) =0于Ｐ1 、Ｐ2 两点 ,点Ｐ分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ ,则Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )满足　Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) Ｉ2 Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) -…