解题教学的新视角——以勾股定理的再证明为例

勾股定理是数学史上非常重要的一个定理,几乎所有拥有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所研究,古今中外许多人孜孜不倦地寻找证明它的方法,2000多年来,人们对它进行了大量的研究,它的证明方法多达300多种．关于勾股定理的初始教学,教材大多通过拼图（如赵爽线图）用面积法加以证明的,“300多种证法”的说法也吊足了学生的胃口,但后续学习过程却不见其它证法,让学生颇感失望甚至对证法的多样性产生怀疑．教学实践中,笔者接触到几道典型课本习题,通过对这几道习题解法的探究,可引导学生发现勾股定理的再证明方法,借以提升学生的数学思维品质．     

利用圆证明勾股定理

勾股定理是八年级下册的内容,在课本中给出了几种几何面积证法的证明,现在利用圆的性质给出若干证明.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,求证AB2=AC2+BC2.证法一利用切割线定理证明     

勾股定理的逆定理的几种证法

勾股定理及其逆定理在数学科技等方面都有着广泛的应用.对勾股定理的证明!现行初中教材已编排应用赵爽的“勾股方圆图注”和应用“直角三角形中成比例线段定理”等多种证法,但这个定理的逆定理的证明却极少论述,而且有关参数资料也未对此作出补充.为了填补教材的不足,现根据个人的教学实践,给出以下几种证法供参考. 勾股定理的逆定理:     

“弦图”曼妙景 尽在横格中——2012年山东省滨州市中考数学一道压轴题的溯源与改进

我们知道,赵爽的"弦图(或勾股圆方图)"是由四个全等的直角三角形围成的,赵爽利用它巧妙地证明了勾股定理,其证法之优美、精巧,令人叹为观止,它是证明勾股定理最著名的证法之一,特别是"弦图"一图蕴含两种证法更是举世无双".弦图"是证明勾股定理的无字经典     

勾股定理的证明

关于勾股定理,有很多证法.证法1是欧几里得证法,证法2用的是面积割补的方法. 证法1 如图1所示,在Rt△ABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE、BCHK、ACFG,它们的面积分别是c2、a2、b2.下面证明,大正方形的面积等于两个小正方形面积之和.     

勾股定理的再证明

<正>勾股定理是平面几何定理中的一颗璀璨明珠.古今往来,下至平民,上至总统都热衷于探求它的证明方法.据资料记载,勾股定理的证明方法现已有800余种.以下是勾股定理的又一种证明方法,证明中利用了三角形内心的性质与三角形面积的不同表示方法.三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心.内心到三角形三边的距离相等.     

证题方法(续)

(二)直接证法 (1)数学证法的基本类别——直接证法与间接证法 当一个数学定理表述为假言句 μ(?)v时,对它进行证明的最自然的方式当然是提供一个从μ到v的数学推理过程。具体地说,这种做法就是从题设μ出发,以在这之前已经提出的本理论系统的公理和已经证明的本理论系统的定理作为根据,一步步地进行推理,直到推出题断v为止。按照这种方     

√2——无理数的诞生

毕达哥拉斯（约公元前580-前500年）是古希腊的数学家、哲学家和天文学家．公元前6世纪时，他是古希腊的数学权威，并建立了毕达哥拉斯学派，公元前5世纪处于鼎盛时期．这个学派为数学和天文学的发展作出过宝贵的贡献，其中最著名的是勾股定理，据说他们证出此定理后，杀了一百头牛以示庆祝，因而又称为百牛大祭定理．但他们的证明并没传到今天，现在世界上已找到500多种证法，很可能其中有一种是属于毕达哥拉斯本人或他的学生的．给出这些证法的不但有数学家，还有物理学家，甚至美国第20任总统伽菲尔德（1831—1841）也给出一种证法，为纪念他，人们称为总统证法。     

勾股定理的早期发现与证明

勾股定理是平面几何学中的一个非常重 要的定理.长期以来,人们对它进行了大量的 研究,找到了许多不同的证明方法,这些证明 方法不仅证出了定理,而且丰富了研究数学 问题的手段与方法,促进了数学的发展.现与 同学们谈谈人类早期对这一定理的发现与巧 妙的证明.     

勾股定理与费马猜想

勾股定理是直角三角形的一个重要性质 ,这个定理被发现至今已有五千多年历史了 .在我国公元前一百多年就记载了勾股定理的应用 .在欧洲通常被称为毕达哥拉斯定理 ,传说毕达哥拉斯为首的学派首先在理论上证明了勾股定理 .据说为庆贺定理的证明 ,他们杀了 10 0头牛祭神 .由此可见 ,勾股定理在人们心目中是何等重要 .勾股定理被发现后 ,它象一块磁石般吸引着世界上许多大人物 ,他们象赶时髦一样参加到证明勾股定理的队伍中来 ,大数学家 ,大物理学家 ,甚至大政治家都来凑热闹 ,都希望在勾股定理的证明中露一下身手 .据说勾股定理的证明方法有 37…     

数学话剧《华蘅芳传》

<正>提起勾股定理,大家都比较熟悉,这条定理内容是:一个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．古今中外,勾股定理的证明一直是人们探索的一个热点话题,目前已经有400多种证明方法．我国古代有许多数学家给出过勾股定理的不同证法．清朝后期,有一位名叫华蘅芳的14岁少年研究出勾股定理的22种证明方法[1]．想必大家会对他的这一成果感到惊叹,下面我们通过一出话剧了解华蘅芳的生平往事．     

“二项式定理”的又一初等证法

关于二项式定理的证明,现行中学课本用的是数学归纳法。近几年,《数学通报》先后发表了几篇文章,提供了富有启发性的证法,但这些证法要用到概率的加法定理或概率分布的知识,中学生读不懂。笔者经过探索,提供一种新的初等证法,较为简捷,易为中学生接受,适合课堂教学。     

二项式定理的新证法

高级中学课本代数第三册二项式定理的证明采用的是数学归纳法.本文用构造递推方程的方法给出二项式定理的两种证法,供同志们数学时参考.     

面积与几何证明

面积法是一种常用几何证明方法,本文主要对这个方法作一个简单的介绍.我们的教材上证明勾股定理用的就是刘徽的出入相补法,这个方法是一种面积法,也是我们传统文化中一个灿烂的篇章.吴文俊先生以为出入相补法是解开中国古代几何中许多疑难问题的一把金钥匙.所以许多几何问题的解决都有出入相补法的帮助.此外,张景中先生在研究几何定理的可读机器证明的过程中总结出一套几何证明的面积方法,其核心是所谓的共边比例定理.本文对这个方法也做了简单的介绍.     

罗尔定理的一种证法

《美国数学月报》曾刊登过罗尔定理的两种新证法.本文从罗尔定理的几何意义出发,给出另一种新的证明方法.     

Riemann积分的Ar■elà控制收敛定理

Luxemburg在78卷9期《美国数学月刊》上撰文介绍了Arzelà定理发展的历史及各种证法与推广,原文颇长,今删去其中评介部分与Arzelà定理的F.Riesz证法,摘译其中Arzelà定理的初等证明、Riemann积分的Fatou引理,Argelà定理的推广—young定理等部分     

勾股定理源远流长

勾股定理源远流长百闻●古巴比伦、中国、古印度和古希腊人各自独立地发现了勾股定理。●数学上第一个名副其实的定理。●整个数学历史中也许找不到第二个定理有勾股定理那样多的千姿百态的证明。一个叫卢求斯的人收集了３７０个证明。初等几何中最引人注目、肯定也是最著...     

勾股定理的一个简短证明

勾股定理的一个简短证明朱玉扬（安徽省肥西师范学校２３１２００）我们知道，勾股定理有多种证法，但常见的多是利用全等及面积诸方法来证明，其实，利用三角形相似的性质来证明，更显简明．证明如图所示，三角形ＡＢＣ为Ｒｔ△；∠ＡＣＢ＝９０°，过ｃ点作ＣＤ⊥ＡＢ，...     

反证法在解题中的应用

<正>数学证明方法分为直接证法和间接证法,从原命题所给出的条件出发,根据已有的公理、定义、法则、公式,通过一系列的推理,一直推导到所要证明的命题的结论,这种证法叫做直接证法,有些命题不易用直接法去证明,这时可通过证明它的等价命题为真,从而断定原命题为真,这种证法叫做间接证法,反证法就是间接法中的一种基本方法.反证法在中学数     

加强一个几何定理及其应用的指导

众所周知,圆幂定理是平面几何学中一个极其重娶的基本定理,它在几何证明积几何计算中有着广泛的应用。现行部编初中数学教材把它隐含在讲过相交弦定理、切割定理后练习题中,见《几何》第二册P_3,练习4:根据下图,运用勾股定理证明:(1)弦