一道IMO试题证法的探索

遇到一道好数学题时 ,不要急于去看其解法 ,应先自己动手试试 ,也不能满足于已给或已得的解法 ,而应积极地去探索新的解法 .坚持这样探索式学习 ,能培养自己思维的灵活性、发散性、批判性、创造性 ,提高解题能力 .问题　设ｘ、ｙ、ｚ为非负实数 ,且ｘ +ｙ +ｚ=1,求证 :0≤ｘｙ +ｙｚ+ｚｘ -2ｘｙｚ≤72 7.(第 2 5届ＩＭＯ试题 )不妨先试一试 ,由条件易知ｘｙ≥ｘｙｚ,ｙｚ≥ｘｙｚ ,从而ｘｙ +ｙｚ+ｚｘ -2ｘｙｚ≥ｚｘ≥ 0 ,左不等式成立 .下面只需证明ｘｙ +ｙｚ+ｚｘ -2ｘｙｚ≤ 72 7. ( )几经探索 ,难以找到证 ( )式的突破口 .那么 ,来…     

2002年第二期初中数学问题解答

一.当ｘ2=3ｘ-9时,试求ｘ3的值.解:∵ｘ2=3ｘ-9,∴ｘ3=ｘ2·ｘ=(3ｘ-9)ｘ=3ｘ2-9ｘ=3(3ｘ-9)-9ｘ=9ｘ-27-9ｘ=-27.因此,当ｘ2=3ｘ-9时,ｘ3=-27.二.设ｘ+ｙ+ｚ=ａ,则ｘ2+ｙ2+ｚ2≥ａ23.证明:∵ｘ+ｙ+ｚ=ａ,∵(ｘ+ｙ+ｚ)2=ａ2.也即ｘ2+ｙ2+ｚ2+2(ｘｙ+ｙｚ+ｘｚ)=ａ2.∴ｘ2+ｙ2+ｚ2=ａ2-2(ｘｙ+ｙｚ+ｘｚ).　①又∵(ｘ-ｙ)2≥0,　(ｙ-ｚ)2≥0,　(ｚ-ｘ)2≥0,∴(ｘ-ｙ)2+(ｙ-ｚ)2+(ｚ-ｘ)2≥0.同理得2(ｘ2+ｙ2+ｚ2)≥2ｘｙ+2ｙｚ+2ｘｚ.　②①+②得3(ｘ2+ｙ2+ｚ2)≥ａ2.因此ｘ2+ｙ2+ｚ2≥ａ23.三.若ａ,ｂ为整数,|ａ|≠|ｂ|,则ａｂ+ｂａ不可能是…     

评第41届IMO第2题

20 0 0年第 4 2届ＩＭＯ的第 2题是 :设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａｂｃ =1.求证 :(ａ - 1 1ｂ) (ｂ - 1 1ｃ) (ｃ - 1 1ａ)≤ 1( 1)此题是一道陈题的变形 .事实上 ,由ａｂｃ =1,不妨设ａ =ｘｙ ,ｂ =ｙｚ ,ｃ=ｚｘ (ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ )代入 ( 1)式 ,得( ｘｙ - 1 ｚｙ) ( ｙｚ - 1 ｘｚ) ( ｚｘ - 1 ｙｘ)≤ 1 (ｘ ｚ - ｙ) (ｘ ｙ -ｚ) ( ｙ ｚ -ｘ)≤ｘｙｚ . ( 2 )( 2 )式是 1983年瑞士国际数学竞赛题之一 .关于它的证明较多 .其中最简单的莫过于如下证法 :由　ｘ2 ≥ｘ2 - ( ｙ -ｚ) 2=(ｘ ｙ -ｚ) (ｚ ｘ - ｙ) ,ｙ2 ≥ ( ｙ ｚ -ｘ) (…     

巧换元解不等式

在高三复习阶段 ,我遇到了这样一道题目 :设ａ ,ｂ,ｃ为三角形的三边 ,求证 :ａｂ +ｃ-ａ+ ｂａ +ｃ-ｂ+ ｃａ +ｂ -ｃ≥ 3.解答如下 :证明　令ｂ +ｃ -ａ =ｘ ,ａ +ｃ -ｂ =ｙ ,ａ+ｂ -ｃ =ｚ .则ａ =ｙ +ｚ2 ,　ｂ =ｘ +ｚ2 ,　ｃ =ｘ + ｙ2 .∴　 ａｂ +ｃ -ａ+ ｂａ +ｃ -ｂ+ ｃａ +ｂ -ｃ　 =ｙ +ｚ2ｘ + ｘ +ｚ2ｙ + ｘ + ｙ2ｚ　 =12 (ｙｘ+ ｚｘ+ ｘｙ+ ｚｙ+ ｘｚ+ ｙｚ)　≥ 12 ·66ｙｘ·ｚｘ·ｘｙ·ｚｙ·ｘｚ·ｙｚ　 =3.(证毕 )总结　对于给出的条件或待求的结论比较繁琐时 ,可首先考虑将其中的一个整体进行换元 ,从而达到解…     

分组分解法的基本思路

人教版初中《代数》第二册第八章介绍了因式分解的提取公因式法,运用公式法,分组分解法以及ｘ2+(ｐ+ｑ)ｘ+ｐｑ型式子的因式分解,其中的分组分解法是这几种方法中的重点和难点.本文介绍分组分解因式的几种基本思路,以帮助读者学好这部分的内容.一.直接分组1.按公因式分组例1　分解因式:ｘ2-ｘｙ+ｘｚ-ｙｚ.(2001年河北省中考试题)分析:多项式中第1,2项有公因式ｘ,第3,4项有公因式ｚ,可把它们各分为一组.解:原式=(ｘ2-ｘｙ)+(ｘｚ-ｙｚ)=ｘ(ｘ-ｙ)+ｚ(ｘ-ｙ)=(ｘ-ｙ)(ｘ+ｚ).2.按公式分组例2　分解因式:ｘ2-ｙ2+ｙ-14.(2000年北京市大兴县中…     

2003年第二期初中数学问题解答

一、分解因式 :ｘ3+ｘ2 ｙ -ｘｙ2 -ｘｚ2 +ｙｚ2 -ｙ3.解 :原式 =(ｘ3+ｘ2 ｙ) -(ｘｙ2 +ｙ3) +(ｚ2 ｙ-ｘｚ2 )=(ｘ +ｙ)ｘ2 -ｙ2 (ｘ +ｙ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ +ｙ) (ｘ2 -ｙ2 ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ +ｙ) 2 (ｘ -ｙ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ -ｙ) (ｘ +ｙ +ｚ) (ｘ +ｙ -ｚ) .二、方程 2ｘ -1 +ｘ -2 =ｘ +1的实数解的个数是多少 ?解 :令 2ｘ -1 =0 ,ｘ -2 =0 ,ｘ +1 =0 ,解得ｘ1=12 ,ｘ2 =2 ,ｘ3=-1 .则上述三点把实数集合分为 4个区间 :( -∞ ,-1 ) ,〔 -1 ,12 ) ,〔12 ,2〕 ,( 2 ,+∞ ) .经考查 ,在〔12 ,2〕上 ,方程恒成立 ,因此原方程的实…     

谈谈变换的一个有趣作用

谈谈变换的一个有趣作用党庆寿（江苏江都市大桥高级中学２２５２１１）众所周知，若ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ＋，则有ｘ＋ｙ＋ｚｙｚ＋ｚｘ＋ｘｙ（１）ｘ＋ｙ＋ｚ３３ｘｙｚ（２）本文将通过对（１）作变换证明（２），并意外地得到一个非常有趣的不等式链，从而说明“变换”...     

恒等式与解方程(组)

利用配方法不难推证下列三元恒等式 :3 (ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) =(ａ +ｂ+ｃ) 2 +(ａ -ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 .巧用这一恒等式 ,可以妙解一类方程 (组 )竞赛题 .1.巧查一道错题例 1　设ｘ ,ｙ ,ｚ是三个实数 ,且有1ｘ +1ｙ+1ｚ=21ｘ2 +1ｙ2 +1ｚ2 =1,则 1ｘｙ+1ｙｚ+1ｚｘ的值是 (　　 ) .(Ａ) 1　 (Ｂ) 2　 (Ｃ) 32 　 (Ｄ) 3(1991年南昌市数学竞赛试题 )解一　利用 (ａ +ｂ +ｃ) 2 =(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) +2 (ａｂ+ｂｃ+ｃａ) ,容易误得 (Ｃ) 32 .∵　 2 2 =(1ｘ +1ｙ+1ｚ) 2=1ｘ2 +1ｙ2 +1ｚ2 +2 (1ｘｙ+1ｙｚ+1ｚｘ)=1+2 (1ｘｙ+1ｙｚ+1…     

一个不等式的推广

文 [1]提出了一个对称不等式 :已知ｘ ,ｙ∈Ｒ+,且ｘ + ｙ =1,则　　　 2 <(1ｘ -ｘ) (1ｙ - ｙ)≤ 94 (1)这个不等式自然使人想到三个变量的情形 .本文用微分法证明 (1)的一个推广 :已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ+,且ｘ + ｙ +ｚ =1,则(1ｘ -ｘ) (1ｙ - ｙ) (1ｚ-ｚ)≥ (83) 3(2 )证　由对称性 ,不妨设ｘ≤ｙ≤ｚ ,则 0 <ｘ + ｙ≤23,13≤ｚ <1,0 <ｘｙ≤ 19.由ｘ + ｙ +ｚ =1得ｚ =1-ｘ - ｙ ,代入 (2 ) ,整理得2 7(1-ｘ2 ) (1- ｙ2 ) (2 -ｘ - ｙ) (ｘ + ｙ)≥ 5 12ｘｙ·(1-ｘ - ｙ) ,两边取对数 ,欲证之式等价于ｆ(ｘ ,ｙ) =ｌｎ2 7-ｌｎ5 12 +ｌ…     

两个虚拟猜想的定性否定

否定某个猜想 ,必须寻找合适的反例 .同证明一样 ,反例的选取也需掌握方法与技巧 .为此文 [1]虚拟了两个猜想以说明之 .细细品味其思想方法 ,定将受益无穷 !姑且称文 [1]赋值计算否定的方法为定量否定 .其实 ,本文介绍的定性否定亦耐人寻味 !猜想 1　若ｘ ,ｙ ,ｚ为正数 ,有4ｘ2 - 5 (ｙ +ｚ)ｘ2 - 4(ｙ2 + ｙｚ +ｚ2 )ｘ + 5 (ｙ +ｚ) 3>0 (1)考查 (1)式左端结构特征 ,以ｘ为主元构造函数ｆ(ｘ) =[4 - 5 (ｙ +ｚ) ]ｘ2 - 4(ｙ2 + ｙｚ +ｚ2 )ｘ +5 (ｙ +ｚ) 3.令 4 - 5 (ｙ +ｚ) =0 ,注意到 ｙ2 + ｙｚ +ｚ2 =ｙ + ｚ22 + 34ｚ2 >0 ,知 ｆ(…     

三角形的一个边角变换的推广

王开广老师在贵刊 2 0 0 1年第 5期给出了一个三角形边到角的三角函数的变换 :定理　 ｆ (ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ ｆ (ｃｏｓ Ａ2 ,ｃｏｓ Ｂ2 ,ｃｏｓ Ｃ2 ,18(ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ) ) ,其中ａ ,ｂ ,ｃ ,△分别是△ＡＢＣ的三边和面积 .下同 .本文予以推广推广　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ｆ(ａ′ ,ｂ′ ,ｃ′ ,△′) ,其中　　ａ′ =ｙ2 ｚ2 2 ｙｚｃｏｓＡ,ｂ′=ｚ2 ｘ2 2ｚｘｃｏｓＢ ,ｃ′ =ｘ2 ｙ2 2ｘｙｃｏｓＣ,△′ =12 | ｙｚｓｉｎＡ ｚｘｓｉｎＢ ｘｙｓｉｎＣ| .ｘ ,ｙ ,ｚ是任意实数 ,且ｘｙｚ≠ 0 .为证明该推广…     

“换分母”巧证分式不等式

证明分母是多项式的某些分式不等式时 ,若将分母用其它变量替换 ,把所证不等式转化为较简单的不等式 ,往往可找到解题捷径 .例 1　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 (十年级 ) )对任意ａ >1,ｂ >1,求证 :ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1≥ 8.证　令ｂ - 1=ｘ ,ａ - 1=ｙ ,则ｘ ,ｙ∈Ｒ ,ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1=(ｙ 1) 2ｘ (ｘ 1) 2ｙ≥(2 ｙ) 2ｘ (2ｘ) 2ｙ=4 (ｙｘ ｘｙ)≥ 8.当且仅当ｘ =ｙ =1,即ａ =ｂ =2时等号成立 .例 2　 (《中等数学》1996年第 1期数学奥林匹克问题 )设ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,求证 :ｘ2ｘ ｙ ｚ ｙｘ 2 ｙ ｚ ｚｘ ｙ 2ｚ…     

一个递推关系导出的不等式链

文［１］给出了杨学枝老师提出的一个不等式的证明．本文利用一个递推关系给出这一不等式的一个加强的不等式链及其它不等式．设以实数ｘ、ｙ、ｚ为根的一元三次方程为ｔ３＋ｐｔ２＋ｑｔ＋ｒ＝０由根与系数间的关系知：ｐ＝－（ｘ＋ｙ＋ｚ），ｑ＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ，ｒ＝...     

用“若a+b=0,则ab≤0”解竞赛题

如果两实数ａ ,ｂ满足ａ +ｂ =0 ,则ａｂ≤0 .应用这个结论解答一些竞赛题十分简捷 .现举例说明 .例 1　ｘ ,ｙ ,ｚ均为实数 ,解方程组ｘ + ｙ =2ｘｙ -ｚ2 =1①②(1987年上海市初中数学竞赛 )解　由①得　 (ｘ -1) + (ｙ -1) =0 .∴ (ｘ -1) (ｙ -1) =ｘｙ-(ｘ + ｙ) + 1≤0 ③①、②代入③得　 (ｘ -1) (ｙ -1) =ｚ2 ≤ 0 ,∴　ｚ =0 ,　ｘ -1=ｙ -1=0 .故方程组的解是　ｘ =1,ｙ =1,ｚ =0 .例 2　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足ａ +ｂ +ｃ =0 ,ａｂｃ=8.求ｃ的取值范围 .(第一届“希望杯”初二数学竞赛 )解　由已知 (ａ + 12 ｃ) + (ｂ + 12 ｃ)…     

不等式a~3/x~2+b~3/y~2≥(a+b)~3/(x+y)~2的另证

文 [1 ]中谭志中和单老师为解决一类电场问题提出了一个不等式 ,即对于任意的ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,有不等式ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 ≥(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 成立 .(其中等号成立当且仅当ａｙ =ｂｘ ａｘ=ｂｙ) .文中为证明上述不等式 ,构造了恒等式 ,即 :ｆ (ｘ ,ｙ) =ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 =(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 +(ａｙ -ｂｘ)ｘｙ(ｘ + ｙ)ａｘ+ ｂｙ+ ａ +ｂｘ + ｙ .构造虽然巧妙 ,但一时不易让人接受 ,下面给出此不等式的另一种证法 .证　由于ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,ｘ ,ｙ∈Ｒ+ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 ≥(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 (ｘ2 + ｙ2 + 2ｘｙ)·ａ3ｘ2 + ｂ3…     

一个不等式的图证及推广

题目：若ｘ,ｙ,ｚ为正实数,则ｘ２＋ｘｙ＋ｙ２＋ｙ２＋ｙｚ＋ｚ２＋ｚ２＋ｚｘ＋ｘ２≥３（ｘ＋ｙ＋ｚ）;（当ｘ＝ｙ＝ｚ时取等号）;文［１］中,对上述不等式提出一个简洁图证;本文再对该不等式给出一个更具一般意义的有效图证,并进而给出其推广及证明;证明：原不等式左边等于ｘ＋ｙ２２＋３２ｙ２＋ｙ＋ｚ２２＋３２ｚ２＋ｚ＋ｘ２２＋３２ｘ２;构造图（１）,设ＡＦ＝ｘ＋ｙ２,ＤＧ＝ｙ＋ｚ２,ＥＨ＝ｚ＋ｘ２,ＤＦ＝３２ｙ,ＥＧ＝３２ｚ,ＢＨ＝３２ｘ;由勾股定理得：ＡＢ＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝ｘ＋ｙ２＋ｙ＋ｚ２＋ｚ＋ｘ２…     

对《W. Janous 猜测的推广》的质疑

Ｗ .Ｊａｎｏｕｓ猜测 :设ｘ ,ｙ,ｚ>0 ,则ｙ2 -ｘ2ｚ +ｘ +ｚ2 -ｙ2ｘ +ｙ +ｘ2 -ｚ2ｙ +ｚ >0 ( )文 [1 ]用排序不等式给出猜测的一个证明 ,并对项数推广得到设ｘ1 >0 (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,记Ｓ =ｘ1 +ｘ2 +… +ｘｎ,则ｘ22 -ｘ21 Ｓ-ｘ2 +ｘ23-ｘ22Ｓ-ｘ3+… +ｘ21 -ｘ2 ｎＳ-ｘ1 ≥ 0这个推广的证明是错误的 .Ｗ .Ｊａｎｏｕｓ猜测隐含条件 :左边关于ｘ ,ｙ ,ｚ对称 (这需要验证 ) ,而上述推广不具有对称性 ,不能设ｘ1 ≥ｘ2 ≥…≥ｘｎ>0 .例如 :当ｎ=4时 ,ｘ1 =1 ,ｘ2 =2 ,ｘ3=3 ,ｘ4= 4与ｘ1 =3 ,ｘ2 =1 ,ｘ3=2 ,ｘ4=4所对应的结果是…     

课外练习

初一年级1.若 |ｘ +ｙ -9|与 (2ｘ -ｙ + 3 ) 2 的值互为相反数 ,试确定 |ｘ -ｙ| 2 0 0 3的个位数 .(江苏如东县掘港钲北街 2 74号 (2 2 64 0 0 )　章　枚 )2 .解方程 :ｘ1× 2 + ｘ2× 3 +… + ｘ2 0 0 1× 2 0 0 2 =2 0 0 1.(安徽岳西县城关中学 ( 2 4 6 6 0 0 )　李庆社 )3 .已知ｘｙｚ≠ 0 ,ｘ + ｙ +ｚ =0 .求ｘ(1ｙ+ 1ｚ) + ｙ(1ｚ+ 1ｘ) +ｚ(1ｙ+ 1ｘ)的值 .(陕西千阳县崔家头中学 (72 110 4)常宝兴 )初二年级1.计算 2 -12 + 3 -26+ 4-312 +… +10 0 -99990 0 .(山东肥城市仪阳中学 (2 7160 2 )　宿传安 )2 .解方程组　4ｘ21+ 4ｘ2 …     

关于J.Vukman的一个问题

关于Ｊ．Ｖｕｋｍａｎ的一个问题黄允宝（杭州教育学院）本文Ｒ始终表示一个中心为Ｃ的结合环，我们将用符号［ｘ，ｙ］表示ｘｙ－ｙｘ并使用恒等式［ｘｙ，ｚ］＝［ｘ，ｚ］ｙ＋ｘ［ｙ，ｚ］，［ｘ，ｙｚ］＝［ｘ，ｙ］ｚ＋ｙ［ｘ，ｚ］．称环Ｒ是素环如果ａＲｂ＝０蕴含...     

巧用均值换元法 妙解因式分解题

本文以部分初中数学竞赛题为例,介绍均值换元法在因式分解中的应用.一.用ｔ=ａ+ｂ2换元例1　分解因式:(ｘｙ-1)2+(ｘ+ｙ-2ｘｙ)·(ｘ+ｙ-2).(1998年长春市初二数学竞赛题)分析:本题通常可以先去括号再化简整理进行分解因式,然而运算繁,不简捷,但巧取后面两多项式的平均项换元,就大不相同了.解:设ｔ=12〔(ｘ+ｙ-2ｘｙ)+(ｘ+ｙ-2)〕=ｘ+ｙ-ｘｙ-1,则ｘ+ｙ=ｔ+ｘｙ+1,所以原式=(ｘｙ-1)2+(ｔ+ｘｙ+1-2ｘｙ)(ｔ+ｘｙ+1-2)=(ｘｙ-1)2+〔ｔ-(ｘｙ-1)〕〔ｔ+(ｘｙ-1)〕=(ｘｙ-1)2+ｔ2-(ｘｙ-1)2=ｔ2=(ｘ+ｙ-ｘｙ-1)2=(ｘ-1)2(ｙ-1)2.二.用ｔ=ａ+ｂ+…