三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

直线分线段所成比的应用

在中学数学教学过程中,经常见到如下的练习题：设过两点Ｐ１（ｘ１,ｙ１）,Ｐ２（ｘ２,ｙ２）的直线与直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０相交于点Ｐ（不同于点Ｐ２）,则点Ｐ分Ｐ１Ｐ２所成的比λ为λ＝－Ａｘ１＋Ｂｙ１＋ＣＡｘ２＋Ｂｙ２＋Ｃ①（λ可称为直线ｌ分Ｐ１Ｐ２...     

有关费马点一个和式的下界问题

设Ｐ是△ＡＢＣ的费马点，记Ｐ点到△ＡＢＣ三个顶点距离之和为ｌ，关于ｌ的下界问题近来不少文章作了探讨．例如文［１］得出的结果是：ｌ＞ｓ，其中ｓ是△ＡＢＣ的半周长．本文得出一个更优的结果，首先引入：引理１［１］ｌ２＝０．５（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）＋２３△．引...     

与费马问题相关的两个不等式

与费马问题相关的两个不等式续铁权（山东省青岛教育学院２６６０７１）设有△ＡＢＣ和△Ａ１Ｂ１Ｃ１，它们的边、角、面积分别记为ａ，ｂ，ｃ；Ａ，Ｂ，Ｃ；△和ａ１，ｂ１，ｃ１；Ａ１，Ｂ１，Ｃ１；△１．在平面上总存在一点Ｐ，使ａ１·ＰＡ＋ｂ１·ＰＢ＋ｃ１·ＰＣ...     

一个三角形不等式的四面体移植

设△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ与外接圆半径、面积和半周长分别为ａ、ｂ、ｃ、Ｒ、△、ｓ．Ｐ是△ＡＢＣ内任意一点,ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｌ、Ｍ、Ｎ．１９６６年荷兰的Ｏ．Ｂｏｔｔｅｍａ建立了不等式：　　　ＡＬ·ＢＭ·ＣＮＳ△ＬＭＮ≥４ｓ（１）等号当且仅当Ｐ是△ＡＢＣ的内心时成立．类似上式,贵刊文［１］Ｐ２６刊载了刘键先生建立的不等式：ＡＬ·ＢＭ·ＣＮａ·ＰＬ＋ｂ·ＰＭ＋ｃ·ＰＮ≥△Ｒ（２）等号当且仅当△ＡＢＣ为锐角三角形且Ｐ为垂心时成立．文［２］给出了（２）式的简证,受其启发,笔者通…     

费马（分割）定理代数证法的改进

费马（分割）定理代数证法的改进袁金（安徽师范大学附中２４１００１）Ｆｅｒｍａｔ（分割）定理矩形ＡＢＣＤ的边以ＡＢ为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取一点Ｐ，连ＰＣ，ＰＤ交ＡＢ于Ｅ，Ｆ，求证：ＡＥ２＋ＢＦ２＝ＡＢ２．Ｒ·Ａ·Ｊｏｈｎｓｏｎ先生在文［１］...     

Erds-Mordell定理的简捷证明

Ｅｒｄｏ¨ｓ－Ｍｏｒｄｅｌ定理的简捷证明李汉丰（山东胜利油田教育学院２５７０９７）１９３５年，Ｅｒｄｏ¨ｓ提出了如下猜想：命题设Ｐ为△ＡＢＣ内部或边上一点，Ｐ到三边ａ＝ＢＣ，ｂ＝ＣＡ，ｃ＝ＡＢ的距离分别为ｒ１，ｒ２，ｒ３（如图），则ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ≥...     

一组三角不等式的简单证明

一组三角不等式的简单证明宋庆（江西永修县一中３３０３０４）王伯英先生在文［１］、［２］中利用控制不等式证得一些不同寻常的三角不等式，其中有：ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ２＋１，（１）ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ１＋２２，（２）ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉ...     

与费马问题相关的几何不等式

与费马问题相关的几何不等式续铁权（青岛教育学院数学系）下列问题称为加权责马问题：已知三个正数ａ１ｂ１，ｃ１，在△ＡＢＣ所在平面上求Ｐ点，使ａ１·ＰＡ＋ｂ１·ＰＢ＋ｃ１·ＰＣ最小．如果这样的Ｐ点存在，称之为△ＡＢＣ关于ａ１，ｂ１，ｃ１的费马点，简称费马...     

关于勃罗卡点的两个命题

关于勃罗卡点的两个命题苗大文（安徽省定远中学２３３２００）文［１］、［２］、［３］都讨论了勃罗卡的有关问题，读来很受启发．笔者也得到了两个命题供参考．图１命题１设Ｐ为△ＡＢＣ的勃罗卡点（如图１），记△ＰＢＣ，△ＰＣＡ，△ＰＡＢ，△ＡＢＣ的外接圆半径分...     

一个三角不等式的加强及推广

一个三角不等式的加强及推广湖南岳阳县熊市乡中学陈宽宏诸多书刊中有这样一个三角不等式：△ＡＢＣ是锐角三角形，则ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＞ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ（１）证明，见［１，Ｐ６０］或［２］．本文以（１）的等价变形为出发点来加强及推广（１...     

一个命题的再研究

命题　△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，求证　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｂｃ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣｃａ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡａｂ　≥０．（１）（《数学通报》１９９７年５月号问题１０７２）文［１］对上述命题给出了一种简捷证法．通过对（１）式证法的研究，笔者得到了以下几个命题．命题１　设△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，则有：　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｃａ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣａｂ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡｂｃ　≤０．（２）证明　由正弦定理知，不等式（２）等价于ａ－ｂｃａ＋ｂ－ｃａｂ＋…     

用“取等匹配”技巧证明非严格不等式

笔者在文［１］指出：“对非严格不等式的证明，每一次‘放’或‘缩’保证等号成立是一个基本思考点，是放大或缩小的一个必要性要求”．本文着眼于这一必要性要求，以算术——几何平均值不等式的取等条件为出发点，根据待证不等式（或变形后的不等式）的取等条件和结构特征施行“取等匹配”——凑项或嵌式（数），使许多经常在中数刊物上出现且貌似繁难的非严格对称不等式轻松获证．例１　在△ＡＢＣ中，证明不等式　ｔｇＡ２ｔｇＢ２＋５＋ｔｇＢ２ｔｇＣ２＋５＋　ｔｇＣ２ｔｇＡ２＋５≤４３．证明　由于△ＡＢＣ中，有ｔｇＡ２ｔｇＢ２…     

勾股定理的又一简短证明

文〔１〕、〔２〕分别给出了勾股定理的两个简短证明,下面再给出一个简短证明：如图,Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ＝９０°,设其内切圆半径为ｒ,则２ｒ＝（ＢＣ－ＢＤ）＋（ＡＣ－ＡＦ）＝ＢＣ＋ＡＣ－（ＢＤ＋ＡＦ）＝ＢＣ＋ＡＣ－ＡＢ∴Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｒ·ａ＋１２ｒ...     

初三(上)期末数学测试题

一、一元选择题（每小题３分，共４５分）１．方程３ｘ２－４＝０的一次项系数是（　）（Ａ）－４　（Ｂ）０　（Ｃ）１　（Ｄ）３图Ａ－８２．如图Ａ－８，在Ｒｔ△ＡＢＣ，∠Ｃ＝９０°，那么ｃｔｇＢ＝（　）（Ａ）ＡＣＢＣ　（Ｂ）ＢＣＡＢ（Ｃ）ＡＣＡＢ　（Ｄ）ＢＣＡＣ３．已知ｋ是不等于零的常数，在下列函数中，一次函数是（　）（Ａ）ｙ＝ｋｘ２＋１　（Ｂ）ｙ＝ｘｋ＋１（Ｃ）ｙ＝ｋ＋１ｘ　（Ｄ）ｙ＝ｋｘ＋１４．△ＡＢＣ的外心是三角形的（　）（Ａ）三条高的交点（Ｂ）三边的垂直平分线的交点（Ｃ）三条内角平分线的交点（Ｄ…     

全国各地市1998年高考模拟试题汇编

六、立体几何（解答题）１．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中,∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＣ＝６０°,ＰＡ与底面ＡＢＣ所成角为４５°,ＡＢ＝ＡＣ．（１）求证：ＰＡ⊥ＢＣ;;（２）又若ＰＡ,ＡＢ,ＢＣ的长成等差数列,求二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ的正弦值．（第１题图）（第２题图）２．如图...     

空间闭折线与其内点闭折线周长间的一个关系

我们把依次连接折线各边内点所得的折线称之为内点折线．那么,任意一条封闭折线（不一定是平面的）,它的内点折线的周长与原折线的周长之间有什么样的关系呢？本文将探讨此问题． 为此,先给出如下引理： 引理 １ △ＡＢＣ中,ＡＢ＋ＡＣ≤ ＢＣ·ｃｓｃＡ／２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号． 证明 在△ＡＢＣ中,由余弦定理,得ＢＣ～２＝ＡＢ～２＋ ＡＣ～２—２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓ Ａ 引理２ 设Ｐ１＞０,ａ１＞０（ｉ＝１,２,…,ｎ）,则 引理２是加权幂平均不等式Ｍ１（ａ,ｐ）≤Ｍ２（ａ,ｐ）,在许多文献（例如文［１］…     

加权Steiner问题与加权GP猜想

加权Ｓｔｅｉｎｅｒ问题与加权ＧＰ猜想贝清泉（汕头大学数学系，汕头５１５０６３）已给平面上三定点Ａ，Ｂ，Ｃ，求点Ｐ使ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ极小，这就是古典的Ｓｔｅｉｎｅｒ树问题．如令：ｆ（Ｐ’）一Ｐ’Ａ＋Ｐ’Ｂ＋Ｐ’Ｃ；ｋ＝ｄｒｉｎ什（Ｐ’ｎ＝ｍｉｎＪ＊’Ａ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９５年１０月号问题解答（解答由问题提供人给出）９７６己知。是锐角，则（１＋——）（１＋——）＞ｆ。证明，原不等式即为４．作ＲＬＡＡＢＣ，如图，使斜边上的高ＣＤ—１，且又ＡＢ上的中线大于或等于ＤＣ—１，于是ＡＢ三２，又由ＢＣ＋ＡＣ＞ＡＢ...     

一道高考备选题的讨论

一道高考备选题的讨论邵光华（山东曲阜师范大学数学系２７３１６５）文［１］给出了这样一道高考备选题：“已知在四面体Ａ－ＢＣＤ中，ＡＢ＝ＣＤ＝γ，ＢＣ＝ＡＤ＝α，ＡＣ＝ＢＤ＝β．（１）试证明；α２≤β２＋γ２；（２）取Ｇ为ＡＢ的中点，Ｋ为ＣＤ的中点，证明...