一元二次方程教与学研究

第１课　一元二次方程（精讲式）一、问题提出１．如果一个正方形的面积为６４ｃｍ２,正方形的边长为ｘｃｍ,则ｘ２＝６４,ｘ＞０　①２．已知一个矩形的长比宽多２ｃｍ,宽为ｘｃｍ,矩形的面积为４５ｃｍ２,问矩形的宽是多少？依题意得：（ｘ＋２）ｘ＝４５　（ｘ＞０）整理得：ｘ２＋２ｘ－４５＝０　②３．在△ＡＢＣ中∠Ｃ＝９０°,ＡＢ＝１６ｃｍ,ＢＣ－ＡＣ＝２ｃｍ,求ＡＣ的长．若设ＡＣ＝ｘｃｍ则由勾股定理ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２,即ｘ２＋（ｘ＋２）２＝１６２整理得：ｘ２＋２ｘ－１２６＝０　③４．某片树林现估计木材…     

数学奥林匹克讲与练(12)

例题讲解８９．求证：可以用互不相似的三角形来覆盖全平面．证明　将平面划分为边长为１的正方形方格,并从某个正方形开始依顺时针方向给所有正方形编号（图１（ａ））,得到正方形序列｛Ｑｋ：ｋ≥１｝,它们覆盖全平面．１７１８１９２０２１１６５６７２２１５４１８２３１４３２９２４１３１２１１１０２５２８２７２６（ａ）（ｂ）　　　　　　　　　　（ｃ）图１取定实数列：ａ１＝１３,ａ２＝２３,ａ３＝２５,ａ４＝３５,…,ａ２ｋ－１＝ｋ２ｋ＋１,ａ２ｋ＝ｋ＋１２ｋ＋１,…,易见０＜ａ１＜ａ３＜…＜ａ２ｋ－１＜１２＜…     

数学竞赛之窗

有关本栏的稿件,请自接寄给熊斌（２０００６２,华东师范大学）．或冯志刚（２００２３１．上海市上海中学）提供试题及解答请尽量注明出处．　　本期给出由冯志刚先生提供的１９９９年上海市高中理科班、数学班招生选拔测试数学试卷及解答．１９９９年上海市高中理科班、数学班招生选拔测试数学试卷一、填空题（本大题满分８０分,每小题８分）１．已知方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两根之积为－６,ｂｘ２＋ｃｘ＋ａ＝０的两根之积为８,则ｃｘ２＋ａｘ＋ｂ＝０的两根之积为．２．图１由一些边长为１的正方形构成,那么,此图中边长为整数…     

十二省市(辽宁、云南、湖南、乌鲁木齐、昆明、哈尔滨、山西、广西、西宁、河南、嘉兴等、甘肃)填空题集萃

数与式１．计算９３ｘ－７１２ｘ＋２６·３８ｘ＝．２．－１３的倒数是．３．（－６）２＝．４．２０００用科学记数法表示为．５．ａ的３倍与ｂ的一半的和用代数式表示为．６．分解因式ａ２－２ａｂ＋ｂ２－ｃ２＝．７．配上适当的数,使等式ｘ２－ｘ＋１＝（ｘ－）２＋成立．８．３５的相反数是,｜－６｜＝．９．用科学记数法表示：５７００００＝．１０．分解因式：ａ－ａｂ２＝．１１．已知线段ａ＝４ｃｍ,ｂ＝９ｃｍ,则线段ａ、ｂ的比例中项ｃ＝ｃｍ．１２．化简：ａ（ａ－１）２－（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）＝．１３．计算：（ａ…     

单元目标检测、试题交流、寒假生活 参考解答

［单元目标检测］代数初步知识目标检测１．∨∨∨∨∨;∨∨∨．二、１．６ａ２ｃｍ２,ａ３ｃｍ３;２．８ｃｍ;３．ｘ（２０－ｘ）ｃｍ２;４．ｙ与ｘ的平方差与ｘ、ｙ的积．的商５．０;６．１,（可根据条件求得ｘ＝１,ｙ＝２）;７．ａ＝１;８．４８ｘ＝１２００．三、１．５（ａ３－ｂ３）－９,２．１２（２ｘ－ｙ２）３．３ｎ＋１和３ｎ＋２,４．（１＋４．１×１２‰）ａ,５．１（１ａ＋１ｂ）;６．２Ｓ（Ｓｘ＋Ｓｙ）千米时,７．（１＋１０％）（１－５％）ａ吨,８．ｎ－ｎ４－（ｎ４－５）四、１．…     

四边形单元检测题

四边形单元检测题（４５分钟完卷，满分１００分）一．填空题（共２５分）１．平等四边形的一个内角为１５０，周长是３０ｃｍ，面积２８ｃｍ２，则两邻边的长分别是，．２．Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是矩形ＡＢＣＤ各边中点，若ＡＢ＝８ｃｍ，ＳＥＦＧＨ＝１２ｃｍ２，则ＳＡ...     

代数初步知识目标检测

一、判断题（１６分）１．ｃ不是代数式．（　）２．２ａ－３＝４－ａ不是方程．（　）３．３４不是方程（ｘ－１２）３＝１６４的解．（　）４．ｂ表示任意整数,ｂ的倒数就是１ｂ．（　）５．ｙ的平方与３ｘ的平方差是ｙ２－３ｘ２．（　）６．代数式９ｘ２的值一定大于零．（　）７．十位上的数是ａ,个位上的数是ｂ的两位数可用代数式记作ａｂ．（　）８．方程ｘ－２＝７的解是ｘ＝５．（　）二、填空（２４分）１．正方体的棱长是ａｃｍ,它的表面积是,它的体积是．２．梯形上底ａ＝５ｃｍ,下底ｂ＝１０ｃｍ,它的面积Ｓ＝６０ｃｍ２…     

几个三角形面积比定理的统一证明

本文约定：△ＡＢＣ的三内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边长分别为ａ，ｂ，ｃ，面积为Ｓ，且△ＡＢＣ的半周长为ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ），内切圆半径长为ｒ（＝４ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２）．本刊文［１］给出了下面关于锐角三角形的内接三角形面积的一个不等式链Ｓ垂足△?..     

面积为2π[m（m＋1）＋2]的广义极小浸入球面

本文主要利用Ｐｌｕｃｋｅｒ公式，通过若干引理和命题，证明了全体具有面积为Ａ（ｘ）＝２π［ｍ（ｍ＋１）＋２］的广义极小满浸入ｘ：Ｓ＾２→Ｓ＾２ｍ构成的等价类空间微分同胚于齐性空间Ｇ＝ＳＯ（２ｍ＋１，Ｃ）／ＳＯ（２ｍ＋１，Ｒ）。     

关于方程a~x b~y=c~z的Terai-Jemanowicz猜想

设ｍ是正整数,证明了：（Ａ）如果ｂ是奇素数,且ａ＝ｍ３－３ｍ,ｂ＝３ｍ２－１,ｃ＝ｍ２＋１, 那么丢番图方程 ａｘ＋ ｂｙ＝ｃｚ（１）仅有正整数解（ｘ,ｙ,ｚ）＝（２,２,３）;（Ｂ）如果ｂ是奇素数,且 ａ＝ｍ｜ｍ４－１０ｍ２＋５｜,ｂ＝５ｍ４－１０ｍ２＋５｜,ｂ＝ ５ｍ４－１０ｍ２＋１, ｃ＝ｍ２＋ １,那么丢番图方程（１）仅有正整数解 （ｘ,ｙ,ｚ）＝（２,２,５）．     

不等式x~3 y~3 z~3≥3xyz的几何证法

我们先证ｘ２＋ｙ２≥２ｘｙ（ｘ、ｙ∈Ｒ＋,当ｘ＝ｙ时,等号成立）证明　如图１,设正方形ＡＢＣＤ的边长为ｘ,正方形ＢＥＦＪ的边长为ｙ,在ＡＢ上取ＡＨ＝ｙ,则ＨＢ＝ｘ－ｙ,故ＨＥ＝ＨＢ＋ＢＥ＝ｘ－ｙ＋ｙ＝ｘ,∴　Ｓ矩ＡＨＰＤ＝Ｓ矩ＨＥＦＫ＝ｘｙ．由图１显然有　Ｓ正ＡＢＣＤ＋Ｓ正ＢＥＦＪ≥Ｓ矩ＡＨＰＤ＋Ｓ矩ＨＥＦＫ,即　　　ｘ２＋ｙ２≥２ｘｙ（当且仅当ｘ＝ｙ时,等号成立）再证　ｘ３＋ｙ３＋ｚ３≥３ｘｙｚ（ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ＋,当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ时,等号成立）证明　如图２,设三个正方体ＶＡＢ、ＶＣＤ、ＶＥＦ…     

自然数的一个性质

我班某学生发现了一个自然数的性质,举例如下：９２－３２＝２（４＋５＋６＋７＋８＋９）－（９－３）;１３２－７２＝２（８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３）－（１３－７）;１００２－５７２＝２（５８＋５９＋…＋１００）－（１００－５７）．上面各等式中,前一个小括号内是连续自然数之和且这些自然数正好是等式左边被减数与减数之间的数．很明显有：对于ｎ,ｍ∈Ｎ,且ｎ＞ｍ,则有ｎ２－ｍ２＝２［（ｍ＋１）＋（ｍ＋２）＋…＋ｎ）］－（ｎ－ｍ）．对这一问题笔者作进一步探讨,得到如下结论．性质１　ｎ３－ｍ３＝３∑ｎｉ＝ｍ…     

一元一次方程目标检测题(一)

一、填空１．方程１３ｘａ＋２＝３是一元一次方程,则ａ＝．２．３ｘ－２与２ｘ－３互为相反数,则ｘ＝．３．（２ｘ－１）２＋｜３ｙ＋２｜＝０,则ｘ＝,ｙ＝．４．当ｍ＝时,关于ｘ的方程ｍｘ－８＝１７＋ｍ的解是－５．５．若５ｘｍｙ与１２ｙｎ＋２ｘ３是同类项,则ｍ＝,ｎ＝．６．把浓度为９５％的酒精１５００克稀释为７５％的酒精,需加水克．二、单项选择题１．已知ｙ＝１是方程２－１３（ｍ－ｙ）＝２ｙ的解,那么关于ｘ的方程ｍ（ｘ－３）－２＝ｍ（２ｘ－５）的解是（　）（Ａ）ｘ＝－２　　（Ｂ）ｘ＝－１（Ｃ）ｘ＝０　　（…     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年１２月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０４６求所有这样的△ＡＢＣ，它的三个边长ａ，ｂ，ｃ与面积Ｓ的数值恰好组成一组从小到大排列的连续自然数．解不妨设ａ＝ｎ－１，ｂ＝ｎ，ｃ＝ｎ＋１，ｓ＝ｎ＋２，这里ｎ＞１，ｎ∈Ｎ．将ａ，ｂ，ｃ...     

三角形目标检测题(B卷)

一、填空（１～５小题各３分,６～８小题各４分,９、１０小题各５分,共３７分）１．三角形的内角和是,一个外角等于的两个内角的和．２．等腰三角形的周长是４０ｃｍ,腰是底的２倍,则底边长ｃｍ．３．△ＡＢＣ的三个内角满足∠Ｃ＝∠Ａ－∠Ｂ,则△ＡＢＣ是三角形．４．如图Ａ－１４,∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝．图Ａ－１４图Ａ－１５５．如图Ａ－１５,ＡＤ是等腰Ｒｔ△ＡＢＣ的角平分线,ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ．若ＣＤ＝５ｃｍ,则ＢＥ＝ｃｍ．６．等腰三角形的底角等于１５°,腰的长２０ｃｍ,则腰上的高是ｃｍ．７．等边三…     

一道三角题多解的辨析

有这样一道三角题：已知ｓｉｎ２α＝ｍ,ｃｏｓ２α＝ｎ,求ｔｇ（α＋π４）的值．集众多书刊的解法如下．解法１ｔｇ（α＋π４）＝１＋ｔｇα１－ｔｇα＝１＋ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α１－ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α＝１＋ｍ＋ｎ１－ｍ＋ｎ．解法２ｔｇ（α＋π４）＝...     

三角形目标检测题(A)

一、填空（１～５小题各３分,６～８小题各４分,９、１０小题各５分,共３７分）１．按角分类,三角形可分为、和．２．△ＡＢＣ的边ＡＢ＝６ｃｍ,ＡＣ＝４ｃｍ,则第三边ＢＣ的范围是＜ＢＣ＜．图Ａ－１３．如图Ａ－１,ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线,ＡＢ＝ＡＣ．若∠Ａ＝５０°,则∠１＝．４．在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°,ＡＢ＝１３ｃｍ,ＡＣ＝５ｃｍ,则ＢＣ＝ｃｍ．图Ａ－２５．如图Ａ－２,已知线段ＡＢ,用尺规作ＡＢ的垂直平分线．（保留作图痕迹）６．等腰三角形的一个顶角比底角小３０°,则它与顶角相邻的外角等于．７．如图…     

THE VARIATION OF INVARIANT LINES AND LIMIT CYCLES FOR A QUADRATIC DIFFERENTIAL SYSTEM

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＣｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｒｅａｌｑｕａｄｒａｔｉｃｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｓｙｓｔｅｍｘ＝－ｙ＋δｘ－４ｘ２＋３ｘｙ＋１３ｙ２ｙ＝ｘ（１－１３ｘ－ｙ）．（１）Ｆｉｒｓｔ，ｆｏｒｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ，ｗｅｄｅｎｏｔｅｔｈｅｔｗｏ...     

引入参数证明不等式

引入参数证明不等式,思路明确,有章可循,是证明不等式的一种重要方法．尤其对不等式取上、下界时,各变元的取值不相等的问题,参数法更显奇效．下面举例说明之．例１　已知正数ａ、ｂ、ｃ,满足ａ＋ｂ＋ｃ＝３,求证：　４ａ＋１＋４ｂ＋１＋４ｃ＋１＞２＋１３．证明　∵　０＜ａ＜３,　∴　ａ２＜３ａ．令　４ａ＋１＝３ｘ２ａ＋２ｘａ＋１　＞ｘ２ａ２＋２ｘａ＋１＝（ｘａ＋１）２　（ｘ＞０）由　　　３ｘ２＋２ｘ＝４,解得　ｘ＝１３－１３　（负值已舍去）,∴　４ａ＋１＞１３－１３ａ＋１．同理有　４ｂ＋１＞１３－１３ｂ＋…     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年９月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０９１试证：ｃｏｓπ１３＋ｃｏｓ３π１３＋ｃｏｓ９π１３＝１＋１３４．证明记左边＝Ｉ，则Ｉ２＝ｃｏｓ２π１３＋ｃｏｓ２３π１３＋ｃｏｓ２９π１３＋２ｃｏｓπ１３ｃｏｓ３π１３＋ｃｏｓ３π１...