一道不等式的几何证法

题 1　在锐角三角形ＡＢＣ中 ,求证 :ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ >ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ .这是一道三角不等式 ,证明的方法比较多 ,下面给出二种几何证法 .图 1　证法 1图证 [方法 1]　设△ＡＢＣ的外接圆圆心为Ｏ(由于△ＡＢＣ为锐角三角形 ,Ｏ在△ＡＢＣ内部 ) ,设其直径为 1,连结ＡＯ ,ＢＯ ,ＣＯ并延长交⊙Ｏ分别于Ｄ ,Ｅ ,Ｆ .顺次连结Ａ ,Ｆ ,Ｂ ,Ｄ ,Ｃ ,Ｅ ,Ａ .设△ＡＢＣ三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ.∠ＢＡＣ ,∠ＡＢＣ ,∠ＡＣＢ简记为∠Ａ ,∠Ｂ ,∠Ｃ .∵∠Ａ =∠ＢＥＣ ,在Ｒｔ△ＢＥＣ中 ,ｓｉｎ∠ＢＥＣ =ａ ,ｃｏｓ…     

一个几何恒等式的推广及其应用

关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1　设△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,Ｐ为△ＡＢＣ内部的任意一点 ,过Ｐ向三边作垂线段ＰＤ =ｒａ,ＰＥ=ｒｂ,ＰＦ =ｒｃ,若设△ＡＢＣ、△ＤＥＦ的面积为△与△′ ,则有　 4△△′ =ｒａｒｂｈａｈｂ ｒｂｒｃｈｂｈｃ ｒｃｒａｈｃｈａ. ( 1)证明　如图 1,因为ＰＤ⊥ＢＣ ,ＰＥ ⊥ＣＡ ,ＰＦ ⊥ＡＢ ,故　∠Ａ ∠ＥＰＦ =π ,∠Ｂ ∠ＦＰＤ =π ,∠Ｃ ∠ＤＰＥ =π .由三角形的面积公式可得　△′ =Ｓ△ＥＰＦ Ｓ△ＦＰＤ …     

2002年中国数学奥林匹克试题解答

1　△ＡＢＣ的三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,ｂ <ｃ,ＡＤ是∠Ａ的平分线 ,点Ｄ在边ＢＣ上 ,1)求在线段ＡＢ ,ＡＣ内分别存在点Ｅ ,Ｆ(不是顶点 )满足ＢＥ =ＣＦ和∠ＢＤＥ =∠ＣＤＦ的充要条件(用角Ａ ,Ｂ ,Ｃ表示 ) ;图 1　题 1图2 )在点Ｅ和Ｆ存在的情况下 ,用ａ ,ｂ ,ｃ表示ＢＥ的长 .解　 1)设∠ＦＤＣ =∠ＥＤＢ =α ,则在△ＤＦＣ中 ,由正弦定理得ＣＦｓｉｎα =ＣＤｓｉｎ∠ＤＦＣ =ＣＤｓｉｎ(α +Ｃ) .即　　ＣＦ =ＣＤｓｉｎαｓｉｎ(Ｃ +α) (1)在△ＤＥＢ中 ,同理有　　　ＢＥ =ＤＢｓｉｎαｓｉｎ(Ｂ +α) (2 )由 (1) ,(2 )及ＢＥ …     

一道竞赛题的三角简证及空间推广

1999年全国高中数学联赛加试第一题 :在四边形ＡＢＣＤ中 ,对角线ＡＣ平分∠ＢＡＤ ,在ＣＤ上取一点Ｅ ,ＢＥ与ＡＣ交于Ｆ ,延长ＤＦ交ＢＣ于Ｇ .求证 :∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .证明　如图 1,连接ＢＤ交ＡＣ于Ｏ点 ,在△ＢＣＤ中运用塞瓦定理ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ&;#183;ＤＯＯＢ =1,∴ ＯＢＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.又∵　ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,∴　 ＡＢＡＤ =ＢＯＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.图 1　　　　　　　　　图 2设∠ＧＡＣ =α ,∠ＥＡＣ =β ,则∠ＢＡＧ =Ａ2 -α ,∠ＤＡＥ =Ａ2 -β ,由相似三角形比的性质有　　 ＢＧＧＣ =ＡＢｓｉｎ( Ａ2 -α)ＡＣｓｉｎα ,　　 ＣＥＥＤ =ＡＣ&;#183;ｓｉｎβＡＤｓｉｎ( Ａ2 -β),代入上式得到ｓｉｎ( Ａ2 -α) &;#183;ｓｉｎβ=ｓｉｎα&;#183;ｓｉｎ( Ａ2 -β) .按三角函数的差角公式展开即得ｓｉｎ(α -β) =0 ,其中α、β∈ ( 0 ,π2 ) ,∴　α=β ,即是　∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .它的空间形式如图 2 :在四面体ＡＢＣＤ中 ,∠ＢＡＣ =∠ＤＡＣ ,ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,Ｅ是ＣＤ边上任一点 ,连结ＢＥ交...     

初二几何第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题:(每小题3分,共24分)1.在△ＡＢＣ中,∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ=1∶2∶3,那么△ＡＢＣ是三角形.2.如果等腰三角形的腰长为10ｃｍ,那么底边长的取值范围是.3.Ｒｔ△ＡＢＣ的两锐角的平分线交成的角是.4.“对顶角相等”的逆命题是.5.在一个钝角三角形中,已知一个锐角等于30°,则另一个锐角ｘ的取值范围是.6.在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中,ＡＢ=ＤＥ,∠Ａ=∠Ｄ,欲使△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ,则根据边角边公理还需;根据角边角公理还需;根据角角边公理还需.7.如果等腰三角形两边长分别是8ｃｍ和13ｃｍ,那么它的周长为.8.在△ＡＢＣ中,∠Ｂ=70°,ＡＤ是…     

数学问题解答

20 0 1年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 3 6　⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ垂直于非直径的弦ＣＤ ,弦ＡＥ与半径ＯＣ交于点Ｆ ,弦ＤＥ交弦ＢＣ于点Ｇ .求证 :ＦＧ∥ＡＢ .(四川省普格县荞窝农场子弟学校　王承宣　 6 1 5 3 0 2 )证明　如图 ,连结ＢＤ、ＣＡ .∵ＡＢ ⊥ＣＤ ,∴ ＣＡ =ＤＡ ,ＣＢ=ＢＤ ,∴∠ＣＯＡ =∠ＣＢＤ ,又ＡＯ =ＣＯ ,∴∠ＡＣＦ =∠ＧＣＤ ,又∠ＥＡＯ=∠ＥＤＢ ,∠ＣＡＦ=∠ＣＤＥ ,∴△ＡＣＯ ∽△ＣＢＤ ,△ＡＯＦ∽△ＤＢＧ ,△ＡＣＦ∽△ＤＣＧ ,∴ ＣＦＣＧ =ＡＣＣＤ =ＡＯＢＤ =ＦＯＧＢ,即 ＣＦＦＯ =Ｃ…     

数学问题解答

20 0 1年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 46　已知 :点Ｐ是△ＡＢＣ内一点 ,∠ＰＡＢ =∠ＰＢＣ =∠ＰＣＡ=α.Ａ′Ｂ′,Ｂ′Ｃ′,Ｃ′Ａ′分别过Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点 ,且分别垂直于ＰＡ ,ＰＢ ,ＰＣ .求证 :Ｓ△ＡＢＣ =Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ｓｉｎ2 α(江西省宜丰县二中　龚浩生　 3 3 63 0 0 )证明　如图 ,过点Ｃ′作Ｃ′Ｄ⊥Ｂ′Ｐ于Ｄ ,连结ＣＤ .因为　ＰＡ⊥Ａ′Ｂ′ ,ＰＢ⊥Ｂ′Ｃ′所以　Ａ ,Ｂ′,Ｂ ,Ｐ四点共圆所以　∠ＤＢ′Ｂ =∠ＰＡＢ =α又显然 ,Ｐ ,Ｂ ,Ｃ′,Ｄ ,Ｃ五点在以ＰＣ′为直径的圆上 .所以　∠ＰＤＣ =∠Ｐ…     

数学问题解答

20 0 1年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 31 1　ＡＢ是⊙Ｏ非直径的弦 ,半径ＯＣ ⊥ＡＢ于Ｍ ,Ｄ是ＯＢ的中点 ,Ｅ在劣弧ＢＣ上 ,且∠ＡＥＤ =∠ＡＣＯ ,ＡＥ交ＣＢ于Ｆ ,交ＣＯ于Ｎ .求证 :Ｓ△ＦＣＮＳ△ＤＭＯ =ＣＮＭＯ.(重庆市合川太和中学　陈开龙　 40 1 555)证明　如图 ,延长ＣＯ交⊙Ｏ于Ｐ ,连结ＥＰ ,ＦＤ .∵ＣＰ是直径 ,ＯＣ ⊥ＡＢ ,∴ＡＰ =ＢＰ ,故∠ 1 =∠ 2 ,ＡＣ =ＢＣ .∵∠ＡＥＤ =∠ＡＣＰ ,又∠ＡＥＰ =∠ＡＣＰ ,∴∠ＡＥＤ =∠ＡＥＰ ,即Ｅ ,Ｄ ,Ｐ三点共线 .∵ＯＢ =ＯＣ ,∴∠ 3=∠ 2 ∠ＯＢＣ =2∠ 2 …     

一道高中数学联赛题的解法探讨

20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1　三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1　 (直接法 )　 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同…     

数学问题解答

20 0 2年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 361　如图 ,Ｃ为半圆上一点 ,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ ,ＡＢ为直径 ,Ｇ、Ｈ分别为 △ ＡＣＤ、△ ＢＣＤ的内心 ,过Ｇ、Ｈ作直线交ＡＣ、ＢＣ于Ｅ、Ｆ ,求证 :ＣＥ =ＣＦ .(安徽省肥西中学　刘运谊　 2 31 2 0 0 )证明　连结ＤＧ并延长ＡＣ于Ｍ ,连结ＤＨ并延长ＣＢ于Ｎ ,再连结ＭＮ、ＡＧ、ＢＮ .因为ＣＤ⊥ＡＢ所以∠ＣＤＡ=∠ＣＤＢ =90°而Ｇ、Ｈ分别为 △ＡＣＤ、△ＢＣＤ的内心所以ＤＭ、ＤＮ分别是∠ＣＤＡ =∠ＣＤＢ的平分线所以∠ＭＤＣ =∠ＭＤＡ=∠ＮＤＣ =∠ＮＤＢ= 45°在 △ ＭＡＤ和…     

数学问题解答

20 0 3年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 6　Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ=90°,Ｄ、Ｅ为ＢＣ边上的两点 ,△ＡＤＥ的外接圆分别交边ＡＢ、ＡＣ于点Ｐ和Ｑ ,且ＢＰ +ＣＱ =ＰＱ ,求∠ＤＡＥ的度数 .(安徽省南陵县第二中学　金旗　2 42 40 0 )图 1引理　如图 1 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ上两点 ,且ＡＥ=ＢＥ ,ＥＦ=12 (ＡＤ +ＢＣ) ,则有ＥＦ ∥ＢＣ .(该引理较易证明 ,略 )解　如图 2 ,过Ｐ点作ＰＦ ⊥ＡＢ ,ＰＦ交ＢＣ于Ｆ点 ,取ＰＱ的中点Ｏ ,连结ＯＥ ,ＰＥ .图 2因为ＡＢ =ＡＣ ,∠Ｂ…     

数学问题解答

20 0 1年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 96　ＡＣ是 ＡＢＣＤ较长的一条对角线 ,Ｏ为 ＡＢＣＤ内部一点 ,ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ ,ＯＦ⊥ＡＤ于Ｆ ,ＯＧ⊥ＡＣ于Ｇ .求证 :ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ=ＡＧ·ＡＣ证明　不妨设Ｏ在△ＡＢＣ内 ,ＯＦ与ＯＣ交于Ｐ ,连结ＡＯ ,作ＢＭ ⊥ＡＯ ,ＢＬ⊥ＡＣ ,ＤＮ ⊥ＡＯ ,ＤＫ⊥ＡＣ ,ＣＱ ⊥ＡＯ ,Ｍ、Ｌ、Ｎ、Ｋ、Ｑ均为垂足 .∵Ｅ、Ｂ、Ｍ、Ｏ四点共圆∴ＡＥ·ＡＢ =ＡＯ·ＡＭ同理 ,ＡＦ·ＡＤ =ＡＮ·ＡＯ∴ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ =ＡＯ· (ＡＭ ＡＮ)(1 )设∠ＤＡＣ =α ,∠ＣＡＢ =β ,∠…     

立体几何中有关“角”的几个结论

立体几何中的角包括两条直线的夹角、两条异面直线所成的角、二面角以及直线和平面所成的角 .在立体几何中经常出现有关这些角的计算或论证问题 ,对这些问题 ,本文所给出的几个结论是非常有用的 .定理 1　如果二面角Ａ-ＰＣ-Ｂ为直二面角 ,∠ＡＰＣ =θ1 ,∠ＢＰＣ =θ2 ,∠ＡＰＢ =θ ,则ｃｏｓθ=ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 .证明　(1 )若θ1 、θ2 都是锐角 ,过Ａ在面ＡＰＣ内作ＡＤ⊥ＰＣ于Ｄ ,则ＡＤ⊥面ＰＢＣ .在面ＰＢＣ内作ＤＥ ⊥ＰＢ于Ｅ ,连结ＡＥ ,由三垂线定理 ,ＡＥ⊥ＰＢ .所以ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 =ＰＤＰＡ· ＰＥＰＤ =Ｐ…     

初三几何第一学期期中自测题

Ａ组一.选择题(每小题3分,共30分)1.在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,ａ,ｂ,ｃ分别是∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ的对边,下列关系式中错误的是(　).Ａ.ｂ=ｃ·ｃｏｓＢ　　　　Ｂ.ｂ=ａ·ｔｇＢＣ.ａ=ｃ·ｓｉｎＡ　Ｄ.ａ=ｂ·ｃｔｇＢ2.在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,ＡＣ=3,ＢＣ=4,则ｃｏｓＡ=(　).Ａ.34　　Ｂ.35　　Ｃ.43　　Ｄ.453.当锐角Ａ>60°时,ｓｉｎＡ的值(　).Ａ.小于12　　　　　　Ｂ.大于12Ｃ.小于32Ｄ.大于324.如果∠Ａ为锐角,且ｃｏｓＡ=35,那么(　).Ａ.0°<∠Ａ≤30°　　Ｂ.30°<∠Ａ≤45°Ｃ.45°<∠Ａ≤60°　Ｄ.60°<∠Ａ≤90°5.已和α…     

数学问题解答

20 0 1年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 30 6　△ＡＢＣ中 ,∠ＡＢＣ=70° ,∠ＡＣＢ =30° ,Ｐ为形内一点 ,∠ＰＢＣ =40°,∠ＰＣＢ =2 0° .求证 :ＣＡ·ＡＢ·ＢＰＡＰ·ＰＣ·ＣＢ =1(黑龙江绥化教育学院　田永梅　 1 52 0 54)证明　如图 1 ,以ＡＢ为一边在△ＡＢＣ内作正△ＤＡＢ ,连ＤＰ ,ＤＣ .在ＡＣ上取一点Ｅ ,使ＥＣ=ＤＣ ,连ＰＥ .由∠ＡＣＢ =30° ,可知Ｄ为△ＡＢＣ的外心 ,有∠ＤＣＢ =∠ＤＢＣ =1 0° .由∠ＤＣＰ=1 0°=∠ＡＣＰ ,可知Ｅ与Ｄ关于ＰＣ对称 ,有∠ＰＤＣ =∠ＰＥＣ ,ＰＥ =ＰＤ .由∠ＰＢＡ =30°…     

一道中考题新解

已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边分别为ＡＢ=2 ,ＢＣ =6,ＣＤ =ＤＡ =4,求四边形ＡＢＣＤ的面积 .解　如图 ,连接ＡＣ、ＢＤ .在ＣＢ上截取ＣＥ =ＣＤ =4并且连接ＡＥ ,ＤＥ .ＡＥ交ＤＢ于Ｆ .∵ＣＤ =ＤＡ =4,∴　∠ 1=∠ 2 .∵　ＡＢＣＤ四点共圆 ,∴　∠ 1=∠ 3 ,　∠ 2 =∠ 4.∴　∠ 3 =∠ 4.∴　ＢＦ为∠ＡＢＥ的平分线 .∵　ＢＥ =ＣＢ -ＣＥ =6-4 =2 ,∴　ＡＢ =ＢＥ =2 .∴　△ＢＡＥ为等腰△ .∵　ＢＦ为∠ＡＢＥ的平分线 ,∴　ＢＦ垂直平分ＡＥ .　　又∵　ＢＦＤ在一条直线上 ,∴　ＤＡ =ＤＥ =4.∴　ＤＥ =ＤＣ =ＣＥ =4.∴　△Ｃ…     

利用全等三角形证题

学习全等三角形,除了要理解和掌握全等三角形的概念、判定和性质外,还要学会利用全等三角形证题.下面以近几年全国各省市的中考题为例予以说明,以供参考.一.直接证直接利用两个三角形全等证明两条边或两个角相等.例1　已知:如图1,点Ｄ,Ｅ在△ＡＢＣ的边ＢＣ上,ＢＤ=ＣＥ,ＡＢ=ＡＣ.求证:ＡＤ=ＡＥ.(2001年广西中考题)证明:在△ＡＢＣ中,∵ＡＢ=ＡＣ,∴∠Ｂ=∠Ｃ.在△ＡＢＤ和△ＡＣＥ中,∵ＡＢ=ＡＣ(已知),∠Ｂ=∠Ｃ(已证),ＢＤ=ＣＥ(已知),∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ(ＳＡＳ).∴ＡＤ=ＡＥ(全等三角形的对应边相等).例2　如图2,在正三角形ＡＢＣ…     

数学问题解答

20 0 2年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 40 6　已知 :ＡＤＣＥ为半圆 (如图 ) ,Ｂ为直径ＡＥ上一点 ,Ｆ在ＡＣ上 ,ＡＤ =ＦＣ ,ＤＥ =ＣＧ ,ＢＥ=ＨＧ ,ＡＬ∥ＦＧ .求证 :ＫＢ ⊥ＡＣ证明　因为ＡＤＣＥ为半圆 ,所以∠ＡＤＥ=∠ＦＣＧ =90° .在Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＦＣＧ中 ,因为ＡＤ =ＦＣ ,ＤＥ =ＣＧ ,所以△ＡＤＥ≌△ＦＣＧ .所以ＡＥ =ＦＧ .又ＢＥ =ＨＧ ,所以ＡＢ =ＦＨ因为ＡＬ∥ＦＧ ,所以 ＡＫＦＨ =ＣＫＣＨ =ＫＬＨＧ.所以 ＡＫＫＬ =ＦＨＨＧ,所以 ＡＫＫＬ =ＡＢＢＥ,所以ＫＢ∥ＬＣ .又因为ＬＣ⊥ＡＣ ,所以…     

三角形内接正三角形的个数问题

文 [1 ]中研究了三角形内接正三角形的存在性问题 ,得到结论 :任意三角形至少存在一个内接正三角形 .同时指出 :关于三角形内接正三角形的个数问题 ,有待进一步研究 .本文就此问题做一些探讨 .图 1　内接正三角形图如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,设Ａ≥Ｂ≥Ｃ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,△ＰＱＲ为它的一个内接正三角形 ,其边长为ｍ ,∠ＡＲＱ =α ,∠ＡＱＲ =β,ＡＲ =ｘｃ ( 0 <ｘ<1 ) ,ＡＱ =ｙｂ ( 0 <ｙ <1 ) .在△ＡＲＱ中 ,由正弦理有 :ＱＲｓｉｎＡ=ＡＱｓｉｎα=ＡＲｓｉｎβ,∴ｍｓｉｎα =ｙｂｓｉｎＡ ,ｍｓｉｎβ =ｘｃｓｉｎＡ …     

综合题新编选登

题 1 8　△ＡＢＣ是以Ｂ为直角顶点的直角三角形 ,ＡＢ =1 ,ＢＣ =2 ,Ｄ为ＢＣ中点 .直线ｌ过点Ａ且垂直于平面ＡＢＣ ,Ｐ是ｌ上异于Ａ的点 .1 )证明 ,Ｐ在ｌ上运动时 ,恒有∠ＢＰＤ<∠ＢＡＤ ;2 )证明 ,Ｐ在ｌ上运动时 ,∠ＣＰＤ <∠ＣＡＤ并不恒成立 ;图 1　题图3 )求∠ＣＰＤ的最大值 .解　 1 )由ＰＡ⊥面ＡＢＣ和ＣＢ⊥ＡＢ ,知ＣＢ⊥ＰＢ ,于是有ｔｇ∠ＢＰＤ=ＤＢＰＢ <ＤＢＡＢ=ｔｇ∠ＢＡＤ ,而这两个角都是锐角 ,∴∠ＢＰＤ <∠ＢＡＤ .2 )∠ＣＰＤ ,∠ＣＡＤ也都是锐角 ,故∠ＣＰＤ <∠ＣＡＤ等价于ｃｏｓ∠ＣＰＤ >ｃｏｓ∠ＣＡ…