面积法解题举隅

对于一些涉及三角形的解析几何题 ,灵活地引用三角形面积公式 ,可以优化解题过程 ,请看下面的例图 1子 .例 1　在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ= 6 0° ,Ｓ△ＡＢＣ=8,试求ＢＣ边的中点Ｍ的轨迹方程 .解　以Ａ为原点 ,直线ＡＣ为ｘ轴 ,建立如图 1所示的直角坐标系 ,设Ｍ (ｘ,ｙ)(ｘ>0 ,ｙ >0 ) ,则　ＡＣ =2 (ｘ - 33ｙ) ,　ＡＢ =2·2 33ｙ ,∵　Ｓ△ＡＢＣ=12 ·ＡＣ·ＡＢ·ｓｉｎ∠ＢＡＣ =8,∴　 12 ·2 (ｘ - 33ｙ)·2·2 33ｙ·ｓｉｎ6 0°=8.故点Ｍ的轨迹方程是ｘｙ - 33ｙ2 =4　 (ｘ≥4 42 73,轨迹是双曲线在第一象限内的一支 ) .图 2例 2　如…     

用导数解初等数学题

对于某些较难的数学题 ,若想到运用导数解决 ,则能居高临下 ,往往能揭示题目之内核 ,且使得解题更容易操作 ,从而获得淡化复杂技巧的功效 .本文拟以数学竞赛题为主 ,就七个方面总结如下 .图 11　求切线的斜率例 1　 (《中等数学》)ＩＭＯ训练题 (6) .二(4) )如图 1 ,已知椭圆ｘ22 ｙ2 =1 ,ＤＡ⊥ＡＢ ,ＣＢ⊥ＡＢ且ＤＡ =3 2 ,ＣＢ= 2 ,动点Ｐ在ＡＢ上移动 ,则△ＰＣＤ的面积的最小值为 .解　易求直线ＣＤ :ｘ ｙ- 2 2 =0 .设切点Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,显见过Ｐ0 点与ＣＤ平行的切线ＥＦ和ＣＤ的距离为最小 .在ｘ轴上方 ,椭圆方程为ｙ= 1 - ｘ2…     

课外练习

高一年级1 .设ｘ ,ｙ为实数 ,且满足 (ｘ - 1 ) 3 + 2 0 0 3 (ｘ - 1 ) + 1 =0 ,(ｙ- 1 ) 3 + 2 0 0 3 (ｙ- 1 ) - 1 =0 .求ｘ + ｙ的值 .2 .已知锐角α ,β满足 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 + ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 =2 .求ｓｉｎ2 0 0 2 (α + β)的值 .3 .过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ作ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ .设ＰＡ =ＡＢ =ａ .求平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成二面角的大小 .高二年级1 .设数列 { 1ｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,是否存在数列 {ａｎ}使得等式Ｓ1 +Ｓ2 +… +Ｓｎ - 1 =ａｎ(Ｓｎ- 1 )对ｎ≥2的一切自然数都成立 ,并证明你的结论 .2 .ＡＢ…     

关于抛物线的一个命题的再推广

文 [2 ]推广了文 [1]的命题 ,本文进一步推广文[2 ]的命题 .定理 1　常态二次曲线Φ :Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =0上有一定点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和异于点Ｐ的两动点Ｑ ,Ｒ ,则ｋＰＱ·ｋＰＲ=λ(≠ ＡＣ)为定值的充要条件是动直线ＱＲ恒过定点Ｍ (ｘ0 Φ1λＣ -Ａ,ｙ0- Φ2λＣ -Ａ) ;ｋＰＱ·ｋＰＲ =λ =ＡＣ 的充要条件是ｋＱＲ =- λΦ2Φ1(其中Φ1=2Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｄ ,Φ2 =Ｂｘ0 2Ｃｙ0 Ｅ) .证　作平移 :ｘ′ =ｘ -ｘ0 ,ｙ′ =ｙ - ｙ0 ,代入Φ(ｘ ,ｙ) =0得Ａｘ′2 Ｂｘ′ｙ′ Ｃｙ′2 Φ1ｘ′ Φ2 ｙ′ =0 (1)设Ｑ…     

苏州市1999年高三教学调研数学试题

选择题 :本大题共 1 4小题 ,第 1～ 1 0题每小题 4分 ,第 1 1～ 1 4题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 .1　设全集为Ｒ ,Ａ ={ｘ|ｘ <- 2或ｘ >5 },Ｂ={ｘ| - 2 <ｘ <2 },则 (　　 )(Ａ) Ａ∪Ｂ =Ｒ .　　　 (Ｂ)Ａ∪ Ｂ =Ｒ .(Ｃ) Ａ∪ Ｂ =Ｒ . (Ｄ)Ａ∪Ｂ =Ｒ .2　已知直线ｌ1:ａｘ 3ｙ 1 2 =0与直线ｌ2 :ｘ (ａ - 2 )ｙ ａ2 - 5 =0平行 ,则实数ａ的值是 (　　 )(Ａ) - 1或 3. (Ｂ) 0或 1 .(Ｃ) - 1 . (Ｄ) 3.3　若 0 <ａ <1 ,则函数ｙ =ｌｏｇａ(…     

一个等比分割问题的推广

文 [1]给出了如下结论 :如图 1,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =2ａ ,ＡＤ =2ｂ ,Ｐ是上半平面上一点 ,ＰＤ ,ＰＣ与线段ＡＢ分别交于Ｄ1,Ｃ1,若ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ图 1成等比数列 ,则Ｐ点的轨迹为椭圆 (上半部分 ) .本文将考虑该问题的逆问题 ,并将该结论进行推广 .结论 1　如图 2 ,Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ)上一点 ,ｙ >0 ,以长轴ＡＢ为边作矩形ＡＢＣＤ ,ＡＤ =2ｂ ,ＰＤ ,ＰＣ分别交ＡＢ于Ｄ1,Ｃ1,则ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ成等比数列 .图 2　结论 1图证　过Ｐ作ＥＦ∥ＡＢ交ＤＡ的延长线于Ｅ ,交ＣＢ的延长线于Ｆ ,则ＰＥ =ａ…     

一个代数不等式的再推广

文 [1 ]中给出了一个代数不等式并由此推出了一系列的结果 ,文 [2 ]中对这一不等式作了推广 .本文将其再推广 ,给出更具一般性的形式 .定理　设ｘ =ｘ(ｔ) ,ｙ =ｙ(ｔ) ,ｔ∈Ｄ Ｒ ,ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ ,ｙ是Ｄ上单调函数 (可不严格 ) ,Ａ =ｘ(ｔ1)·[ｙ(ｔ1) - ｙ(ｔ2 ) ]+ｘ(ｔ2 )[ｙ(ｔ2 ) - ｙ(ｔ3) ]+… +ｘ(ｔｎ -1) [ｙ(ｔｎ -1) -ｙ(ｔｎ) ]+ｘ(ｔｎ) [ｙ(ｔｎ) - ｙ(ｔ1) ],ｎ >1 ,ｎ∈Ｎ .则1 )若ｘ ,ｙ增减性相同 ,得Ａ≥ 0 ,且当且仅当ｘ(ｔ1) =… =ｘ(ｔｎ)或 ｙ(ｔ1) =… =ｙ(ｔｎ)时 ,Ａ =0 ;2 )若ｘ ,ｙ增减性相反 ,得Ａ≤ 0…     

等腰梯形的一个优美特性

如果称椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1与双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2=1为一对等轴圆锥曲线 ,那么 ,笔者经研究发现 ,等腰梯形具有下面的优美性质 :定理　等腰梯形底上的两对顶点在一对等轴圆锥曲线上 ,且其对角线的交点为等轴圆锥曲线的一个公共顶点 .证明　如图 ,设梯形ＡＢＣＤ的两腰与两条对角线分别相交于点Ｅ、Ｆ ,以ＥＦ中点为原点 ,ＥＦ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ与Ｂ、Ｃ与Ｄ均关于ｘ轴对称设经过点Ａ ,Ｅ ,Ｂ ,Ｆ的椭圆方程为ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,Ａ (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ1 ,-ｙ1 ) ,由Ｆ(ａ ,0 ) ,Ｅ(-ａ ,0 )得直线ＢＤ、…     

配方法求一般二次曲线标准方程

本文介绍待定常数配方法求一般二次曲线标准方程 .只须方程组和点到直线的距离等基础知识 ,不仅方法简明 ,理论上也易为中学生接受 ,是中学解析几何教学改革的一个可行方案 .设一般二次曲线方程为　φ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ　 Ｅｙ Ｆ =0 (1 )当Ｂ =0时 φ(ｘ ,ｙ)可配方 ,故本文专论Ｂ≠ 0 ,并设Ａ≥ 0 ,记△ =Ｂ2 - 4ＡＣ .1　二次函数的配方定理 1　当Δ =0时 ,可恒等变形 ,使φ(ｘ ,ｙ) =(Ａｘ Ｃｙ ｈ1) 2 ｑ(- Ｃｘ　 Ａｙ ｈ2 ) ｒ (2 )证　因Δ =0 ,Ｂ≠ 0 ,Ａ≥ 0 ,必有Ａ >0 ,Ｃ >0 .展开 (2 )式右边与 (1…     

一道课本习题的引申及其应用

题 :已知一个圆的直径的端点是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,求证 :圆的方程是(ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) + (ｙ -ｙ1) (ｙ -ｙ2 ) =0 .这是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书 (试验本 )数学第二册 (上 ) (必修 )Ｐ82 第 3题 .把该题当结论应用 ,已有多文论及 ,本文将给出该题的推论和相应结论的应用 .推论　设直线ｌ∶Ｆ(ｘ ,ｙ) =0与二次曲线Ｇ(ｘ ,ｙ) =0交于不同的两点Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,由Ｆ(ｘ ,ｙ) =0Ｇ(ｘ ,ｙ) =0 分别消去 ｙ ,ｘ得 ｆ(ｘ) =0 ,ｇ(ｙ) =0 ,并使 ｆ(ｘ) ,ｇ(ｙ)的二次项系数相等 ,则以ＡＢ为直径…     

剖析两道课本习题的错误答案

人教社编写的试验修订本第二册上Ｐ96练习题第 4题是 :△ＡＢＣ的两个顶点Ａ ,Ｂ的坐标分别是 ( - 6 ,0 ) ,( 6 ,0 ) ,边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率之积等于 - 49,求顶点Ｃ的轨迹方程 .与之配套出版的《教师教学用书》所给答案是ｘ236 + ｙ21 6 =1 (ｙ≠ 0 ) .图 1　剖析用图这一答案是错误的 .事实上 ,设不等式 - 6≤ｘ≤ 6所表示的平面区域为Ｄ ,则在椭圆上但不在Ｄ内的点应被去掉 (如图1所示 ) .原因是 :①在区域Ｄ之外的椭圆部分任取一点Ｐ ,可知ＰＡ ,ＰＢ的斜率符号相同 ,其斜率之积不可能等于 - 49;②当Ｐ点落在直线ｘ =± 6上时 ,Ｐ…     

圆锥曲线的一个性质

定理　设Ｐ为圆锥曲线Ｅ上的任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,ＰＡ ,ＰＢ为倾斜角互补的动弦 ,则(Ⅰ )直线ＡＢ与ｌ的倾斜角也互补 ;(Ⅱ )线段ＡＢ中点的轨迹是与原曲线具有相同离心率的圆锥曲线 (当原曲线为圆时 ,ＡＢ中点的轨迹亦是圆 ) .证明　①当圆锥曲线为椭圆、圆或双曲线时 ,不妨设其方程为ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 (其中ｍ >0 ,ｎ >0或ｍｍ <0 ) .又设Ｐ ,Ａ ,Ｂ的坐标分别为(ｘ0 ,ｙ0 ) ,(ｘ1 ,ｙ1 ) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,直线ＰＡ的斜率为ｋ.(Ⅰ )由 ｙ-ｙ0 =ｋ(ｘ-ｘ0 )ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 ,得(ｍ +ｎｋ2 )ｘ2 + 2ｎｋ(ｙ0 -ｋｘ0 )ｘ +ｎ(ｙ0 -ｋｘ0 …     

圆锥曲线动弦的一个性质

定理 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )上一定点 ,ＰＡ ,ＰＢ为抛物线的任意两条弦 ,α1,α2 ,分别是ＰＡ ,ＰＢ的倾斜角 ,则(ⅰ )当ｔａｎα1·ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点 ;(ⅱ )当ｔａｎα1+ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 ;(ⅲ )当α1+α2 =定值θ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 .证明　设ＰＡ方程为ｘ=ｍ1ｙ+ｎ1,则ｎ1=ｘ0 -ｍ1ｙ0 ,将ＰＡ方程代入ｙ2 =2ｐｘ得ｙ2 -2ｐｍ1ｙ-2ｐｎ1=0设Ａ(ｘ1,ｙ1)、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则ｘ1=2ｐｍ21-2ｍ1ｙ0 +ｘ0ｙ1=2ｐｍ1-ｙ0 　　　　　①同理　　设ＰＢ方程为…     

指数函数与对数函数

选择题1　函数 ｙ =ｌｏｇ0 .5(4ｘ - 3)的定义域是 (　　 )(Ａ) {ｘ|ｘ≥ 1} .　　　 (Ｂ) {ｘ|ｘ≤ 1} .(Ｃ) {ｘ|ｘ >34 } . (Ｄ) {ｘ|34 <ｘ≤ 1} .2　函数 ｙ =ｌｏｇ12 (6-ｘ -ｘ2 )的单调递增区间是(　　 )(Ａ) [- 12 , ∞ ) . (Ｂ) [- 12 ,2 ) .(Ｃ) (-∞ ,- 12 ]. (Ｄ) (- 3,- 12 ].3　设 3ｘ=0 .0 3ｙ=10 - 2 ,则 1ｘ - 1ｙ 等于 (　　 )(Ａ) 1. (Ｂ) - 1.(Ｃ) 1-ｌｇ3. (Ｄ) ｙ =- 1 ｌｇ3.4　下列函数中 ,值域是 (0 , ∞ )的是 (　　 )(Ａ) ｙ =31ｘ - 2 . (Ｂ) ｙ =2 ｘ- 1.(Ｃ)ｙ =ｘ3ｘ. (Ｄ)ｙ =(15 ) ｘ - 1.5　函数 ｙ =1…     

体积法解一道微积分题

问题　求由曲线ｙ =x~2 在x轴正半轴与直线x=ｎ所围成的图形的面积Ｓ .此题已超出高一所学的知识范围 ,但我们合理运用祖日恒原理 ,化未知为已知 ,利用等体积的方法求解 .解　如图 ,构造正四棱锥Ｏ ＡＢＣＤ ,底面边长ＡＢ=ｎ ,高ＯＥ =ｎ ;又构造柱体ＯＨ ,以ＯＨＫ为中截面 ,高ＦＧ =1 .(其中ＯＨＫ即是曲线ｙ =ｘ2 与ｘ轴正半轴及直线ｘ =ｎ围成的图形 ) .设任一平行于底面的截面到点Ｏ的距离为ｘ ,则两截面的面积均为ｘ2 ,即有ＳⅠ =ＳⅡ .根据祖日恒原理 ,得ＶⅠ =ＶⅡ .∵　ＶⅡ =13 Ｓ底 ｈ =13 ＳＡＢＣＤ·ＯＥ =ｎ33 ,∴　ＶⅠ =…     

关于圆锥曲线弦中点问题的解法再探

直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一 .本刊文 [1]、文 [2 ]与文 [3 ] ,探讨了解此类问题的代点相减法、点参数法 ,本文用圆锥曲线弦的中点与斜率的关系给出一类统一解法 ,归结为定理 ,利用本文提供的定理来求解此类问题 ,能化难为易 ,化繁为简 .设圆锥曲线Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ +Ｆ=0的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,其斜率存在 ,设为ｋ ,且ｋ ≠ 0 .其中Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )、Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,则有Ａｘ21 +Ｃｙ21 +Ｄｘ1 +Ｅｙ1 +Ｆ =0 ,Ａｘ22 +Ｃｙ22 +Ｄｘ2 +Ｅｙ2 +Ｆ =0 ,两式相减并同除以 (ｘ1 -ｘ2 ) ,考虑到ｘ1 +ｘ2 =2ｘ0 ,ｙ1 +ｙ2 =2 ｙ0 ,得　　Ａｘ0 +Ｃｋｙ0 +Ｄ2 +Ｅｋ2 =0 .仿此可得 :定理 1　椭圆 ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ &;gt;0 ,ｂ&;gt;0 )的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ ,ｙ) ,其斜率ｋ存在且不为零 ,则　　 ｙｘ &;#183;ｋ =-ｂ2ａ2 .定理 2　双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1(ａ&;gt;0 ,ｂ &;gt;0 )的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ...     

一道课本习题的延伸和推广

新编高中数学课本第二册 (上 )有这样一道练习题 :一段长为ｌｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ,问这个矩形的长、宽各为多少时 ,菜园的面积图 1　解法 1用图最大 ,最大值是多少 ?下面先分析这道题的解法 .解法 1　如图 1,设矩形的宽为ｘｍ ,则其长为 (ｌ - 2ｘ)ｍ ,面积Ｓ =ｘ(ｌ - 2ｘ) =- 2ｘ2 ｌｘ =- 2 (ｘ - ｌ4 ) 2 ｌ28(0 <ｘ <ｌ2 ) .所以当ｘ =ｌ4 时 ,Ｓｍａｘ=ｌ28,此时ｌ- 2ｘ =ｌ2 .答　矩形的长为 ｌ2 ｍ、宽为 ｌ4 ｍ时 ,菜园的面积最大 ,最大值为 ｌ28ｍ2 .解法 2　同解法 1,Ｓ =ｘ(ｌ - 2ｘ) ,∵ 0 <ｘ <ｌ2 ,∴ｌ- …     

综合题新编选登

题 39　 已知椭圆Ｃ的方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两条渐近线为ｌ1,ｌ2 ,过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作直线ｌ,使ｌ⊥ｌ1,又ｌ与ｌ2交于Ｐ点 ,设ｌ与椭圆Ｃ的两交点从左到右依次为Ｂ ,Ａ(如图 1) .图 1　题 39图求|ＰＢ||ＰＡ| 的最大值及取得最大值时椭圆Ｃ的离心率ｅ的值 .解　设Ｃ的半焦距为ｃ,由对称性 ,不妨有ｌ1:ｙ =- ｂａｘ ,ｌ2 :ｙ =ｂａｘ .由ｙ =ｂａｘ ,ｙ =ａｂ(ｘ -ｃ) ,得Ｐ ａ2ｃ ,ａｂｃ .知点Ｐ在椭圆的右准线ｘ =ａ2ｃ上 .设点Ａ内分有向线段ＦＰ的比为λ ,由定比分点坐标公式求出点Ａ的…     

数形结合解2001年高考选择题

由于客观题的解答不要求写过程 ,所以数形结合思想对解客观题有独到的作用 .下面对 2 0 0 1年高考题中的 5道题用此法作出解答 .例 1　 (2 0 0 1年高考理 (1 )题 )若ｓｉｎθｃｏｓθ >0 ,则θ在 (　　 )(Ａ)第一、二象限 .　 (Ｂ)第一、三象限 .(Ｃ)第一、四象限 .　 (Ｄ)第二、四象限 .图 1　例 1图分析　借助于直角坐标系如图 1 ,易知选(Ｂ) .例 2　 (2 0 0 1年高考理 (2 )题 )过点Ａ (1 ,- 1 ) ,Ｂ(- 1 ,1 )且圆心在直线ｘ ｙ - 2 =0上的圆的方程是 (　　 )(Ａ) (ｘ - 3 ) 2 (ｙ 1 ) 2 =4.(Ｂ) (ｘ 3 ) 2 (ｙ - 1 ) 2 =4.(Ｃ) (ｘ …     

抛物线的切线与割弦的关系

结论 1　设 ｆ(ｘ ,ｙ) =ｘ2 - ｙ ,过抛物线ｆ(ｘ ,ｙ) =0外一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )作抛物线的切线 ,设Ｍ(ｘ0 ′ ,ｙ′0 )是切点 ,则有以下关系 :ＰＭ2 =ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) ( 1 +ｋ20 ) ,其中ｋ0 是Ｍ点处的切线斜率 ,在数值上有ｋ0 =2ｘ0 ′=2 (ｘ0 ±ｘ20 - ｙ0 ) .图 1　结论 1用图证　设切点为Ｍ (ｘ0 ′,ｙ0 ′) ,设切线方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 ) ,由ｙ- ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 ) ,ｙ =ｘ2 ,消去 ｙ得ｘ2 -ｋｘ +ｋｘ0 - ｙ0 =0 ,Δ =ｋ2 - 4(ｋｘ0 - ｙ0 ) =0 ,(ｋ - 2ｘ0 ) 2 =4ｘ20 - 4ｙ0 ,∴ｋ =2ｘ0 ± 2ｘ20 - ｙ0 ,∵Ｍ(ｘ0 ′ ,ｙ0 ′)…