弧哈密顿竞赛图的一个性质

§1.引言 设T是有p个点的一个竞赛图,T称为是弧k回路的,若T的每一条弧在一个长度为k的回路上.T也称为是弧哈密顿的,若T是弧p回路的.在第二次全国图论学术交流会上,邵品琮和张存铨提出下列猜想:     

竞赛图具有弧泛回路性的一个充分条件

关于竞赛图的弧泛迴路性问题,Alspach证明了正则竞赛图具有此性质.朱永津、田丰证明了若竞赛图 T 中任意一个弧(v,v_0)都满足条件 d~+(v_0)+d~-(v)≥p-2,这里 p 为 T 的顶点数,则当 p≥7时,T 中过任一弧存在迴路系列 C_4,C_5,…,C_p.本文提出并证明了若 T 满足以下条件:当 d~+(v)<1/2(p-1)时,在 v 的外邻集 O(v)中有一点 u,d~+(u)≥1/2(p-1);当 d~+(v_1),d~+(v_2)<1/2(p-1)时,有 u_1,u_2∈O(v_1)∪O(v_2),d~+(u_1),d~+(u_2)≥1/2(p-1),且对入次亦满足相应的条件,则当 p≥9和最小次数δ≥4时,过 T 的每一个弧存在迴路系列 c_6,c_7,…,c_p.此充分条件不要求顶点次数的正则性和几乎正则性,对 T 的不正则度 q=(?)|d~+(v)-d~-(v)|一般来说也没有限制.     

关于竞赛图弧Hamilton回路性

邵品琮,张存铨提出如下猜想: 竞赛图T是弧Hamilton回路的。则T中每条弧l,都有一系列长为h,…,p的回路经过l(4≤h≤p—1)。 本文构造了一类图,它们具有弧Hamilton回路性,但不具有弧5回路性。并且证明若p≥7,则具有弧Hamilton回路性的p阶竞赛图T具有弧p-1回路性。     

一类竞赛图的弧泛回路

Alspach证明了正则竞赛图具有弧泛回路的性质。本文将指出有更大一类竞赛图也具有弧泛回路的性质。并且正则竞赛图也显然属于这一类竞赛图。这类竞赛图满足两个条件:弧三回路和|T|≤4k-3(k为竞赛图T的最小出、入度)。     

一类具有强(p-1)—路连通性而不具有强(p-2)—路连通性的竞赛图

设T=(V,A)是p个顶点的竞赛图,称T是强k—路连通的,若k是满足2≤k≤p-1的整数,对任意x_0x∈A,在T中存在从x_0到x和从x到x_0到x_0长度为k的道路。若T是强(p-1)—路连通的,也称T是强哈密顿连通的。关于竞赛图的强k—路连通性,(2≤k≤p-1),在文献[1]和[2]中已经做了广泛的研究,并且,在这方面,国内外已有一系列的结果,1981年,朱永津在广西大     

强定向图的k-强距离

对强连通有向图D的一个非空顶点子集S,D中包含S的具有最少弧数的强连通有向子图称为S的Steiner子图,S的强Steiner距离d(S)等于S的Steiner子图的弧数. 如果|S|=k, 那么d(S)称为S的k-强距离. 对整数k≥2和强有向图D的顶点v,v的k-强离心率sek(v)为D中所有包含v的k个顶点的子集的k-强距离的最大值. D中顶点的最小k-强离心率称为D的k-强半径,记为sradk(D),最大k-强离心率称为D的k-强直径,记为sdiamk(D). 本文证明了,对于满足k+1≤r,d≤n的任意整数r,d,存在顶点数为n的强竞赛图T′和T″,使得sradk(T′)=r和sdiamk(T″)=d;进而给出了强定向图的k-强直径的一个上界.     

几乎正则多部竞赛图中弧的外路

Guo(Discrete Appl.Math.95(1999)273-277)提出外路的概念.有向图中一个顶点x(或弧xy)的一条外路是指起始于x(或弧xy)的一条路使得x控制这条路的终点仅当终点也控制x.一条长为k的外路称为k-外路.本文证明了一个几乎正则c-部(c≥8)竞赛图D中,如果D的每个部集至少包含两个点,则D中每条弧有(k-1)-或k-外路,其中k∈{3,4,…,|V(D)|-1}.进一步,当D是一个几乎正则c-部(c≥8)竞赛图,且每个部集所含顶点数目相同时,D的每条弧在k-或(k+1)-圈中,其中k∈{3,4,…,|V(D)|-1}.     

竞赛图具有弧泛回路性的一个充要条件

本文的主要结果为:p个顶点的竞赛图T,具有弧泛回路性的充分必要条件是T具有弧3-回路与弧p-回路性。     

具次约束的最优树形图问题

给定一有向图G_0,其某一结点v_s称为特定结点,它共有p条出弧:α_1,α_2,…,α_p,分别指向结点v_1,v_2,…,v_p,这p个结点称为(v_s的)邻点。令T为G_0的一个支撑树形图,若其结点v_s有且仅有k条出弧,则T称为(k)支撑树形图。设对G_0的每一条弧α,均给以一弧长w_0(α),则弧长之和最小的支撑树形图称为最优树形图。若在一个最优树形图中,其结点v_s有且仅有k条出弧,则此最优树形图称为最优(k)树形图。而在所有(k)支撑树形图中,其弧长之和最小者称为(k)最优树形图。显然,一个最优(k)树形图必为     

关于竞赛图的完备强路连通性的一个充要条件

在本文定理2中!证明了如下结果:p个顶点的竞赛图T=(V,A)是完备强路连通的充要条件是对T中任一弧,在T中总存在对应这弧的P_2、P′_2、P′_(p-1)、P′(p-1). 本文提出如下猜测:p个顶点的竞赛图T=(V,A)中的任一弧,在T中总存在对应这弧的 P′_2、P′_(p-1),则T具有强路连通性.     

k-强竞赛图中外弧泛5顶点的数目

称具有n≥3个顶点的强竞赛图T中的一条弧是泛k的,如果对所有的k≤l≤n来说,它属于每个l-圈.本文证明了每个s-强(s≥4)竞赛图至少包含s+2个顶点使得它们的所有外弧都是泛5的.     

正则多部竞赛图中任意弧的所有长度的外路

多部竞赛图D中弧x_1x_2的一条(l-1)一外路是指起始于x_1x_2的长为l-1的路x_1x_2…x_1,其中要么x_1与x_1同部,要么x_1控制x_1.特别地,当l=|V(D)|且x_1控制x_1时,x_1x_2…x_lx_1是一个通过弧x_1x_2的Hamilton.Guo(Discrete Appl.Math.95(1999)273-277)证明了一个正则c-部(c≥3)竞赛图中的每条弧都有一个(k-1)-外路,其中k∈{3,4,…,c}.作为一个推广,该文证明了一个正则c-部(c≥5)竞赛图中的每条弧都有一个(k-1)-外路,其中k∈{3,4,…,|V(D)|}.进一步,使用路收缩技巧,下面一个结果也被证明:D是一个正则c-部(c≥8)竞赛图,且每个部集包含两个顶点,则D的每条弧被包含在一个Hamilton圈中.这个结果部分地支持了Volkmann和Yeo(Discrete Math.281(2004)267-276)提出的猜想:正则多部竞赛图的每条孤都包含在一个Hamilton圈中.     

关于竞赛图中王的一些结果

本文涉及的图都是竞赛图.将用 V(T)、A(T)分别表示竞赛图 T 的顶点集、弧集.设 SV(T),用 T[S]表示在 T 中 S 的导出子图.设 u,v∈V(T),用 uv∈A(T)表示在 T 中有从 u 到 v 的弧,且用O_T(v)={w|w∈V(T),vw∈A(T)},I_T(v)={w|w∈V(T),wv∈A(T)}.1953年,Landau 引进了竞赛图中王的概念:竞赛图T的顶点 v 称为王,如果 v 能通过长至多为2的有向路到达 T 的其它各个顶点.并且证明了,竞赛图中出度最大的     

含有多个圈的图的秩

研究了含有多个圈的图的邻接矩阵的秩.将k(k≥2)条点不交的路,首和尾分别粘合得到的图称为Θ-图.用Γ(k-1)表示含有Θ-图作为导出子图的(k-1)-圈图的集合,而用C(η,k)表示含有n个顶点和k个边不交的圈的图的集合.确定了Γ(k-1)中秩等于5和6的图以及C(n,k)中秩等于4,5和6的图.     

有向线图的限制性连通度

设D=（y（D）,A（D））是一个强连通有向图．弧集S A（D）称为D的k-限制性弧割,如果D-S中至少有两个强连通分支的阶数大于等于后．最小k-限制性弧割的基数称为k-限制性弧连通度,记作Ak（D）．k-限制性点连通度Kk（D）可以类似地定义．有k-限制性弧割（k-限制性点割）的有向图称为λk-连通（kk-连通）有向图．本文研究有向图D的限制性弧连通度和其线图L（D）的限制性点连通度的关系,证明了对任意λk-连通有向图D,kk（L（D））≤λk（D）,当k=2,3时等式成立;若L（D）是Kk（k-1）连通的,则λk（D）≤Kk（k-1）（L（D））;特别地,若D是一个定向图且L（D）是Kk（k-1）／2．连通的,贝0Ak（D）≤Kk（k-1）,2（L（D））．     

乡村投递员问题的多面体

设 G=(V,E)是以 V 为顶点集,E 为边集合的连通无向图.对任意的 E′(?)E,以G[E′]记 G 的由 E′中的边所组成的子图,称之为边集 E′导出的子图.称边序列 w=〈(i_0,i_1,),(i_1,i_2),…,(i_(k-1),i_k)〉为连接 i_0和 i_k 的路,其中 i_j∈V,(i_j,i_(j+1)∈E,0≤j≤k-1.如果 i_0=i_k,则称 w 为一个闭路.如果 w 中 i_s(?)i_t,对任意0≤s,t≤k,     

C2(4,k) 中的强支撑可迹图

设2≤h≤3,l0,k≥0是整数,C_h(l,k)是由h-边连通简单图组成的集合,图G∈C_h(l,k)当且仅当对图G的任意一个二边割或三边割X,图G-X的每个分支都至少有︱V(G)-k︱/l个点.设e=u_1v_1和e'=u_2v_2是图G的两条边.若e≠e',G(e,e')是将图G中的边e=u_1v_1和e'=u_2v_2分别用路u_1v_ev_1和u_2v_e'v_2替换得到的图(其中,v_e,v_e'是不在V(G)中的两个新的点).若e=e',G(e,e')是将图G中的边e=u_1v_1用路u_1v_ev_1替换得到的图,也记作G(e).若对任意的e,e'∈E(G),G(e,e')都有支撑(v_e,v_e')迹,则称图G是强支撑可迹的.作者证明了,若图G∈C_2(4,k)且|V(G)|5k,则要么图G是强支撑可迹图,要么存在e,e'∈E(G),使得G(e,e')可以收缩成一个有限图类F中的图.当k=4时,F被完全确定了.     

广义分数可扩图

研究一类广义分数可扩图即分数(n,k,d)-图的性质.图G是分数(n,k,d)-图即删去G的任意n个顶点后的剩余子图G′含有k-对集,且G′的任意k-对集都可扩充成G′的分数亏格-d对集.得到了分数(n,k,d)-图分别添加边和顶点的一系列递推关系.     

κ-强竞赛图中外弧泛5顶点的数目

称具有n≥3个顶点的强竞赛图T中的一条弧是泛κ的,如果对所有的κ≤l≤n来说,它属于每个l-圈.本文证明了每个s-强(s≥4)竞赛图至少包含s+2个顶点使得它们的所有外弧都是泛5的.     

关于线性森林的广义图兰问题研究

令G表示n个顶点的图.图G的一个线性森林是G中由顶点不交的路以及孤立点组成的子图.其中,G的边数最多的线性森林称为图G的最大线性森林,用l(G)表示最大线性森林的边数.设定■.令r_3(G)表示图G中三角形的个数.在本文中,我们证明了如果l(G)=k-1且δ(G)≥δ,那么对于任意的kn,■其中,当k为奇数时,d=0,否则d=t.