外接球球心的确定

在研究多面体与外接球问题时,经常要确定球心的位置.从集合角度看,球面是与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨迹).因此,只要找到与多面体各顶点距离相等的点即为外接球球心.图1　例1图例1　已知正三棱锥ＰＡＢＣ底面边长ａ,Ｐ到底面ＡＢＣ的距离为ｈ,试确定其外接球球心的位置及球半径的长.分析:如图1,设球心为Ｏ,则ＯＡ=ＯＢ=ＯＣ,∴Ｏ在底面ＡＢＣ上的射影Ｈ是△ＡＢＣ的外心,由△ＡＢＣ为正三角形知Ｈ也为中心,∴ＰＨ⊥底面ＡＢＣ,∴Ｐ,Ｏ,Ｈ共线.由△ＡＨＯ是Ｒｔ△得ＡＯ2=ＡＨ2 ＯＨ2.∴Ｒ2=33ａ2 (ｈ-Ｒ)2,∴Ｒ=ａ26…     

参赛应用题选登

题 2 1　某航运部门欲造一种水上浮筒 (由薄铜板焊接而成 ) ,其结构是由底面半径均相同的一个正圆锥体 ,一个正圆柱体和另一个正圆锥体上中下依次对接组合而成 ,如图所示 .现设定浮筒的内部容积为常数Ｖ ,其圆锥部分和圆柱部分的底面半径为Ｒ ,上下两个正圆锥的高度分别为ｈ1 和ｈ2 ,中间的正圆柱体的高度为Ｈ .试确定ｈ1 Ｒ ,ＨＲ ,ｈ2Ｒ 的值 ,使得浮筒的材料为最省 ,即整个组合体 (浮筒 )的表面积Ｓ为最小 (Ｓ是上下两个正圆锥的侧面积和正圆柱的侧面积之和 ) .解　由题意得 :Ｖ =π·Ｒ2 ·(Ｈ ｈ1 3 ｈ23 ) ,Ｓ =πＲ·( 2Ｈ Ｒ2 …     

刘家峡水电站大坝地基渗流控制

刘家峡水电站是黄河上大型水利枢纽,坝高147米,装机122.5万既,年平均发电量57亿度,河床主坝为混凝土重力坝,修建在坚硬的弱透水性的云母石英片岩上,刘家峡河谷狭窄,河床左侧有一组顺河的张性断层,左岸岩层产状倾向河床和下游,有多层构造挤压破碎带,渗透性不均一,绕坝渗流量大,为此大坝地基渗流控制采用了堵排结合,以排为主的处理措施,对断层也进行了专门处理.初期运行观测资料表明,大坝地基渗流控制措施满足了设计要求,文中对河床坝基排水、狭谷河床绕坝渗流,以及坝前淤积泥沙对扬压力的影响等有关问题也进行了讨论。     

平卧放置的圆柱形油罐贮油量的计算

问题　某加油站有长为ｌ,半径为ｒ的圆柱形油罐 (平卧放置 )若干 .为了检查油罐贮油量的多少 ,试求贮油量 (Ｖ)随高度 (ｈ)变化的计算公式 .图 1　油罐的横截面图数学模型分析画出圆柱直截面图 (如图 1 ) .由油罐平卧放置贮油量 (Ｖ)即是底面为弓形、长为ｌ的柱体的体积 ,高度ｈ是指弓形的高 .问题转化为Ｖ =ｌ·Ｓ弓 ＡＣＢ.计算Ｓ弓 的关键是计算Ｓ扇 ＯＡＣＢ,因而需求ＡＣＢ的弧长 ,进而需求∠ＡＯＢ的弧度数 ,只要求出∠ＢＯＨ的弧度数 .计算　由柱体的体积公式知Ｖ =Ｓ弓·ｌ.当ｈ <ｒ时 ,Ｓ弓 =Ｓ扇 ＯＡＣＢ-Ｓ△ＯＡＢ=12ＡＣＢ…     

数学应用题新编选登

题 8 7　 在某建筑工地 ,需要将钢管、木条、木板等材料从楼梯运到不同的楼层 ,由于受楼梯空间所限 ,其长度也有所限制 .现有一空间 (如图 1所示 ) :先从宽为 2米的巷道 ,转入一宽为 1.5米的楼梯道 ,其高度为 3.5米 .1)若将钢管从楼梯运到楼上 ,其最大长度为多少 ?2 )若将宽为 1.5米的矩形木板 (厚度不计 ) ,从楼梯运到楼上 ,其长最多为多少 ?解　如图 1,将钢管AB运到楼上 ,要使AB最长 ,则A应触到天花面 ,B触及地面 ,A在地面射影为C .则有 :AC =3.5 (m) ,AB =3.5 2 +BC2 ,AB要最长 ,只要BC最长 .∴问题转化为在水平面上求BC的最大值…     

一道极值题的错解,正解与简解

在立几问题中 ,有一类运用平均不等式求极值的问题 ,搞不好就会掉入陷阱 .图 1　题目图题　若球半径为Ｒ ,试求它的内接圆柱体积Ｖ的最大值 .错解 :设圆柱底面半径为ｒ ,则 :4ｒ2 =4Ｒ2 -ｈ2 ,Ｖ =πｒ2 ｈ=π4 ( 4Ｒ2 -ｈ2 )ｈ=π4 ( 2Ｒ ｈ) ( 2Ｒ -ｈ)ｈ=π8( 2Ｒ ｈ) ( 4Ｒ - 2ｈ)ｈ≤ π82Ｒ ｈ 4Ｒ - 2ｈ ｈ33=π8( 2Ｒ) 3 =πＲ3 .分析 :初看上去 ,会感到解法似乎无懈可击 ,但细心的同学不难发现 :当且仅当2Ｒ ｈ =4Ｒ - 2ｈ =ｈ ( 1)时 ,上式中“≤”取等号 .但方程组 ( 1)无解 ,即“≤”不能取等号 .由此可知以上解法有漏洞…     

关于一个体积问题的再探讨

问题　已知直三棱柱ＡＢＣＡ1Ｂ1Ｃ1,用一个平面去截它 ,得截面△Ａ2 Ｂ2 Ｃ2 ,且ＡＡ2 =ｈ1,ＢＢ2 =ｈ2 ,ＣＣ2 =ｈ3 .若底面面积为Ｓ .求 :介于截面与下底面之间的几何体的体积Ｖ(如图 1) .本刊文 [1]给出了该问题的七种不同的“割补”解法 ,读后受益匪浅 .这里笔者再给出其一种解法 ,并由此对所求体积作一番实质性探讨 ,希望以此开阔同学们的眼界 .图 1　题目图　　　图 2　解答用图解　如图 2 ,延长ＣＣ2 ,并在其上截取Ｃ2 Ｄ =ｈ2 ,ＤＥ =ｈ1.连ＢＣ2 ,Ｂ2 Ｄ ,ＡＤ ,Ａ2 Ｅ ,ＡＢ2 ,ＡＣ2 ,Ａ2 Ｄ ,Ｂ2 Ｅ .则ＶＣ2 ＡＢＣ=13Ｓｈ3 ;…     

一个建模问题的讨论

原型和模型是一对对偶体 ,后者来自前者 ,是一种替代物 .由原型到模型要经过对原型的简化和加上人为的一些假设 ,往往不是一个同构对应 ,只是单一方面的不失真的近似反映 .平时 ,我们遇到的实际问题一般是建立一种数学模型 ,一个原型去建两个模型或更多合理吗 ?下面是某市 2 0 0 2年高三质量检测题中的一道实际应用题 .一水库上游河道每天有固定流量的水流入水库 ,同时又有等量的水通过下游河道流出 ,使水库中的水的体积保持在 2 0 0万米3,由于受到污染 ,水库中的水含某种不能分解的污染物浓度已达到0 .2 5克 /米3.目前 ,上游污染已得到治理…     

参赛应用题选登

题 3 3　如图 1 ,设甲楼座落在正南正北方向 ,楼高ＡＢ =1 6ｍ ,又要在甲楼的后面盖一座乙楼ＣＤ .已知冬天太阳最低时的高度为3 2° ,问 :1 )若两楼相距ＢＤ =2 0ｍ ,则甲楼的影子落在乙楼上有多高 ?2 )如果甲楼的影子不会落在乙楼上 ,那么两楼之间的距离ＢＤ至少是多少米 ?图 1　题 33图解　 1 )如图 1所示 ,过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ ,垂足为Ｆ .在△ＡＥＦ中 ,∠ＡＥＦ =3 2°,∠ＡＦＥ =90° ,ＥＦ=ＢＤ =2 0ｍ ,所以ＡＦ =2 0ｔｇ3 2°≈1 2 .5(米 ) ,ＥＤ =1 6- 1 2 .5=3 .5(米 ) .即甲楼的影子落在乙楼上有 3 .5米高 .2 )在Ｒｔ△ＡＢＤ中…     

一道全国联赛加试题的推广

2002年全国高中数学联赛加试第一题 :图 1问题　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ ,ＣＦ交于Ｈ点 ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ ,ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求 ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .分析　如图 1,ＭＨ =ＢＨ -ＢＭ ,ＮＨ =ＣＮ -ＣＨ ,又　ＢＭ =ＣＮ ,∴　ＭＨ +ＮＨ =ＢＨ -ＣＨ ,于是　 ＭＨ +ＮＨＯＨ =ＢＨ -ＣＨＯＨ .问题等价于求 ＢＨ -ＣＨＯＨ 的值 .下面我们来解答本题的一般情况 .推广题　在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,Ｈ是垂心 ,则　 ＢＨ -ＣＨＯＨ =2 (ｃｏｓＢ -ｃｏｓＣ)1-8…     

体积法解一道微积分题

问题　求由曲线ｙ =x~2 在x轴正半轴与直线x=ｎ所围成的图形的面积Ｓ .此题已超出高一所学的知识范围 ,但我们合理运用祖日恒原理 ,化未知为已知 ,利用等体积的方法求解 .解　如图 ,构造正四棱锥Ｏ ＡＢＣＤ ,底面边长ＡＢ=ｎ ,高ＯＥ =ｎ ;又构造柱体ＯＨ ,以ＯＨＫ为中截面 ,高ＦＧ =1 .(其中ＯＨＫ即是曲线ｙ =ｘ2 与ｘ轴正半轴及直线ｘ =ｎ围成的图形 ) .设任一平行于底面的截面到点Ｏ的距离为ｘ ,则两截面的面积均为ｘ2 ,即有ＳⅠ =ＳⅡ .根据祖日恒原理 ,得ＶⅠ =ＶⅡ .∵　ＶⅡ =13 Ｓ底 ｈ =13 ＳＡＢＣＤ·ＯＥ =ｎ33 ,∴　ＶⅠ =…     

新编应用题选登

题 6 3　 某小区要建一座八边形的休闲小区 ,它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ＡＢＣＤ和ＥＦＧＨ构成的面积为2 0 0平方米的十字形地域 .计划在正方形ＭＮＰＱ上建一座花坛 ,造价为每平方米4 2 0 0元 ;在四个相同的矩形上 (图中阴影部分 )铺花岗石地坪 ,造价为每平方米 2 1 0元 ;再在四个空角上铺草坪 ,造价为每平方米80元 .1 )设总造价为Ｓ元 ,ＡＤ长为ｘ米 ,试建立Ｓ关于ｘ的函数关系式 ;2 )当ｘ为何值时Ｓ最小 ;并求出这个最小值 .图 1　题 6 3图解　 1 )设ＤＱ =ｙ米 ,ＡＤ =ｘ米 ,则ｘ2 + 4ｘｙ =2 0 0 ,∴ ｙ =2 0 0 -ｘ24ｘ …     

从一道应用竞赛试题谈起

1　问题第二届北京市高中数学知识应用竞赛决赛试题六是一个构思颇巧的应用问题 :图 1如图 1 ,有一条河 ,两个工厂Ｐ和Ｑ位于河岸ｌ(直线 )的同一侧 .工厂Ｐ和Ｑ距离河岸ｌ分别为 1 0千米和 8千米 .两个工厂的距离为 1 4千米 ,现在要在河的工厂一侧选一点Ｒ ,在Ｒ处修建一个水泵站 ,从Ｒ修建直线输水管分别到两个工厂和河岸 ,使直线输水管的总长最小 ,请确定出Ｒ的位置 ,并分别求出水泵站Ｒ到两个工厂和河岸的三个距离 .2　引申在一般情形下 ,(如图 2 ) ,我们如何确定点Ｒ的位置 ?事实上 ,数据ｎ ,ｍ ,ｄ(ｄ >ｎ-ｍ)满足不同的关系 ,会有不…     

中考小杂技--动手操作题

2004年全国各地中考数学题中,涌现出了许多题型活泼、设计新颖、富有创意的动手操作型试题.现对这类数学中考题加以分类评析,供同行们参考.一、图形测量问题几何学是在测量等感性活动中逐步发展形成的.因此,在教学中要让学生多量一量,多做一些数学实验活动,用数据说话.例1(2004年温州市考题)下面给出的四条线段中,最长的是()评析:本题只需借助刻度尺、圆规等工具便可测量、比较得出答案(D)例2(2004年杭州市中考题)如图为羽毛球单打场地按比例缩小的示意图(由图中粗实线表示),它的宽为5.18米,那么它的长约在()A.12米至13米之间B.13米至14米…     

巧用三棱台的一个性质妙解题

众所周知 ,任何一个平面多边形都可以分割成若干个三角形 ,任何一个多面体均可分割成若干个三棱锥 .三棱台ＡＢＣ Ａ1Ｂ1Ｃ1可分割成如图 1所示的三个三棱锥Ａ Ａ1Ｂ1Ｃ1,Ｃ ＡＢ1Ｃ1,Ｂ1 ＡＢＣ ,设三棱台的上、下底面积分别为Ｓ1,Ｓ2 ,高为ｈ ,体积为Ｖ ,则其体积为Ｖ =13(Ｓ1+Ｓ2 +Ｓ1Ｓ2 )ｈ =13ｈＳ1+ 13ｈＳ2+ 13ｈＳ1Ｓ2 .因为ＶＡ Ａ1Ｂ1Ｃ1=13ｈＳ1,ＶＢ1 ＡＢＣ=13ｈＳ2 ,所以ＶＣ ＡＢ1Ｃ1=13ｈＳ1Ｓ2 .图 1　三棱台的分割图设ＶＡ Ａ1Ｂ1Ｃ1=Ｖ1,ＶＣ ＡＢ1Ｃ1=Ｖ2 ,ＶＢ1 ＡＢＣ=Ｖ3 ,设 ＡＢＡ1Ｂ1=ｋ ,则 Ｖ2Ｖ1=Ｖ3 Ｖ2=Ｓ2…     

即时定义——高考型应用题的突破口

由于高考的特定情境 ,高考型应用题不可能是社会生活中实际问题的原型 ,只能是经过一定“加工”了的“准实际问题” .尽管如此 ,近几年的高考应用题得分率却总上不去 .问题在哪呢 !关键是学生不能从这些“准实际问题”中寻找出求解问题的突破口 .　综观近年的高考型试题 ,我们发现 :对于某些专业术语作专门解释的“即时定义” ,可作为解决问题的突破口 .例 1　 ( 2 0 0 0年全国春季高考题 )某地区上年度电价为 0 .8元 /ｋｗ·ｈ ,年用电量为ａｋｗ·ｈ .本年度计划将电价降到 0 .55元 /ｋｗ·ｈ至 0 .75元 /ｋｗ·ｈ之间 ,而用户期望电价为 …     

数理结合题欣赏

各种学科互相渗透 ,知识之间的联系越来越紧密 ,尤其以数学、物理之间的联系最紧密 .下面我们来欣赏几道数学、物理知识相结合的题 .题 1　如图 1,Ａ ,Ｂ两人相距 2ｄ米 .平行地站在一堵高墙前 ,离墙均为 3ｄ米 ,Ａ发一枪 ,Ｂ在ｔ秒后听到第一次枪声 ,问听到第二次枪声距发枪多长时间 ?图 1　题 1情形 1图　　　　图 2　题 1情形 2图解　Ｂ听到第一次枪声为声音直接传到Ｂ处(图 1) ,而第二次“枪声”应是从Ａ发出的枪声经高墙反射后传到Ｂ处 ,且所经过的路线应为最短 (图2 ) .在图 2中 ,作Ａ点关于墙的对称点Ａ′,连结Ａ′Ｂ交墙于点Ｐ ,Ａ…     

球类运动中的数学问题二例

例1(篮球运动)如图1,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈,已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.     

平行三次形式的仿射超曲面

设Ａｎ 1是ｎ 1维仿射空间 ,Ｄ表示Ａｎ 1上的平坦联络 ,Ｍ是ｎ维光滑流形 ,ｘ:Ｍ→Ａｎ 1是一个非退化的仿射浸入 .对于Ｍ上的横截向量场ξ ,存在唯一的选择 ξ =1ｎ△ｘ(称为仿射法向量场 ) ,使得上述浸入是一个Ｂｌａｓｃｈｋｅ浸入 (见 [2 ]) .设 是此浸入由Ｄ在Ｍ上诱导的仿射联络 ,我们有 :ＤＸＹ= ＸＹ ｈ(Ｘ ,Ｙ) ξ　　　ＤＸξ=-ＳＸ这里Ｘ ,Ｙ ,Ｚ是Ｍ上的切向量场 ,ｈ是对称的双线性形式 ,由它可以定义Ｍ上的伪黎曼度量Ｇ(Ｇ =|Ｈ| - 1ｎ 2 ｈ ,Ｈ =ｄｅｔ(ｈｉｊ) ) ,称为Ｂｌａｓｃｈｋｅ度量 ,Ｓ称为Ｍ的形态算子 .若…     

四面体"垂心"的存在性问题及存在的充要条件

任意一个三角形的三边上的高一定交于一点 ,这点我们称为三角形的“垂心” .那么 ,在立体几何中 ,任意一个四面体的四条高是否也一定交于一点 ,有无所谓的“垂心”呢 ?下面对这个问题循序渐进地展开研究 .设四面体Ａ1Ａ2 Ａ3Ａ4 的与顶点Ａ1,Ａ2 ,Ａ3,Ａ4 对应的高线分别为ｈ1,ｈ2 ,ｈ3,ｈ4 .定理 1　如果Ａ1Ａ2 ⊥Ａ3Ａ4 ,则ｈ1与ｈ2 相交 ,ｈ3与ｈ4 相交 .反过来 .如果ｈ1与ｈ2 相交或ｈ3与ｈ4 相交 ,则Ａ1Ａ2 ⊥Ａ3Ａ4 .证明　 (1 )当Ａ1Ａ2 ⊥Ａ3Ａ4 时 ,过Ａ1作Ａ1Ｂ⊥Ａ3Ａ4 于Ｂ ,连Ａ2 Ｂ ,在△Ａ1Ａ2 Ｂ中 ,过Ａ1作Ａ1Ｃ⊥Ａ2 Ｂ于…