反例在高考压轴题中的运用

数学发现主要是提出证明和构造反例.在数学中,要证明一个命题成立,必须严格地在所给的条件下,用逻辑推理的方法推导出结论.要证明一个命题是错误的,极具有说服力而又简明的方法就是举出反例,去推翻它.在数学发展史上,恰当的反例推动了数学的发展·常常有这样的情况,一个重要的猜想,数学家用了很长的时间未能证明它,结果有人举出反例否定了这样的猜想,使问题得到了解决.反例通常是指用来说明某个命题不成立的例子,有人也称为与命题相矛盾的特例.对于某些高考压轴题从正面难以解答,我们不妨退后一步,找个反例否定它,从而轻松得以解决.那么反例如何构造?常见的方法有列举挑疵法、反设逆推法、顺推寻阻法.类型一列举挑疵法因为反例实际上就是说明问题不成立的一个特例.通常情况下,这个命题不是“一切情况下均假”,而是在有的情况下真,有的情况下假,经过全面考虑所有可能,一一严格验证,便把成立的情况排除出去,不成立的情况挑选出来,从而得到反例.例1(2007年湖北卷)已知m,n为正整数,(1)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;(2)对于n≥6,已知1-n1+3n<21,求证:1-nm+3n<21m,m=1,2,…,n;(3)求出满...     

反例教学——中学数学探究性学习的重要环节

众所周知,要判断一个命题是真命题,必须经过严格的证明,而判断一个命题是假命题,只要举出一个反例.所谓举反例就是举出符合命题的题设,而不满足命题结论的例子.因其具有构造性,所以举反例实际上是一种创造性思维的体现.但在中学数学的教学中,强调证明有余,而对反例教学却明显重视不够.其实,反例和证明在知识发现的过程中具有同等地位,是"观察——归纳——猜想——证明(反例)"这一数学知识探究过程中的重要环节.可以说,反例     

构建反例与特例

<正>一个数学命题,要断定它是错误的,只要举出一个满足条件但结论不成立的例子,就足以否定这个命题,这样的例子就是通常意义下的反例.在数学推理中,构造反例与提出证明一样,是一项积极的创造性的思维活动,二者具有同等重要的作用.学会构造反例是数学爱好者必须掌握的技能,也是培养能力的重要手段,它不仅对加深记忆,深入理解定义、定理或公式等起着重要作用,同时也是纠正错误的常     

略论“反例”在《高等数学》教学中的作用

<正> 众所周知,在数学中要确立一个命题之为真,必须在已有的知识之上,经过一系列的逻辑推理予以证明;而要说明一个命题之为不真,却只要举出一个“反例”即可。正如美国学者B.R.盖尔鲍姆等人所指出的,“一个数学问题用一个反例予以解决,给人的刺激犹如一出好的戏剧”。这个比喻,形象地说明了“反例”在数学教学中起着重要的作用。我们认     

反例--打开学生思维的另一扇窗户

反例在数学中有其独特的功能,对一个以全称量词引入的命题进行否定,一般可以举出符合条件,但结论不成立的例子,这样的例子就是反例.例如费马(1601-1665)根据n=1,2,3,4的情况,提出“形如22n+1(n∈N的数是素数”的猜想,结果被欧拉(1701-1783)否定了,理由是当n=5时,232+1=641×6700417,该数不是     

初等数学中反例的作用和构造

上海市新编数学课本中提出：“要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子就行了．”这在数学中称为举反例．     

关于二元函数极值的一个错误命题

本文举出反例,说明文[1]中一个关于二元函数极值的命题是错误的,并结合反例,详尽的剖析了错误产生的原因,以及命题作者所给证明中的疏漏.     

构造——一种富有创意的思考和方法

有些数学问题直接求解比较困难,可以通过创造性的构造转化问题使问题获解．比方说：要求解某一代数问题,可以先根据它的几何意义画出图形,再借助图形中的关系解决原问题;要证明某一个不等式,可以先引入有关函数,再利用函数的性质得出所要证的不等式;要判定一个数学命题不真,可以举出它的一个反例;     

一元微积分中反例拾零

<正> 如所周知,在数学上要确立一个命题为真,必须经过一系列的逻辑推理给予严密的证明,而要说明一个命题为不真,却只要找到一个反例即可.正如美国学者B.R.盖尔鲍姆等人所指出的,“一个数学问题用一个反例予以解决,给人的刺激犹如一出好的戏剧。”这个比喻足以说明数学反例在学习数学中的作用.掌握一定数量的重要的反例,成为学习数学者所必须具备的基础知识之一.恰到好处地引用反例,以加深理解基本概念,     

反例在中学数学教学中的作用

判断数学命题的真假是数学的重要内容之一。在数学里要判断命题为真,必须通过严格的证明。所谓证明就是使用命题的假设、公理、定义以及前面已经证明的定理,根据推理格式导出命题的结论来。要说明一个数学命题“若A则B”为假,就意味着要找到符合条件A的对象但不具有性质B,也就是说,要找出一个反例。由此证明和反例就形成了判断数学命题的真假的两个方面。我们可以说提出证明和构造反例在数学中具有同等的重要性。因此在中学数学教学中应该培养学生使用反例和构造反例的能力。目前由于有的学生这方面的能力差,当教师指出了他们对某些概念、定理、公式、法则的理解和应用有错误时,他们还不知错误产生的原因。为了引起教师对培养使用和构造反例能力的重视,本文试图分析一下反例在中学数字教学中的作用。一反例有助于明确概念     

培养学生构造反例的兴趣与能力一例

在高中代数数学归纳法部份的教材中,曾举出反例a_n=(n~2-5n+5)~2来说明通过不完全归纳得出的结论要用数学归纳法证明的必要以及用数学归纳法证明命题的两个步骤缺一不可的道理。这个反例的作用是可想而知的。而具有探索精神的学生并不满足于仅仅知道这个反例,他们更想知道这个反例是怎样想出来的。为了培养学生思维的积极性和探索、创造的能力,我们进一步研究了这个反例的几种其他构造法。     

立体几何中的几个反例

我们知道 ,要断定一个命题是真命题 ,必须要进行严格的论证 ,即证明对满足题设的所有情况结论都正确 .但要否定一个命题却只要举出一个反例即可 .因此 ,当我们难以肯定一个命题是真命题时 ,就应考虑是否能够找到一个满足题设却不是题中结论的例子 (即反例 ) ,若能找到 ,便可以判定该命题是假命题 .现就立体几何中的几个假命题举反例如下 ,供大家参考 .命题 1　侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 .图 1　命题 1的反例示意图反例　如图 1,令三棱锥Ｖ ＡＢＣ中的棱ＶＡ=ＶＢ =ＢＣ =ＡＣ ,ＡＢ =ＶＣ ,ＶＡ≠ＡＢ ,则三棱锥Ｖ ＡＢＣ是…     

论反例

(一) 反例在数学中的地位和作用所谓反例,通常是指用来说明某个命题不成立的例子。在数学中要证明一个命题成立,要严格的论证在符合题设的各种可能的情况下,结论都成立,也就是要求证明必须具有一般性,面面俱到,缺一不可,而要推翻一个命题,却     

浅谈反例的寻求

浅谈反例的寻求钟焕清（福建武平一中３６４３００）数学命题并非一定都为真．要判断一个命题为真，必须通过严格的证明．要判断一个命题为假，只需找出一个反例（一个符合题设条件而结论不真的命题）即可·反例在发现和认识数学真理、强化数学基础知识的理解和掌握以及培...     

试谈反例的构造

众所周知，肯定一个命题需要给予证明，而否定一个命题只需举出反例．因此，在以判断题和选择题为主体的命题研究中，反例作为一个研究方向的体现之一，其作用是其它任何方法与途径都不能替代的．本文对于反例的构造作一初步探索，希望对教与学有所帮助．一、寻觅“特殊”...     

例谈反例的教学功能

在数学的发展史中 ,反例和证明占有同等重要的地位 .一个正确的数学命题需要严密的证明 ,谬误则靠反例即可否定 .因此 ,在中学数学的教学中 ,反例也有着极为重要的意义 ,它在发现和认识数学真理 ,强化数学基础知识的理解和掌握 ,培养学生思维能力和创造能力 ,以及提高学生解题速度等方面的意义和作用是不可低估的 .本文就此谈谈反例教学的几点认识 ,以供参考 .1　利用反例 ,深化学生对知识的理解在中学数学教学中 ,我们不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点 ,而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质 ,弥补正面教学的不足 ,从…     

否定的技巧

否定就是选择反例去否定一个数学猜想 .然而对于一个貌似正确的猜想如何去寻找出一个适合的反例这并不是一件容易做到的事 .在这里要告诉大家一个我的体验 ,那就是选反例不能靠瞎碰乱撞 ,同证明一样 ,需要方法和技巧 .现举几例加以说明 .例 1　猜想 :若ｘ ,ｙ ,ｚ为正数 ,有4ｘ2 - 5 (ｙ ｚ)ｘ2 - 4 (ｙ2 ｚｙ ｚ2 )ｘ 5 (ｙ ｚ) 3>0 (1)这个不等式如果你随意举一组ｘ ,ｙ ,ｚ的数值 ,大体都成立 ,但如果你要去证它成立 ,则又很难 .考察一下它的构成特点 ,不妨建立ｘ与 ｙ ｚ之间的关系 ,即设ｘ =ｙ ｚ ε (ε>0 ) ,以便简化原式 .…     

略谈反例教学的功能

略谈反例教学的功能刘永贵（河南省永城师范学校４７６６１８）在数学的发展史中，反例和证明占有同等重要的地位正确的数学命题需要严密的证明，谬误则靠反例即可否定反例在数学发展中有着极其重要的作用同样，在中学数学的教学中，反例也有着极为重要的意义它在...     

多元函数微积分中的反例拾零

<正> 严格地证明一个命题和构造一个反例否定一个命题,其数学意义是同样重要的。构造反例的思维方法是深入理解多元函数微积分中基本概念必不可少的。我们在基本概念的剖析中已经给出了许许多多的反例说明定理条件的充分性和概念之间的关系。事实证明,反例的构成和养成举反例去思考的习惯,确实有助于对概     

怎样举反例

学习过程中,我们经常试图判断一般性命题的真假,往往是通过推理论证验证命题的正确性,而通过反例来驳斥这个命题.何为反例?为说明一个命题是假命题而举出的使之具备命题的条件,而不具有命题的结论的例子称为反例.通过反例,可以使我们认识到事物的本质属性,帮助我们从正反两方面辩证地思考问